Математическая модель
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять и проверять математические модели жизненных ситуаций в виде числовых выражений и простых уравнений, решая не менее 8 из 10 заданий рабочего листа без смысловых ошибок.
- Познакомить с понятием математической модели и установить связь между словами условия и арифметическими действиями.
- Научить переводить ситуации на сложение, вычитание, умножение, деление и последовательность действий в математическое выражение.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать подходящую модель, проверять её соответствие ситуации и объяснять свой выбор.
- Воспитывать внимательность к смыслу математических записей, ответственность за результат и готовность сотрудничать при проверке решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математические выражения помогают описывать реальные покупки, расстояния, распределение предметов и изменения количества.
- Проявляют интерес к поиску математического способа описания знакомых жизненных ситуаций.
- Понимают значение аккуратной записи и проверки соответствия модели условию.
- Развивают самостоятельность и положительное отношение к совместному обсуждению решений.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные и действие, описанное в условии, используя смысловое чтение.
- Планируют последовательность составления модели: понять ситуацию, выбрать действие, записать выражение или уравнение, вычислить и проверить.
- Сравнивают несколько записей одной ситуации и находят запись, не являющуюся её моделью.
- Формулируют объяснение выбора модели и участвуют в парной взаимопроверке.
Предметные
- Знают, что математическая модель — это математическая запись, описывающая условие ситуации.
- Умеют составлять числовые выражения по словесному описанию действий.
- Умеют учитывать порядок действий и ставить скобки в выражениях типа $(25+15):5$.
- Умеют составлять простое уравнение с неизвестным числом по условию задачи и проверять соответствие выражения ситуации.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения математических моделей для решения бытовых задач.
- Проявляют учебную инициативу при предложении разных способов описания ситуации.
- Оценивают собственную уверенность в составлении выражений и уравнений.
- Принимают необходимость исправлять модель, если она не соответствует условию.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют действия по составлению и проверке математической модели.
- Осуществляют самопроверку вычислений и смысловую проверку записи.
- Находят и исправляют ошибку в знаке действия, порядке действий или выборе неизвестного.
Познавательные УУД
- Переводят текстовую информацию в математическую запись.
- Классифицируют ситуации по арифметическому действию: объединение, уменьшение, повторение, деление поровну.
- Анализируют структуру выражения и устанавливают соответствие между словами и знаками действий.
- Моделируют ситуацию с помощью числового выражения или уравнения.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в парах, какое действие соответствует условию.
- Задают уточняющие вопросы о смысле выражения и порядке действий.
- Аргументируют выбор модели полной фразой: «В условии сказано ..., поэтому записываем ...».
- Сверяют решения с партнёром и корректно формулируют замечание.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Математическая модель» по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 3 дополнительные копии для парной проверки.
- Подготовить карточки с фразами «прибавили», «вычли», «взяли несколько раз», «разделили поровну» — по одному набору на группу из четырёх учеников.
- Подготовить цветные карточки или сигналы светофора для быстрой проверки понимания.
- Вывести на доску схему: «Условие → действие → математическая запись → вычисление → проверка смысла».
- Записать на доске памятку: «было и взяли — вычитание; одинаковые группы — умножение; поровну — деление; неизвестное количество — буква».
- Подготовить слайд с ситуацией: «3 ручки по 24 рубля, оплата 100 рублей» и слайд с двумя уравнениями для задания №5.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для работы с заданиями рабочего листа.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, доску и магниты для карточек.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость математической модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске запись: «3 ручки по 24 рубля, заплатили 100 рублей». «Ребята, представьте, что продавец назвал только эти данные. Как узнать, сколько денег нужно заплатить и какую сдачу получить? Сегодня мы будем учиться превращать словесную ситуацию в точную математическую запись». | Читают условие, называют известные данные: «24 рубля — цена одной ручки, 3 — количество ручек, 100 рублей — сумма оплаты». Предполагают: «Сначала нужно умножить, затем вычесть». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно: что должна показывать математическая запись? Затем обсудите с соседом и предложите вариант». Учитель принимает ответы, но пока не сообщает готовое определение. | Записывают или проговаривают возможную запись $100-3\cdot24$, обсуждают её в парах и объясняют: «Сначала узнаём стоимость трёх ручек, затем находим сдачу». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одну ситуацию можно точно описать математической записью. Сейчас вспомним действия и слова, которые помогут выбирать правильную модель».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл арифметических действий и подготовить алгоритм перевода текста в выражение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает четыре карточки со словами «прибавили», «вычли», «одинаковые группы», «поровну». «Соедините каждую карточку с подходящим действием. Приведите короткий пример». Учитель фиксирует на доске: «прибавили — плюс; вычли — минус; одинаковые группы — умножение; поровну — деление». | По очереди прикрепляют карточки к знакам действий и приводят примеры: «К 8 прибавили 3 — $8+3$»; «Из 20 вычли 5 — $20-5$»; «4 раза по 6 — $4\cdot6$»; «24 разделили поровну на 6 — $24:6$». |
3 мин | Учитель предлагает устно разобрать два коротких условия: «К числу 24 прибавили произведение 6 и 5» и «Сумму 25 и 15 разделили на 5». «Что выполняем первым? Где нужны скобки?» Учитель просит одного ученика объяснить запись у доски. | Записывают $24+6\cdot5$ и $(25+15):5$, объясняют порядок действий: «Сначала находим произведение»; «Сначала находим сумму, поэтому ставим скобки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что знаки действий передают смысл слов, а скобки помогают сохранить порядок действий. Теперь выясним, как назвать всю такую запись и как проверять её правильность».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие математической модели и алгоритм её построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске ситуацию: «В коробке было несколько карандашей. 7 карандашей взяли, осталось 15». Рядом показывает записи $x-7=15$ и $15-x=7$. «Обе записи содержат числа и букву. Но какая из них описывает именно эту ситуацию? Как это доказать?» | Сравнивают записи, обсуждают в парах и отвечают: «Правильна запись $x-7=15$, потому что из неизвестного количества взяли 7 и получили 15». |
2 мин | Учитель формулирует понятие: «Математическая модель — это математическая запись, которая описывает условие ситуации. Сегодня наша задача — научиться составлять такую запись, вычислять результат и проверять, соответствует ли она условию». Учитель предлагает детям назвать шаги работы. | Формулируют алгоритм: «Прочитать условие; определить действие; записать выражение или уравнение; вычислить; проверить смысл». Записывают тему урока и алгоритм. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Математическая модель — математическая запись, описывающая условие ситуации. Алгоритм: 1) понять условие; 2) выбрать действие; 3) записать выражение или уравнение; 4) вычислить; 5) проверить соответствие условию.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы будем не просто считать, а доказывать, что запись правильно описывает ситуацию. Перейдём к заданиям рабочего листа и откроем модель на конкретных примерах».
Этап 4. Открытие нового знания на материале рабочего листа (8 мин)
Цель этапа: совместно применить алгоритм при составлении и проверке математических моделей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть рабочий лист и разбирает задание №1: «Для одной тетради нужно заплатить 18 рублей. Составь математическую модель стоимости 4 таких тетрадей и вычисли её». «Что повторяется четыре раза? Какое действие выбираем? Запишите модель и объясните её словами». | Записывают $18\cdot4=72$ (рубля), объясняют: «Цена одной тетради повторяется 4 раза, поэтому используем умножение». |
3 мин | Учитель разбирает задание №2. «Ситуация звучит так: к числу 24 прибавили произведение 6 и 5. Рассмотрите четыре записи: $24+6\cdot5$, $24+30$, $54$, $24\cdot6+5$. Какие записи сохраняют смысл ситуации, а какая нарушает его? Не смешивайте вопрос о результате с вопросом о соответствии модели». | Сравнивают записи и отвечают: «$24+6\cdot5$ и $24+30$ описывают ситуацию; $54$ — результат, а не выражение; $24\cdot6+5$ не является моделью, потому что изменён порядок действий и смысл». |
2 мин | Учитель предлагает задание №3, пункт 3: «Сумму чисел 25 и 15 разделили на 5». «Почему нельзя написать $25+15:5$? Покажите, где должна быть модель». Учитель просит проговорить порядок действий. | Записывают $(25+15):5=8$, объясняют необходимость скобок: «Сначала получили сумму 40, затем разделили её на 5». |
Эталон решения
№1: одинаковая стоимость четырёх тетрадей моделируется умножением: $18\cdot4=72$. №2: запись $24\cdot6+5$ не соответствует условию; запись $54$ является только вычисленным результатом. №3, пункт 3: «сумму разделили» означает сначала выполнить сложение, поэтому $(25+15):5=40:5=8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились видеть за словами математическое действие и сохранять порядок действий. Теперь проверим модели, составленные в рабочих листах, и научимся находить смысловые ошибки».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить составление и проверку моделей на заданиях рабочего листа №4–№6.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует работу в парах по заданиям №4 и №5. «В задании №4 читайте не только выражение, но и условие. Поставьте “истина” или “ложь” и объясните один спорный пример. В задании №5 выберите уравнение для ситуации с карандашами». Учитель напоминает: «Оцениваем соответствие модели, а не красоту записи». | В парах определяют: $17+8$ — истина; $35+12$ — ложь, должно быть $35-12$; $5\cdot7$ — истина; $28\cdot4$ — ложь, должно быть $28:4$. Выбирают $x-7=15$ и объясняют выбор. |
4 мин | Учитель предлагает задание №6: «Велосипедист проезжает 3 км за одну минуту. Составьте выражение для расстояния за 6 минут». После работы пары обмениваются листами и применяют приём «Две звезды и пожелание»: отмечают две сильные стороны и одну неточность, если она есть. | Записывают $3\cdot6=18$ км. Взаимопроверяют запись и вычисление, формулируют замечание: «Модель составлена верно, потому что расстояние за одну минуту повторяется 6 раз». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проверка модели требует вопроса: действительно ли выражение описывает действие из условия? Теперь каждый самостоятельно покажет, как применяет этот алгоритм в нескольких разных жизненных ситуациях».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное составление математических моделей и вычисление результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель даёт инструкцию: «Самостоятельно решите задания №7–№10 рабочего листа. В каждом задании сначала подчеркните слова, указывающие действие, затем запишите модель, вычислите и проверьте смысл ответа. Если закончили раньше, перепроверьте порядок действий». | Читают инструкцию, подчеркивают ключевые слова и приступают к заданиям индивидуально. |
7 мин | Учитель наблюдает за работой, не сообщает готовые ответы, задаёт направляющие вопросы: «Что было сначала? Что изменилось? Одна ли группа или несколько одинаковых? Что обозначает число 100 в задаче о сдаче?» При необходимости предлагает выбрать базовую подсказку на доске. | Решают: №7 $25-9=16$; №8 $100-3\cdot24=28$; №9 $750\cdot2=1500$ м; №10 $48:6-2=6$ конфет в одном пакете. Записывают единицы измерения там, где они нужны. |
4 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сначала сравните только модели, затем вычисления. Отметьте зелёным верную запись, жёлтым — запись с вычислительной ошибкой, красным — запись, не соответствующую условию». После самопроверки просит поднять карточку светофора. | Сверяют каждую модель с условием, исправляют ошибки. Показывают зелёную карточку при уверенности, жёлтую при вопросе. Формулируют затруднение: «Мне трудно определить, когда сначала делить, а когда вычитать». |
Эталон решения
№7: было 25 яблок, 9 съели, осталось $25-9=16$. №8: стоимость ручек $3\cdot24=72$ рубля, сдача $100-72=28$ рублей, модель $100-3\cdot24$. №9: путь повторяется два раза, модель $750\cdot2=1500$ м. №10: сначала конфеты разделили на 6 пакетов, затем из одного пакета взяли 2: $48:6-2=8-2=6$ конфет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили не только вычисления, но и смысл каждой записи. Осталось обобщить общий способ и убедиться, что каждый может объяснить, почему его выражение является математической моделью».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: «Запишите одним предложением, что такое математическая модель, и перечислите пять шагов работы с ней. Затем отметьте, какое задание рабочего листа помогло вам понять тему лучше всего». | Записывают определение и алгоритм: «Понять условие — выбрать действие — записать модель — вычислить — проверить». Называют задание и объясняют свой выбор. |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Каким действием моделируется несколько одинаковых групп? Что делать, если неизвестно начальное количество? Почему в записи суммы, которую разделили, нужны скобки?» | Отвечают: «Умножением»; «Обозначить неизвестное буквой и составить уравнение»; «Скобки показывают, что сначала находим сумму». |
2 мин | Учитель объясняет разноуровневое домашнее задание: «Выберите уровень по своей готовности. Обязательный уровень выполняют все, следующий можно выбрать для тренировки, продвинутый — по желанию». Учитель напоминает записывать модель до вычисления. | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют непонятные условия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились переводить жизненные ситуации на язык математики. На следующем уроке продолжим работать с текстовыми задачами и будем использовать математическую модель для поиска неизвестной величины».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно составлены модели и выполнены вычисления минимум в 9–10 заданиях рабочего листа; правильно выбрана модель уравнения, расставлены скобки и указаны единицы измерения.
- «4» — верно выполнены 7–8 заданий; допущена одна смысловая или две вычислительные ошибки, но общий алгоритм составления модели соблюдён.
- «3» — верно выполнены 5–6 заданий; ученик понимает отдельные арифметические действия, но допускает ошибки при выборе модели или порядке действий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое математическая модель? | Проверка осознания основного понятия урока. |
Какой шаг алгоритма помогает понять, какое действие выбрать? | Выявление понимания связи между текстом и арифметическим действием. |
В каком задании было труднее всего сохранить порядок действий? | Выявление точек затруднения при работе со скобками и последовательностью действий. |
Можешь ли ты объяснить, почему запись соответствует условию? | Оценка умения аргументировать правильность модели, а не только вычислять. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились описывать реальные ситуации с помощью математических моделей. Важно помнить: сначала нужно понять смысл условия, затем выбрать действие и только после этого вычислять. Типичная ошибка — увидеть знакомые числа, но не проверить, что выражение действительно передаёт ситуацию. На следующем уроке мы продолжим составлять модели и будем использовать их для решения задач с неизвестными величинами».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить математические модели и вычислить результат для 4 жизненных ситуаций: покупка нескольких одинаковых предметов, уменьшение количества, путь туда и обратно, деление предметов поровну. В каждой записи подчеркнуть действие, соответствующее условию. | Закрепляет перевод словесного условия в выражение и проверку смысла модели. |
Средний (повышающий) | Решить 5 ситуаций с двумя действиями, включая покупку со сдачей и последовательное изменение количества. Для каждой ситуации записать выражение со скобками при необходимости и кратко объяснить порядок действий. | Развивает анализ условия, составление сложной модели и соблюдение порядка действий. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать 2 жизненные ситуации, одна из которых моделируется выражением $60-4\cdot8$, а другая — уравнением $x-9=23$. Записать условия, решения и объяснить, почему выбранные модели подходят. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать её соответствие условию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют математической моделью? Какое действие обозначают слова “поровну” и “одинаковые группы”? Что нужно сделать перед вычислением выражения? Как проверить, что уравнение соответствует условию?»
