Делители, кратные числа и признаки делимости
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся смогут находить делители и кратные числа, выполнять деление с остатком, различать простые и составные числа и применять признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 при решении не менее 4 из 5 учебных заданий.
- Сформировать умение устанавливать связь между делением, делителями, кратными и разложением числа на множители.
- Научить выполнять деление с остатком и проверять результат по формуле $a=bq+r$, где $0\le r<b$.
- Организовать исследование признаков делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 на примерах и сформулировать выводы.
- Развивать умение сотрудничать в парах, объяснять ход рассуждений, выбирать уровень задания и осуществлять самопроверку.
- Воспитывать интерес к математическому исследованию, аккуратность записи и ответственность за общий результат пары.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию математических закономерностей и поиску способов проверки результата.
- Понимают значение точных вычислений и математических правил в повседневных ситуациях.
- Осознают ценность сотрудничества и взаимопомощи при выполнении парных заданий.
- Формируют положительную самооценку через выбор посильного уровня задания и анализ собственного продвижения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из задания, таблицы, примеров на экране и учебного текста.
- Сравнивают результаты, выявляют закономерности и формулируют правило на основе наблюдений.
- Работают в паре, распределяют роли, аргументируют ответ и корректно оценивают результат.
- Используют цифровую интерактивную викторину для быстрой проверки понимания.
Предметные
- Знать определения делителя, кратного, простого и составного числа.
- Уметь раскладывать натуральное число на множители и находить его делители.
- Уметь выполнять деление с остатком и проверять деление равенством $a=bq+r$.
- Уметь применять признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Уметь объяснять выбор признака делимости и решать задания базового и повышенного уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки.
- Определяют личный вклад в результат работы пары.
- Осознают, что ошибка является источником нового способа действия.
- Связывают математические правила с практическими ситуациями сортировки и распределения предметов.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют действия при проверке делимости и выполнении деления с остатком.
- Сверяют решение с эталоном, находят ошибку и исправляют её.
- Оценивают степень освоения каждого правила с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки делителя, кратного, простого и составного числа.
- Классифицируют числа по признакам делимости и по количеству делителей.
- Моделируют деление с остатком в виде равенства и схемы.
- Проводят небольшое исследование чисел, сравнивают результаты и делают вывод.
- Используют таблицу и цифровой материал для поиска закономерности.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием.
- Задают уточняющие вопросы и корректно реагируют на другой способ решения.
- Договариваются о едином ответе и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с примерами деления, таблицей чисел от 1 до 50 и заданиями для викторины.
- Распечатать по одному листу исследования на пару: таблица чисел, задания на поиск делителей и проверку признаков делимости.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: базовые, повышающие и исследовательские — по одной карточке на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я нахожу делители», «Я выполняю деление с остатком», «Я применяю признаки делимости».
- Подготовить карточки с числами для игры «Математический светофор» и небольшие стикеры для рефлексии.
- Вывести на доску тему, проблемный вопрос «Как быстро узнать, делится ли число без выполнения деления?» и пустую схему признаков делимости.
- Подготовить таймер, проектор, компьютер или интерактивную доску с доступом к заранее открытой цифровой викторине.
- Организовать свободное пространство у доски для физкультминутки с движениями по правилам делимости.
- Заранее определить пары и подготовить эталоны решений для самопроверки после самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к исследованию способов быстрой проверки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто считать, а искать математические закономерности. Работать будем в парах, поэтому важно слышать партнёра и объяснять каждый ответ." | Проверяют готовность, садятся по парам, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа 20, 35, 48, 90 и спрашивает: "Представьте, что нужно быстро распределить эти числа предметов поровну между двумя, пятью, десятью или тремя участниками. Можно ли каждый раз выполнять деление? Как узнать ответ быстрее?" Учитель принимает гипотезы и фиксирует вопрос урока. | Предполагают: "Нужно посмотреть на последнюю цифру", "Можно сложить цифры", "Надо знать особые правила". Формулируют проблемный вопрос: "Как определить делимость числа без полного деления?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что некоторые числа можно проверять быстро по их записи. Сначала вспомним математические понятия, которые помогут нам провести исследование."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о делении, множителях и взаимосвязи делителя с кратным.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске равенство $24=6\cdot4$ и говорит: "Подумайте в паре: какие числа являются множителями числа 24? Как можно назвать 6 по отношению к 24? А число 24 по отношению к 6? Обсуждение длится одну минуту, затем несколько пар дадут формулировки." | Обсуждают в парах и отвечают: "6 и 4 — множители числа 24; 6 — делитель 24; 24 — кратное 6". |
2 мин | Учитель предлагает задания: "Запишите все делители чисел 12 и 18. Не называйте случайные числа: проверяйте каждое умножением или делением. Затем найдите первые четыре числа, кратные 5." | В парах составляют записи: делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18; кратные 5 — 5, 10, 15, 20. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Чем отличаются делители от кратных? Как проверить, что число является делителем другого числа?" Учитель использует приём «Тонкий вопрос — точный ответ» и корректирует формулировки. | Формулируют: "Делитель делит число без остатка; кратное получается умножением данного числа на натуральное число". Записывают уточнённые определения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делимость связана с разложением числа на множители. Но при делении не всегда получается целое число. Сейчас выясним, как описывать такой результат."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при делении с остатком и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "17 конфет нужно поровну разложить в коробки по 5 конфет. Сколько полных коробок получится и сколько конфет останется?" Затем спрашивает: "Можно ли записать результат только частным? Что обязательно нужно указать?" | Решают: $17:5=3$ и остаток 2. Отвечают: "Получатся 3 полные коробки, 2 конфеты останутся". |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируем план урока. Нам нужно научиться записывать деление с остатком, отличать простые числа от составных, а затем исследовать признаки делимости. Какие действия помогут достичь цели?" | Предлагают план: повторить делители; записать формулу деления с остатком; исследовать примеры; сформулировать признаки; выполнить проверку. Записывают тему и цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: остаток нельзя потерять, а признаки делимости нужно не угадать, а доказать на примерах. Переходим к открытию правил."
Этап 4. Открытие нового знания: исследование (10 мин)
Цель этапа: через исследовательскую работу вывести формулу деления с остатком, свойства простых и составных чисел и признаки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему: "При делении числа $a$ на $b$ мы получаем частное $q$ и остаток $r$. Запишем общий вид: $a=bq+r$, причём остаток меньше делителя: $0\le r<b$. Разберём пример: $29:6=4$ и остаток 5, потому что $29=6\cdot4+5$. Как проверить правильность?" | Записывают формулу и пример, отвечают: "Нужно умножить делитель на частное и прибавить остаток: $6\cdot4+5=29$; остаток 5 меньше 6". |
3 мин | Учитель раздаёт лист исследования: "Рассмотрите числа 2, 3, 5, 7, 11 и 12. Для каждого найдите делители. Что общего у первых пяти чисел? Чем отличается 12?" Учитель организует обсуждение в парах. | Находят: у 2, 3, 5, 7, 11 только два делителя — 1 и само число; у 12 больше двух делителей. Формулируют: "Первые числа простые, 12 — составное". |
4 мин | Учитель выводит на экран числа 18, 25, 40, 63, 72, 90 и говорит: "Проверьте делимость удобным способом. Сначала выделите числа, которые делятся на 2, 5 и 10, затем сложите цифры чисел и проверьте делимость на 3 и 9. Сравним наблюдения и заполним схему на доске." | Исследуют пары чисел, отмечают результаты. Формулируют: "На 2 делятся числа с чётной последней цифрой; на 5 — с последней цифрой 0 или 5; на 10 — с последней цифрой 0; на 3 — если сумма цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9". |
Запись в тетрадях
- $a=bq+r$, где $0\le r<b$.
- Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само число. Составное число имеет более двух делителей.
- Признаки делимости: на 2 — последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8; на 5 — 0 или 5; на 10 — 0; на 3 и 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не получили правила готовыми — мы обнаружили их в примерах. Теперь проверим, умеем ли применять каждое правило и объяснять свой выбор."
Этап 5. Физкультминутка и игровое первичное закрепление (5 мин)
Цель этапа: снять утомление, закрепить признаки делимости в двигательной игре и обеспечить смену вида деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет игру «Математический светофор»: "Если число на экране делится на 2, поднимите руки вверх; если на 5 — сделайте шаг вправо; если на 10 — хлопните; если на 3 — коснитесь плеч; если на 9 — присядьте. Для каждого числа выполняйте все подходящие движения." | Встают рядом с партами и выполняют движения для чисел 20, 27, 45, 60, 72. Называют применённые признаки. |
3 мин | Учитель проводит игру «Верю — не верю»: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно, и обязательно объясните ответ. Число 135 делится на 5; число 124 делится на 3; число 90 делится на 2, 5, 9 и 10; число 1 является простым." | Показывают карточки и объясняют: 135 делится на 5; 124 не делится на 3, так как $1+2+4=7$; 90 делится на 2, 5, 9 и 10; 1 не является ни простым, ни составным числом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверяли признаки не только в тетради, но и движением. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет применять правила, а затем сверит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (11 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов на заданиях трёх уровней и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите карточку по готовности. Базовая карточка обязательна для всех, повышающая поможет получить более высокий результат, исследовательская предназначена для тех, кто хочет найти несколько способов. Перед началом прочитайте критерии и подпишите работу." | Выбирают уровень, записывают фамилию и начинают работу. |
6 мин | Учитель напоминает алгоритм: "В задании на делимость сначала назовите признак, затем примените его к числу. В задании на деление с остатком обязательно выполните проверку. Если встретилась ошибка, подчеркните место затруднения и продолжайте." | Выполняют задания. Базовый уровень: найти делители 16 и 24, вычислить $38:7$, определить делимость чисел 45, 62, 90. Повышающий уровень: разложить 36 и 48 на множители, найти простые числа среди 17, 21, 29, 35, 41, обосновать ответы. Исследовательский уровень: найти все двузначные числа, которые делятся одновременно на 3 и 5, и объяснить способ поиска. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте работу спокойно, не исправляйте ответ без объяснения. Отметьте плюс рядом с верным заданием и знак вопроса рядом с тем, которое нужно разобрать. После проверки обсудите одну ошибку с партнёром." | Сверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, объясняют партнёру ход проверки. Выполняют самооценку по трём пунктам. |
Эталон решения
$38:7=5$ и остаток $3$, поскольку $38=7\cdot5+3$, а $3<7$. Число 45 делится на 5 и 3: последняя цифра 5, сумма цифр $4+5=9$ делится на 3 и 9. Число 62 делится на 2, но не делится на 5, 10, 3 и 9: последняя цифра чётная, сумма цифр $6+2=8$. Число 90 делится на 2, 5, 10, 3 и 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что правило важно не только назвать, но и правильно применить. Если ошибка возникла, это сигнал для коррекции, а не повод отказываться от решения. Завершим урок общей рефлексией и проверим, ответили ли мы на проблемный вопрос."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать новое знание, оценить собственное продвижение и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная запись»: "За одну минуту закончите три фразы: Сегодня я узнал…; Теперь я умею…; Мне ещё нужно потренироваться…" Учитель собирает несколько ответов. | Записывают три фразы и зачитывают по желанию: "Я умею проверять делимость по последней цифре", "Мне нужно потренироваться в разложении на множители". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как быстро узнать, делится ли число без выполнения деления? Назовите признаки и приведите по одному примеру." | Отвечают, что используют последнюю цифру или сумму цифр; приводят примеры 240, 135, 72, 81. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень или более сложный. Запишите выбранный вариант в дневник. Перед уходом проверьте, что можете объяснить разницу между делителем и кратным." | Записывают задание, заполняют лист самооценки, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, корректно записано деление с остатком и проверка, объяснены не менее четырёх признаков делимости, нет существенных ошибок в терминах.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или одна формулировочная ошибка, ход рассуждения в основном объяснён.
- «3» — выполнено не менее 60% заданий базового уровня, правильно применены хотя бы два признака делимости, но требуется коррекция записи деления с остатком или различения простых и составных чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о делителях, кратных и простых числах? | Выявление осознания основных понятий и связи между ними. |
Какой признак делимости вы применяете увереннее всего? | Определение освоенного алгоритма и субъективной уверенности ученика. |
Где возникло затруднение: в делении с остатком, разложении на множители или признаках делимости? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Какой способ проверки своего решения вы будете использовать дома? | Формирование регулятивного навыка самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть делимость числа не только через непосредственное деление, но и через его запись. Мы вспомнили делители и кратные, научились записывать деление с остатком, различать простые и составные числа и вывели признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Обратите внимание на типичные ошибки: остаток должен быть меньше делителя, а число 1 не является простым. На следующем уроке мы продолжим использовать эти признаки при разложении чисел на простые множители и решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий: найти делители двух натуральных чисел, записать два примера деления с остатком и определить делимость пяти чисел на 2, 5, 10, 3 и 9. | Закрепляет базовые определения и признаки; при проверке обратить внимание на полноту списка делителей и условие $r<b$. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий: разложить два числа на множители, классифицировать шесть чисел как простые или составные, подобрать числа, делящиеся одновременно на 3 и 5, и объяснить применённые признаки. | Развивает применение и анализ; проверить наличие обоснования, а не только итогового ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести мини-исследование: найти все двузначные числа, делящиеся одновременно на 2 и 9, затем составить собственное задание на деление с остатком и записать его проверку. | Формирует исследовательское и творческое мышление; при проверке оценить полноту перебора, аргументацию и корректность собственного задания. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют делителем числа?», «Чем кратное отличается от делителя?», «Каким должно быть значение остатка?», «По какой части записи числа проверяют делимость на 2, 5 и 10?», «Что нужно сделать для проверки делимости на 3 и 9?»
