Действия сложения. Свойства сложения
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять переместительное и сочетательное свойства сложения при устном и письменном выполнении вычислений, объясняя выбор свойства не менее чем в 4 из 5 заданий.
- Познакомить учащихся с переместительным и сочетательным свойствами сложения и научить формулировать их словами и записывать буквенными выражениями.
- Сформировать умение рационально группировать слагаемые и использовать свойства сложения для упрощения вычислений в пределах изученных чисел.
- Развивать логическое мышление, математическую речь, умение сравнивать способы решения и аргументировать выбор наиболее удобного способа.
- Воспитывать внимательность, самостоятельность, готовность к сотрудничеству и ответственное отношение к проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску более удобного способа вычисления и понимают практическую ценность математических свойств.
- Осознают важность точности записи, проверки вычислений и умения объяснять собственное решение.
- Принимают правила сотрудничества в паре и группе, доброжелательно относятся к иному способу рассуждения.
- Формируют положительную учебную мотивацию через решение задач с выбором и элемент соревнования.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и составляют последовательность действий для её достижения.
- Сравнивают выражения, выделяют существенные признаки и делают вывод на основе наблюдений.
- Используют математическую речь для объяснения хода рассуждений и аргументируют выбор порядка действий.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют вычислительные ошибки.
Предметные
- Знать формулировки переместительного и сочетательного свойств сложения.
- Уметь записывать свойства сложения буквенными выражениями и применять их при преобразовании выражений.
- Уметь переставлять и группировать слагаемые без изменения значения суммы.
- Владеть приёмом рационального вычисления выражений вида $27+35+13+25$ и объяснять каждый шаг преобразования.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения быстро и рационально выполнять вычисления.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через обсуждение и самостоятельный поиск.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат учебной деятельности.
- Соблюдают математическую культуру записи и уважительно воспринимают ответы одноклассников.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, связанную с применением свойств сложения.
- Планируют действия: сравнить, сформулировать правило, записать формулу, применить, проверить.
- Контролируют правильность преобразований и вычислений по предложенному алгоритму.
- Оценивают результат по критериям и корректируют допущенные ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют закономерность в изменении порядка и группировки слагаемых.
- Строят математическую модель свойства с помощью буквенных обозначений.
- Сравнивают несколько способов вычисления и выбирают рациональный.
- Извлекают информацию из примеров, таблицы и краткой памятки на доске.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют вопросы и отвечают полными математическими предложениями.
- Аргументируют способ решения и сравнивают его с предложениями одноклассников.
- Договариваются о единой записи группового ответа и корректно исправляют неточности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами выражений: $3+7$ и $7+3$, $(2+5)+4$ и $2+(5+4)$, а также с проблемным примером $27+35+13+25$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки со словами «переместительное свойство», «сочетательное свойство», «слагаемые», «сумма» — по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Приготовить листы для групповой работы и стикеры двух цветов для приёма «Светофор» — по одному набору на ученика.
- Вывесить на доску или вывести на экран памятку: «Можно менять местами слагаемые» и «Можно объединять слагаемые в группы».
- Подготовить маркеры, магнитные карточки с числами и знаками сложения, таймер на 2–3 минуты.
- Разделить доску на зоны: «Проблема», «Открытие», «Алгоритм», «Самопроверка».
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску удобного способа сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка лежат перед вами. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение замечать удобный порядок действий. Настройтесь на работу исследователей: сначала мы увидим закономерность, а затем сами сформулируем правило." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят тетради и настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $8+2+5$ и $8+5+2$: "Вычислите устно. Значения получились одинаковыми? А можно ли утверждать, что так будет всегда? Сегодня мы проверим это не на одном примере, а построим математическое правило." | Вычисляют: $15$ и $15$; предполагают: "Слагаемые можно переставлять, и сумма не меняется"; формулируют вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заметили, что одинаковые слагаемые можно записать в другом порядке. Теперь проверим, почему это возможно и какие ещё преобразования суммы помогают считать быстрее."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия слагаемого и суммы, а также обнаружить необходимость нового способа вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрите запись $14+6=20$. Назовите первое слагаемое, второе слагаемое и сумму. Что обозначает знак равенства? Теперь составьте по одному выражению с тремя слагаемыми." | Отвечают: "14 и 6 — слагаемые, 20 — сумма"; объясняют, что левая и правая части имеют одинаковое значение; составляют, например, $4+9+6$. |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд решите самостоятельно, затем обсудите с соседом: как удобнее найти значение $26+18+4+2$? Не просто назовите ответ, а объясните, какие числа вы объединили." | Самостоятельно вычисляют, затем в парах предлагают группировку $(26+4)+(18+2)=50$; объясняют, что получили круглые десятки. |
2 мин | Учитель записывает на доске два решения: $26+18+4+2=(26+4)+(18+2)$ и $26+18+4+2=(26+18)+(4+2)$. Спрашивает: "Оба решения верны. Как доказать, что при перестановке или группировке слагаемых сумма не изменяется? Какого правила нам пока не хватает?" | Сравнивают решения, замечают, что порядок и группировка меняются, а значение остаётся прежним; формулируют затруднение: "Нужно узнать и записать свойства сложения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить сумму, но пока опираемся только на догадку о выгодной группировке. Нам нужно открыть правила, которые разрешают переставлять и объединять слагаемые."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и спланировать открытие свойств сложения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает магнитные карточки с числами 3, 7 и знаками плюс: "Составьте сумму из этих слагаемых. Теперь поменяйте местами 3 и 7. Изменилось ли значение? Как записать наблюдение буквами?" | Составляют $3+7$ и $7+3$, отвечают: "Значение не изменилось"; предлагают запись $a+b=b+a$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "А если в сумме три слагаемых, можно ли сначала объединить любые два? Что нам нужно сделать на уроке, чтобы ответить уверенно? Сформулируйте цель и план: что исследуем, что запишем, где применим." | Формулируют цель: "Открыть свойства сложения и научиться применять их"; называют план: сравнить примеры, вывести правила, записать формулы, решить задания и проверить себя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня мы не просто запомним два названия, а выясним смысл каждого свойства и научимся использовать его для рациональных вычислений. Переходим к самостоятельному открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести переместительное и сочетательное свойства сложения, связать их с буквенными моделями и алгоритмом применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует работу в парах: "Заполните пропуски и сравните результаты: $5+9=9+5$, $12+7=7+12$, $a+b=...$. Обсудите, что изменилось, а что осталось прежним. Сформулируйте правило своими словами." | Выполняют записи, сравнивают значения, формулируют: "От перестановки слагаемых сумма не меняется"; записывают $a+b=b+a$. |
3 мин | Учитель показывает пары: $(2+6)+4$ и $2+(6+4)$, $(10+3)+7$ и $10+(3+7)$: "Вычислите обе записи. Как изменена группировка? Меняется ли сумма? Какое правило можно сформулировать?" | Вычисляют по скобкам, получают одинаковые результаты; объясняют: "Слагаемые объединяют в разные группы, но сумма не меняется"; предлагают $(a+b)+c=a+(b+c)$. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске названия: "Первое свойство называется переместительным, потому что меняется место слагаемых. Второе — сочетательное, потому что слагаемые можно сочетать, объединять в группы. Запишите формулы и словесные формулировки." | Записывают в тетради названия, формулы и определения; выделяют ключевые слова «перестановка» и «группировка». |
2 мин | Учитель разбирает пример: "Вычислим $27+35+13+25$. Я вижу пары, дающие круглые десятки: $27+13=40$, $35+25=60$. Используем переместительное и сочетательное свойства: $27+35+13+25=(27+13)+(35+25)=40+60=100$. Почему такой способ удобен?" | Повторяют преобразование по цепочке, объясняют: "Мы переставили и сгруппировали слагаемые, чтобы получить круглые десятки". |
Запись в тетрадях
Переместительное свойство: $a+b=b+a$. От перестановки слагаемых сумма не изменяется. Сочетательное свойство: $(a+b)+c=a+(b+c)$. От группировки слагаемых сумма не изменяется. При рациональном вычислении ищем пары или группы с удобной суммой.
Эталон решения
$27+35+13+25=(27+13)+(35+25)=40+60=100$. На первом шаге слагаемые переставлены и объединены так, чтобы получить круглые десятки; на втором шаге вычислены суммы групп; на третьем шаге сложены результаты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два свойства: переместительное помогает менять порядок слагаемых, а сочетательное — менять их группировку. Теперь проверим действие этих правил сначала вместе, с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и научиться применять их в типовых вычислениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт группам карточки: «Сопоставьте выражение с наиболее удобной группировкой и укажите, какие свойства сложения применены: $18+2+35+5$, $47+13+6+4$, $125+25+38+12$. Обсудите один вариант и объясните выбор группе». | В группах находят удобные пары: $(18+2)+(35+5)=60$, $(47+13)+(6+4)=70$, $(125+25)+(38+12)=200$; называют переместительное и сочетательное свойства. |
2 мин | Учитель проводит игру «Верно — неверно»: «Верно ли, что $29+11+6+4=(29+11)+(6+4)$? Верно ли, что $34+16+25=34+(16+25)$ — пример переместительного свойства? Верно ли, что при перестановке слагаемых их значения изменяются? Обоснуйте ответы». | Показывают карточки, исправляют неверное утверждение: во втором примере используется сочетательное свойство; при перестановке меняется порядок слагаемых, но не их значения. |
2 мин | Учитель предлагает у доски выражение $36+14+27+3$: «Найдите удобные пары, запишите преобразование и подпишите свойства». | Записывают $(36+14)+(27+3)=80$, объясняют, что слагаемые переставлены и сгруппированы для получения круглых десятков; класс проверяет решение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы различаете свойства по изменению записи и умеете использовать их вместе. Следующий шаг — самостоятельная проверка: каждый покажет, насколько уверенно применяет новый алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять свойства сложения и осуществлять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: «Выполните задания самостоятельно. В каждом выражении найдите удобную группировку, запишите преобразование и подпишите применённые свойства». Обязательный уровень: $42+8+17$, $56+24+13+7$; повышенный уровень: $135+65+28+72$, $247+53+16+84$; дополнительный уровень: составьте собственное выражение с четырьмя слагаемыми, в котором удобно получить две круглые суммы. | Решают задания и записывают преобразования. Возможные решения: $42+8+17=50+17=67$; $(56+24)+(13+7)=100$; $(135+65)+(28+72)=300$; $(247+53)+(16+84)=400$. Подписывают использованные свойства. |
2 мин | Учитель открывает эталон: «$42+8+17=(42+8)+17=67$; $56+24+13+7=(56+24)+(13+7)=100$; $135+65+28+72=(135+65)+(28+72)=300$. Сверяйте не только ответы, но и группировку. Найдите и исправьте одну ошибку, если она есть». | Сверяют решения с эталоном, отмечают верные задания, исправляют ошибки и подсчитывают результат. |
2 мин | Учитель проводит краткую взаимопроверку: «Обсудите с соседом одно выражение повышенного уровня. Объясните, почему выбранная группировка удобна и какое свойство позволило выполнить преобразование». | Объясняют выбор группировки, различают переместительное и сочетательное свойства, сравнивают решения и при необходимости исправляют запись. |
Эталон решения
$125+38+75+12=(125+75)+(38+12)=200+50=250$. Сначала переставляем слагаемые, затем группируем их в пары с удобными суммами. Для выражения $46+19+4+31$ можно записать: $(46+4)+(19+31)=50+50=100$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что свойства помогают не только доказать равенство, но и заметно упростить вычисления. Осталось осмыслить, где именно возникли трудности и как использовать новое знание дальше."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить оба свойства и применить их; жёлтую — если правило понятно, но нужна тренировка; красную — если осталось существенное затруднение. Теперь закончите фразу: «Сегодня я научился…»" | Показывают карточку, формулируют: "Я научился переставлять и группировать слагаемые, чтобы считать удобнее" или называют конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Как сформулировать переместительное свойство? Как записать сочетательное свойство? Какое свойство использовано в записи $7+13+3=(7+3)+13$? Почему нельзя менять местами слагаемые и одновременно менять их знаки?" | Отвечают: "От перестановки слагаемых сумма не меняется"; $(a+b)+c=a+(b+c)$; называют переместительное свойство; объясняют, что при сложении меняют только порядок или группировку слагаемых, а не их значения. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; желающие выполняют повышенный или дополнительный. Перед уходом проверьте, что в тетради есть две формулы и один пример рационального вычисления." | Записывают домашнее задание, сверяют наличие записи, сдают при необходимости билет на выход с ответом на вопрос: «Какое свойство помогает получить круглые десятки?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли свойства сложения и убедились, что порядок и группировка слагаемых могут сделать вычисление удобнее. На следующем уроке мы продолжим применять свойства при преобразовании выражений и решении задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и не менее одного задания повышенного уровня, корректно записаны формулы обоих свойств, преобразования обоснованы.
- «4» — верно выполнены не менее 80% обязательных заданий, допущена не более одной вычислительной или оформительской ошибки, свойства в основном распознаны правильно.
- «3» — верно выполнена не менее половины обязательных заданий, формулировки свойств или записи требуют коррекции, но общий способ рациональной группировки понятен.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о порядке и группировке слагаемых? | Проверить осознание содержания двух свойств сложения. |
Какое свойство вы применяли чаще всего и почему? | Выявить умение соотносить действие с математическим правилом. |
На каком шаге рационального вычисления возникло затруднение? | Обнаружить точки затруднения в выборе пар и групп слагаемых. |
Какое выражение вы теперь сможете вычислить быстрее благодаря свойствам сложения? | Оценить перенос нового способа на практическую ситуацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что сумму можно вычислять удобнее: слагаемые разрешается переставлять и объединять в группы. Важно не путать переместительное свойство, связанное с изменением порядка, и сочетательное, связанное с изменением группировки. Типичная ошибка — написать только ответ и не показать преобразование, поэтому дома обязательно объясняйте каждый шаг. На следующем уроке мы будем использовать свойства сложения при упрощении выражений и решении задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на сложение с двумя–четырьмя слагаемыми, применяя переместительное и сочетательное свойства; в каждом решении записать удобную группировку. | Закрепляет формулировки свойств и алгоритм рационального вычисления; при проверке смотреть на правильность группировки и вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, в которых нужно самостоятельно найти пары слагаемых с суммой 10, 100 или 1000, и подписать использованные свойства. | Развивает умение выбирать рациональный способ и объяснять математическими терминами каждое преобразование. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных выражения с четырьмя или пятью слагаемыми, чтобы их можно было вычислить двумя разными способами, решить и сравнить способы. | Формирует навык создания математической модели, анализа решений и оценки наиболее удобного вычисления. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как звучит переместительное свойство? Как записывается сочетательное свойство? Какое свойство использовано при переходе от $5+17+3$ к $(5+3)+17$? Зачем при вычислении суммы искать пары с круглыми десятками?»
