Натуральные числа: действия с натуральными числами. Сочетательное свойство сложения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять сочетательное свойство сложения при устном и письменном вычислении сумм натуральных чисел, группировать слагаемые удобным способом и объяснять выбор действия.
- Закрепить умения распознавать натуральные числа, выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел, а также соблюдать порядок действий.
- Научиться формулировать и применять сочетательное свойство сложения в вычислениях и текстовых задачах.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить ошибки, аргументировать ответ и работать в паре.
- Формировать аккуратность вычислений, взаимопомощь и ответственное отношение к результату совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску рационального способа вычисления в практической ситуации.
- Осознают значение точности, самопроверки и настойчивости при выполнении математических заданий.
- Соблюдают правила сотрудничества, уважительно относятся к объяснениям одноклассников.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют существенные признаки сочетательного свойства, устанавливают связи между выражениями и преобразуют их.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность вычислений, проверяют и корректируют результат.
- Коммуникативные: формулируют объяснение, задают уточняющие вопросы и согласуют решение в паре.
- Используют смысловое чтение условия задачи и представляют решение в виде математического выражения.
Предметные
- Знать формулировку сочетательного свойства сложения: от перестановки группировки слагаемых сумма не изменяется.
- Уметь записывать сочетательное свойство в буквенном виде: $(a+b)+c=a+(b+c)$ и применять его к натуральным числам.
- Уметь выбирать удобную группировку слагаемых, в том числе для получения круглого числа.
- Уметь выполнять действия с натуральными числами и проверять вычисления обратным действием или повторным счётом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться считать быстрее и надёжнее.
- Осознают необходимость объяснять не только ответ, но и способ его получения.
- Проявляют готовность принимать помощь и оказывать её одноклассникам.
- Формируют положительное отношение к математике через решение практических задач.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы после выявления затруднения.
- Планируют порядок действий при преобразовании выражения.
- Осуществляют самопроверку по образцу и находят место ошибки.
- Оценивают достижение цели с помощью листа самооценки и сигнальных карточек.
Познавательные УУД
- Сравнивают значения выражений с разной группировкой слагаемых.
- Выводят закономерность на основе нескольких числовых примеров.
- Моделируют практическую ситуацию математическим выражением.
- Выбирают рациональный способ вычисления и обосновывают его.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Сравнивают решения групп и корректно указывают на неточности.
- Участвуют в обсуждении, соблюдая очередность высказываний.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с натуральными числами, выражениями и схемой сочетательного свойства.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать лист самооценки на каждого ученика и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Подготовить магнитные карточки со слагаемыми 25, 75, 100, 125, 300, 700 для группового задания.
- Подготовить таймер на 2 и 4 минуты для коротких вычислительных этапов.
- Вывести на доску памятку: «Сочетательное свойство: $(a+b)+c=a+(b+c)$; сначала ищем удобную группу».
- Подготовить слайд или плакат с условием практической задачи о покупках и таблицу для фиксации способов решения.
- Организовать рабочие места для парной работы; проверить наличие у каждого ученика тетради, ручки и линейки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность удобной группировки слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к математическому старту»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь лежит под наклоном, ручка пишет, на доску хорошо видно. Сегодня нам предстоит не просто считать, а искать самый удобный путь к ответу. Покажите большой палец вверх, если готовы начать». | Проверяют принадлежности, занимают рабочие места, показывают сигнал готовности. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $125+75+300$ и говорит: «Представьте, что это стоимость трёх покупок. Можно складывать числа по порядку, а можно сначала объединить те, которые дают круглое число. Какой вариант кажется удобнее? Почему? Сегодня мы проверим, всегда ли можно менять группировку слагаемых и как это помогает считать быстрее». | Рассматривают выражение, предлагают: «Сначала удобно сложить 125 и 75, потому что получится 200», формулируют предположение о сохранении суммы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один и тот же пример можно считать разными способами. Сейчас вспомним действия с натуральными числами и проверим, какие знания понадобятся для дальнейшей работы».
Этап 2. Актуализация знаний. Устный математический разогрев (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о натуральных числах, действиях и порядке выполнения вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Математическая цепочка»: «Назовите несколько натуральных чисел. Какое натуральное число является первым? Может ли число 0 быть натуральным в разных трактовках? На нашем уроке будем считать натуральными числа, начинающиеся с 1». Учитель записывает ответы и просит сравнить пары чисел: 348 и 384; 1000 и 999. | Называют натуральные числа, отвечают: «Первое натуральное число — 1», сравнивают числа знаками $<$ и $>$, объясняют сравнение по разрядам. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить: $240+60$, $700-250$, $8\cdot 7$, $72:9$. «Не называйте только ответы. После каждого примера скажите, какое действие выполняли и как проверили результат». | Вычисляют: «300, сложение»; «450, вычитание»; «56, умножение»; «8, деление». Объясняют способы проверки. |
2 мин | Учитель показывает выражение $36+14+50$ и спрашивает: «В каком порядке выполняется сложение без скобок? Что изменится, если поставить скобки? Как можно проверить, что два выражения равны?» | Отвечают: «Сложение выполняется слева направо, если нет скобок»; предлагают вычислить двумя способами и сравнить результаты. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили натуральные числа, четыре арифметических действия и порядок вычислений. Теперь найдём закономерность, которая позволит менять группировку слагаемых без изменения суммы».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить учебное затруднение и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два выражения: $(20+30)+50$ и $20+(30+50)$. «Вычислите первое выражение. Теперь второе. Получились ли одинаковые ответы? Почему? Это случайность или закономерность? Сформулируйте вопрос, на который нам нужно ответить». | Вычисляют оба выражения, получают 100 и 100, предполагают: «Сумма не меняется, если по-разному объединять слагаемые», формулируют проблемный вопрос. |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: «Сначала каждый сформулируйте цель одним предложением. Затем обсудите её в паре и выберите наиболее точную формулировку». После обсуждения спрашивает: «Какие действия помогут достичь цели?» | Индивидуально формулируют цель, обсуждают в парах, предлагают: «Узнать сочетательное свойство сложения, научиться менять группировку и применять это для удобных вычислений». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: мы должны понять правило, записать его и применить при вычислениях. Перейдём к самостоятельному открытию закономерности на числовых примерах».
Этап 4. Открытие и формулировка сочетательного свойства (8 мин)
Цель этапа: вывести сочетательное свойство сложения и научиться распознавать удобную группировку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует работу в парах и раздаёт карточки с выражениями: $(12+8)+5$ и $12+(8+5)$; $(25+75)+40$ и $25+(75+40)$. «Вычислите каждую пару выражений. Запишите ответы рядом и сравните их. Если ответы совпали, объясните, что именно изменилось в записи». | В парах вычисляют выражения, получают одинаковые результаты, фиксируют: «Изменилась группировка слагаемых, порядок слагаемых не изменился». |
3 мин | Учитель проводит эвристическую беседу: «Пусть первое слагаемое обозначим буквой $a$, второе — $b$, третье — $c$. Как записать левую часть? Как записать правую? Какой знак поставим между ними? Сформулируйте правило словами». | Записывают $(a+b)+c=a+(b+c)$, формулируют: «Чтобы прибавить к сумме трёх чисел, можно сначала сложить первые два или последние два слагаемых; результат не изменится». |
2 мин | Учитель показывает выражение $48+52+17$ и говорит: «Выберите удобную группировку. Объясните, почему именно она рациональна. Запишем решение на доске: $48+52+17=(48+52)+17=100+17=117$». | Выбирают скобки вокруг 48 и 52, проговаривают: «Эти числа дают круглую сотню», записывают решение в тетради и сверяют его с доской. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Сочетательное свойство сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$. Чтобы прибавить к сумме трёх чисел третье число, можно сначала сложить первые два слагаемых или второе и третье слагаемые. Сумма от этого не изменится. При вычислении выбираем группировку, которая делает счёт удобнее».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило и увидели, что скобки помогают выбрать удобную пару слагаемых. Теперь применим свойство сначала вместе, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление. Приём «Математический конвейер» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм выбора группировки и применения сочетательного свойства в совместной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями: $37+63+18$; $125+75+46$; $204+96+30$. «Работаем по алгоритму: найдите удобную пару, поставьте скобки, вычислите сумму, объясните выбор. Один ученик вычисляет, второй проверяет и задаёт вопрос: “Почему эта группировка удобнее?” Через полторы минуты поменяйтесь ролями». | В парах решают: $(37+63)+18=118$; $(125+75)+46=246$; $(204+96)+30=330$. Объясняют выбор круглых сотен и десятков, меняются ролями. |
2 мин | Учитель организует проверку приёмом «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если решение совпало и объяснение понятно; жёлтую — если есть сомнение; красную — если нужна помощь. Разберём одну ошибку: ученик записал $37+(63+18)=37+81=118$. Верно ли он применил свойство?» | Показывают карточки, анализируют запись, отвечают: «Да, группировка изменена правильно, значение суммы осталось 118», объясняют два шага вычисления. |
2 мин | Учитель предлагает короткую эстафету: «К доске выйдут два представителя пар. Первый преобразует $19+81+25$, второй — $450+50+7$. Необходимо не только получить ответ, но и назвать свойство». | Записывают $(19+81)+25=125$ и $(450+50)+7=507$, называют сочетательное свойство сложения, сверяют с решениями на доске. |
Эталон решения
$19+81+25=(19+81)+25=100+25=125$. $450+50+7=(450+50)+7=500+7=507$. В обоих случаях сначала объединены слагаемые, образующие круглое число; применено сочетательное свойство сложения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились выбирать удобную пару и объяснять, почему результат не меняется. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение сочетательным свойством и действиями с натуральными числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выполните обязательные задания самостоятельно. Уровень 1: расставьте скобки и вычислите $26+74+15$, $320+80+6$. Уровень 2: вычислите удобным способом $48+52+137$, $275+25+125+75$. Уровень 3: объясните, верно ли утверждение: “Сочетательное свойство позволяет менять местами слагаемые”. Приведите пример». | Индивидуально выполняют выбранный или назначенный уровень, записывают промежуточные действия, формулируют объяснение различия между сочетательным и переместительным свойствами. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: $26+74+15=115$; $320+80+6=406$; $48+52+137=237$; $275+25+125+75=500$. «Проверьте каждую строку, отметьте знак “+” рядом с верным ответом, ошибку обведите и исправьте». | Сверяют вычисления, исправляют ошибки, отмечают место затруднения. |
2 мин | Учитель проводит мини-рефлексию «Лист самооценки»: «Поставьте отметку напротив утверждений: “Я умею выбирать удобную группировку”; “Я могу объяснить свойство словами”; “Я проверяю вычисления”. Если один пункт не выполнен, запишите, какая помощь нужна». | Заполняют лист самооценки, записывают конкретное затруднение, например: «Путаю сочетательное и переместительное свойства». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что большинство уже умеет выбирать удобную группировку. Осталось применить это умение в жизненной задаче и доказать, что математический способ помогает считать реальные суммы».
Этап 7. Включение в систему знаний. Практическая задача (4 мин)
Цель этапа: применить сочетательное свойство сложения в реальном контексте и связать его с действиями с натуральными числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске условие: «В школьную библиотеку поступили три посылки с книгами: 125 книг, 75 книг и 46 книг. Сколько всего книг поступило? Предложите способ вычисления, удобный для устного счёта». Учитель уточняет: «Какие числа выгодно объединить первыми? Почему?» | Читают условие, составляют выражение $125+75+46$, предлагают сгруппировать 125 и 75, объясняют: «Их сумма равна 200». |
2 мин | Учитель просит назвать два равноправных способа и сделать вывод: «Запишите решение и ответ. Чем полезно сочетательное свойство в практических расчётах?» | Записывают $(125+75)+46=200+46=246$ и $125+(75+46)=125+121=246$, формулируют: «Свойство позволяет считать удобнее и быстрее, не изменяя сумму». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили правило не только к учебным примерам, но и к подсчёту книг. Завершим урок проверкой главного вывода и определим, что уже получилось, а что нужно потренировать».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели, зафиксировать затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: «На маленьком листке завершите две фразы: “Сочетательное свойство сложения — это ...”; “Чтобы вычислить сумму удобнее, я сначала ...”. Затем поставьте себе один из сигналов: зелёный — могу объяснить и применить; жёлтый — применяю с подсказкой; красный — нужна тренировка». | Записывают определения и личный алгоритм, выбирают цвет самооценки, сдают листок учителю. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Обязательный уровень выполняют все, повышающий — те, кто готов к дополнительной тренировке, дополнительный — по желанию. Перед уходом ответьте: чем сочетательное свойство отличается от переместительного?» | Записывают задание, отвечают: «Сочетательное свойство меняет группировку слагаемых, а переместительное — их порядок». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, правильно применено сочетательное свойство не менее чем в четырёх выражениях, решение практической задачи записано с пояснением, ошибок в вычислениях нет.
- «4» — верно выполнены основные задания и практическая задача, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, смысл сочетательного свойства объяснён правильно.
- «3» — выполнена большая часть обязательных заданий, но допущены две-три ошибки; ученик узнаёт сочетательное свойство и применяет его с помощью образца.
- Ниже базового уровня — свойство пока не распознаётся или вычисления систематически неверны; требуется повторить формулу и выполнить тренировочные примеры вместе с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о группировке слагаемых? | Проверка осознания формулировки сочетательного свойства. |
Какое выражение вы сегодня вычислили самым удобным способом? | Выявление умения выбирать рациональную группировку. |
Чем сочетательное свойство отличается от переместительного? | Диагностика понятийного различения двух свойств сложения. |
На каком шаге задания вам понадобилась помощь? | Выявление индивидуальных затруднений для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы повторили действия с натуральными числами и вывели сочетательное свойство сложения. Вы научились менять группировку слагаемых так, чтобы вычисление стало удобнее, например сначала получать круглую сотню. Помните: сочетательное свойство не меняет порядок чисел, а только показывает, какие слагаемые можно объединить первыми. На следующем уроке мы продолжим применять свойства действий при преобразовании выражений и решении задач. Если сегодня у вас остались вопросы, отметьте их в тетради — мы начнём следующий урок с их разбора».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на сложение натуральных чисел: в каждом расставить скобки удобным способом, вычислить сумму и подписать применённое свойство. | Закрепляет формулу $(a+b)+c=a+(b+c)$ и алгоритм выбора удобной группировки; при проверке смотреть на правильность скобок и вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 2–3 практические задачи на подсчёт общего количества предметов или стоимости нескольких покупок, составив выражение и показав два способа группировки слагаемых. | Формирует применение свойства в реальном контексте; при проверке учитывать математическую модель, пояснение и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с тремя или четырьмя слагаемыми, в которой удобно получить круглое число, решить её двумя способами и объяснить, почему ответы совпали. | Развивает создание математического текста и аргументацию; при проверке смотреть на корректность условия, выражения и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается сочетательное свойство сложения? Что можно изменять: порядок слагаемых или их группировку? Какую пару слагаемых выгодно объединить в выражении $38+62+19$ и почему?»
