Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить НОД и НОК двух натуральных чисел перечислением делителей и кратных, а также применять их для решения практических задач с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о наибольшем общем делителе и наименьшем общем кратном двух чисел.
- Научить находить НОД и НОК перечислением делителей и кратных чисел, объясняя последовательность действий.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить ошибки и выбирать рациональный способ.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность сотрудничать и взаимопомощь при работе в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску общего решения математической задачи.
- Осознают значение точности и самопроверки при вычислениях.
- Принимают ответственность за собственный результат и вклад в работу пары.
- Развивают уверенность при переходе от конкретных примеров к математическим понятиям.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Составляют алгоритм поиска НОД и НОК и применяют его к новым примерам.
- Сравнивают полученные решения, выявляют ошибки и аргументируют выбор ответа.
- Работают с таблицей делителей и кратных, осуществляют взаимопроверку по эталону.
Предметные
- Знать определения НОД и НОК двух натуральных чисел.
- Уметь находить НОД перечислением общих делителей и выбирать наибольший из них.
- Уметь находить НОК перечислением общих кратных и выбирать наименьшее из них.
- Уметь решать практические задачи на совпадение повторяющихся событий с использованием НОК.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться находить общий делитель и общее кратное.
- Понимают практическую ценность НОД и НОК при распределении предметов и согласовании повторяющихся действий.
- Проявляют готовность спокойно исправлять вычислительные ошибки.
- Оценивают собственную уверенность в выполнении заданий разной сложности.
Регулятивные УУД
- Планируют последовательность поиска делителей и кратных.
- Контролируют полноту списка делителей и порядок перечисления кратных.
- Сверяют результат с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют общие делители и общие кратные из предложенных рядов.
- Сравнивают понятия «делитель» и «кратное», устанавливают связь между ними.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью числовых рядов.
- Находят закономерность и формулируют определения НОД и НОК.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают способ решения в паре и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о полноте списка делителей и кратных.
- Аргументируют ответ математическими примерами.
- Осуществляют взаимопроверку по критериям, корректно сообщая об ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с рядами делителей и кратных чисел 12 и 18.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить 15–20 карточек с парами чисел для работы в парах.
- Подготовить листы с эталонами решения для взаимопроверки — по одному на пару.
- Разделить доску на зоны «Делители», «Кратные», «Алгоритм», «Самопроверка».
- Подготовить цветные маркеры или магниты двух цветов для выделения общих делителей и общих кратных.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий.
- Раздать каждому ученику лист самооценки со светофором и тремя критериями: понимаю, умею, могу объяснить.
- Подготовить слайд или плакат с жизненной задачей о повторяющихся событиях.
- Оборудование: доска, проектор или интерактивная доска, карточки, маркеры, листы для самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к практической задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится внимательность: мы будем искать числа, которые помогают распределять предметы без остатка и согласовывать повторяющиеся события." | Проверяют готовность к уроку, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске задачу: "Один фонарик мигает каждые 6 секунд, а другой — каждые 8 секунд. Сейчас они мигнули одновременно. Через сколько секунд это произойдёт снова? Не торопитесь вычислять. Обсудите с соседом, какие числа могут нам помочь." Учитель называет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала самостоятельно предлагают ответ, затем обсуждают в парах и формулируют предположение: «Нужно найти число, которое делится и на 6, и на 8». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы увидели, что некоторые задачи требуют найти общее для двух чисел. Сначала вспомним, что мы уже умеем делать с делителями и кратными."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: повторить понятия делителя и кратного, обнаружить необходимость нового способа выбора общего числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске числа 12 и 18: "Назовите делители числа 12. Как проверить, что число является делителем? Теперь назовите первые пять кратных числа 12. Чем отличается делитель от кратного?" Учитель фиксирует ответы в двух колонках. | Называют делители 12: «1, 2, 3, 4, 6, 12»; кратные 12: «12, 24, 36, 48, 60»; формулируют: «Делитель делит число без остатка, а кратное получается умножением числа на натуральное число». |
3 мин | Учитель предлагает задание: "Выделите общие делители чисел 12 и 18. Затем выпишите первые пять общих кратных. Какой делитель нужно выбрать, если требуется самый большой? Какое кратное — если требуется самое маленькое?" Учитель намеренно не вводит термин, а подводит к нему вопросами. | В парах составляют списки: общие делители «1, 2, 3, 6», общие кратные «36, 72, 108». Отвечают: «Самый большой общий делитель — 6, самое маленькое общее кратное — 36». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем находить общие элементы в двух списках, но пока не называем их специальными математическими терминами. Сейчас сформулируем новые понятия и алгоритмы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать тему, цель и план изучения нового материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Посмотрите на наши ответы. В первом случае мы искали самый большой общий делитель, а во втором — самое маленькое общее кратное. Как можно назвать эти величины кратко? Какие вопросы нужно решить на уроке?" Учитель записывает формулировки учащихся на доске. | Предлагают названия: «наибольший общий делитель» и «наименьшее общее кратное». Формулируют вопросы: «Как их находить? Как не пропустить нужное число? Где применять?» |
2 мин | Учитель формулирует цель: "К концу урока вы должны уметь находить НОД и НОК двух чисел, объяснять алгоритм и применять его в задаче. Наш план: повторить делители и кратные, вывести определения, потренироваться, выполнить самостоятельную работу и проверить себя." | Записывают тему урока и план действий в тетрадь, уточняют непонятные шаги. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена, план есть. Теперь откроем новое знание не через готовое правило, а через наши списки и наблюдения."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформулировать определения НОД и НОК и построить алгоритмы их нахождения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель возвращает внимание к числам 12 и 18: "Общие делители — это делители, которые подходят сразу двум числам. Среди них мы выбираем самый большой: 6. Такая величина называется наибольшим общим делителем, сокращённо НОД. Запишите определение: НОД двух натуральных чисел — наибольший из их общих делителей." Учитель выделяет число 6 цветом и просит объяснить выбор. | Записывают определение и равенство $НОД(12;18)=6$. Объясняют: «6 делит и 12, и 18 без остатка; среди общих делителей 1, 2, 3, 6 это самое большое число». |
3 мин | Учитель показывает ряды кратных: "Общие кратные — числа, которые делятся и на 12, и на 18. Самое маленькое положительное общее кратное — 36. Оно называется наименьшим общим кратным, сокращённо НОК. Запишите определение и равенство." | Записывают определение и равенство $НОК(12;18)=36$. Проверяют: $36:12=3$, $36:18=2$. |
2 мин | Учитель оформляет на доске два алгоритма: "Для НОД выписываем делители каждого числа, находим общие и выбираем наибольший. Для НОК выписываем кратные каждого числа, находим общие и выбираем наименьшее. Проверьте по алгоритму пример для чисел 8 и 12." | Составляют списки: делители 8 — «1, 2, 4, 8», делители 12 — «1, 2, 3, 4, 6, 12», поэтому $НОД(8;12)=4$. Кратные 8 — «8, 16, 24», кратные 12 — «12, 24», поэтому $НОК(8;12)=24$. |
Запись в тетрадях
НОД — наибольший из общих делителей двух чисел. НОК — наименьшее положительное общее кратное двух чисел. Алгоритм: составить списки, выделить общие элементы, выбрать наибольший для НОД или наименьший для НОК.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два определения и два похожих, но не одинаковых алгоритма. Сейчас проверим их на коротких заданиях и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать нахождение НОД и НОК с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с базовым заданием: "Найдите $НОД(15;25)$ и $НОК(15;25)$. Один ученик составляет списки делителей и кратных, второй выделяет общие элементы. Через минуту поменяйтесь ролями." | Выписывают делители 15 и 25, находят общий делитель 5; составляют кратные и находят первое общее кратное 75. Записывают $НОД(15;25)=5$, $НОК(15;25)=75$. |
3 мин | Учитель предлагает задание среднего уровня: "Найдите НОД и НОК чисел 18 и 30. Обязательно подпишите, какой список вы составляете и почему выбираете именно это число. После решения обменяйтесь карточками с соседней парой." | Решают в парах: общие делители 1, 2, 3, 6, значит $НОД(18;30)=6$; первое общее кратное 90, значит $НОК(18;30)=90$. Обмениваются карточками и проверяют полноту списков. |
2 мин | Учитель даёт повышенное задание: "Объясните, почему НОД двух чисел не может быть больше меньшего из них. Приведите пример, подтверждающий ваше объяснение." Учитель выслушивает две пары. | Формулируют: «Общий делитель каждого числа не может быть больше самого числа, поэтому он не может быть больше меньшего из двух чисел». Приводят пример с числами 8 и 12. |
Эталон решения
Для чисел 18 и 30: делители 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18; делители 30 — 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Общие делители — 1, 2, 3, 6, поэтому $НОД(18;30)=6$. Кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90; кратные 30: 30, 60, 90. Первое общее кратное — 90, поэтому $НОК(18;30)=90$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились находить НОД и НОК в паре и объяснять выбор результата. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а задания будут разного уровня сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Выполните обязательный базовый блок. Если он готов и проверен, переходите к повышенному, затем к дополнительному. Записывайте не только ответ, но и списки, по которым вы его получили." | Выбирают рабочий темп, читают инструкцию и начинают индивидуальное выполнение. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: "Что вы ищете сейчас — делители или кратные? Какой из общих элементов требуется выбрать? Проверьте, не пропустили ли вы число в списке." На доске после сигнала таймера открывает эталон. | Выполняют задания. Базовый уровень: найти $НОД(16;24)$ и $НОК(16;24)$. Повышенный: найти $НОД(21;28)$ и $НОК(21;28)$. Дополнительный: решить задачу о двух автобусах, отправляющихся каждые 12 и 18 минут. |
3 мин | Учитель организует самопроверку: "Сверьте решение с эталоном. Ошибку обозначьте карандашом, рядом запишите причину: неполный список, неверный выбор общего элемента или арифметическая ошибка. Исправьте решение, не стирая первоначальный ответ." | Проверяют: $НОД(16;24)=8$, $НОК(16;24)=48$; $НОД(21;28)=7$, $НОК(21;28)=84$. Для задачи получают 36 минут. Отмечают тип ошибки и исправляют запись. |
Эталон решения
Для $16$ и $24$: общие делители — 1, 2, 4, 8, поэтому $НОД(16;24)=8$. Кратные 16: 16, 32, 48; кратные 24: 24, 48, поэтому $НОК(16;24)=48$. В задаче об автобусах требуется найти первое время, кратное и 12, и 18: $НОК(12;18)=36$, следовательно, автобусы снова отправятся одновременно через 36 минут.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось связать новое знание с реальной ситуацией и убедиться, что мы понимаем разницу между НОД и НОК."
Этап 7. Практическое применение и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: применить НОД и НОК в жизненном контексте, оценить достижение цели и сформулировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "У классного руководителя есть 24 карандаша и 36 ластиков. Нужно составить одинаковые наборы так, чтобы использовать все предметы и сделать как можно больше наборов. Сколько наборов получится и сколько карандашей и ластиков будет в каждом? Какую величину нужно искать?" | Определяют, что нужно найти $НОД(24;36)=12$. Делают вывод: получится 12 наборов; в каждом будет $24:12=2$ карандаша и $36:12=3$ ластика. |
1 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если бы мы искали момент следующего одновременного звонка двух устройств, НОД или НОК понадобился бы? Почему?" | Отвечают: «НОК, потому что ищем самое маленькое время, которое делится на оба интервала». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти НОД и НОК, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется объяснение. На листе закончите фразы: «Сегодня я научился...», «Мне нужно повторить...»." Учитель собирает листы и объявляет домашнее задание. | Показывают карточку, дописывают две фразы, формулируют личный результат и записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились различать НОД и НОК, находить их по спискам и применять в задачах. Проверьте дома, можете ли вы объяснить не только ответ, но и выбор нужной величины."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены базовое и повышенное задания, правильно найдены НОД и НОК, списки делителей и кратных составлены полно, решение практической задачи объяснено.
- «4» — выполнены базовое и повышенное задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом применён верно.
- «3» — правильно выполнено базовое задание или большая часть его шагов, но допущены ошибки в составлении списков, выборе НОД или НОК.
- Результат ниже отметки «3» — ученик не различает делители и кратные или не может завершить алгоритм даже с опорой на список; требуется индивидуальная тренировка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о НОД и НОК? | Проверка осознания основных понятий и различий между ними. |
Как понять, что в задаче нужно искать НОД, а не НОК? | Выявление понимания практического смысла двух величин. |
На каком шаге алгоритма вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения: составление списка, поиск общих элементов или выбор результата. |
Можете ли вы объяснить решение однокласснику? | Оценка глубины понимания и готовности аргументировать способ решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Запомните главный ориентир: при распределении предметов на одинаковые группы чаще нужен НОД, а при поиске момента повторной встречи — НОК. Типичная ошибка — перепутать самое большое общее число с самым маленьким или составить неполный список. На следующем уроке мы продолжим применять эти понятия в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 пары заданий на нахождение НОД и НОК двух натуральных чисел перечислением делителей и кратных; в каждом примере записать промежуточные списки. | Закрепляет определения и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полноту списков и правильный выбор наибольшего или наименьшего общего элемента. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи: одну на распределение предметов поровну и две на совпадение повторяющихся событий; самостоятельно определить, нужен НОД или НОК. | Формирует умение выбирать математическую модель; при проверке смотреть на обоснование выбора НОД или НОК. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную жизненную задачу на НОД или НОК, решить её и написать два предложения с объяснением, почему выбран именно этот способ. | Развивает функциональную грамотность и умение создавать математическую задачу; при проверке оценить корректность условия, решения и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется НОД? Что называется НОК? Какую величину вы выберете для составления одинаковых наборов? Какую — для определения времени следующего совпадения событий?»
