Действие деления. Деление с остатком
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выполнять деление натуральных чисел с остатком, записывать результат в виде равенства $a=b\cdot q+r$ и проверять, что остаток меньше делителя.
- Сформировать представление о делении с остатком как о распределении предметов на равные группы и закрепить термины «делимое», «делитель», «неполное частное», «остаток».
- Научить выполнять деление с остатком и использовать алгоритм проверки результата.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать действие, объяснять ход решения и работать в паре.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и уверенность при обсуждении математического решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математике через решение задач, связанных с распределением предметов в реальной ситуации.
- Понимают значение аккуратной записи и проверки результата.
- Развивают готовность высказывать предположение и корректно обсуждать решение с одноклассниками.
- Осознают личную ответственность за выполнение индивидуального задания и вклад в работу пары.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из условия задачи, моделируют ситуацию рисунком или схемой.
- Сравнивают решения, находят ошибку в записи деления с остатком.
- Планируют последовательность действий, выполняют самопроверку по эталону и оценивают результат.
- Используют математическую речь для объяснения выбора делимого, делителя, частного и остатка.
Предметные
- Знать смысл действия деления и названия его компонентов.
- Понимать, что при делении с остатком выполняется равенство $a=b\cdot q+r$, где $r<b$.
- Уметь находить неполное частное и остаток при делении натуральных чисел.
- Уметь выполнять проверку деления с остатком.
- Уметь решать простые текстовые задачи на деление с остатком.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности при решении практической задачи.
- Проявляют интерес к поиску разных способов проверки результата.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
- Соблюдают доброжелательное отношение к ответам одноклассников.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют действия по алгоритму деления с остатком.
- Контролируют условие $r<b$ и корректность равенства проверки.
- Находят и исправляют ошибку в собственном решении.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные в задаче на распределение предметов.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Сравнивают деление нацело и деление с остатком.
- Устанавливают связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком.
- Применяют правило проверки к конкретным вычислениям.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ полным предложением.
- Объясняют партнёру последовательность решения.
- Слушают решение одноклассника и задают уточняющие вопросы.
- Согласовывают общий ответ пары и аргументируют его.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить 30 счётных палочек или фишек на каждую группу из четырёх учеников для моделирования деления.
- Распечатать карточки с практическими ситуациями и заданиями трёх уровней: по одной карточке на пару, всего 15 карточек.
- Подготовить два варианта самостоятельной работы по 4 задания в каждом, по одному листу на ученика.
- Вывести на доску тему урока, схему $a=b\cdot q+r$ и памятку: «остаток меньше делителя».
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Подготовить слайд с примерами $17:5$ и $20:5$ для сравнения деления с остатком и деления нацело.
- Разложить на парты линейки или небольшие предметы для наглядного распределения.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею находить частное», «Я умею находить остаток», «Я умею выполнять проверку».
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор, маркеры, таймер, тетради и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к теме через практическую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня нам понадобятся внимание и умение объяснять свои действия. Повернитесь к соседу и пожелайте друг другу успешной работы." | Проверяют принадлежности, приветствуют друг друга, формулируют настрой: "Будем внимательно считать и проверять ответы". |
2 мин | Учитель показывает 17 фишек и 5 коробок: "Представьте, что 17 фишек нужно разложить поровну в 5 коробок. Можно ли положить одинаковое количество во все коробки и использовать все фишки? Что произойдёт с оставшимися фишками? Запишите пока только предположение." | Рассматривают модель, предлагают: "В каждую коробку можно положить по 3 фишки, а 2 останутся"; записывают предположение в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели ситуацию, когда предметы распределяются поровну не полностью. Сейчас вспомним, что уже знаем о делении, и выясним, как записать такой результат математически."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить смысл деления и подготовить учащихся к открытию нового способа записи результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: "Назовите компоненты действия деления в записи $24:6=4$. Что показывает число 24? Что показывает 6? Что означает 4? Теперь объясните, почему $24:6$ выполняется нацело." | Отвечают: "24 — делимое, 6 — делитель, 4 — частное"; объясняют: "24 можно разделить на 6 равные группы по 4 без остатка". |
3 мин | Учитель предлагает задания на доске: $18:3$, $35:5$, $16:4$, $19:4$. Реплика: "Первые три примера решите устно, а в последнем назовите ближайшее произведение числа 4, которое не превышает 19. Подумайте, что делать с разностью." | Решают первые примеры, для $19:4$ называют $4\cdot4=16$, находят разность $19-16=3$, предполагают: "Ответ 4 и остаток 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Деление нацело мы выполняем уверенно. В примере 19 на 4 появился остаток, и нам нужно установить точное правило его записи и проверки."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два варианта: $19:4=4$ и $19:4=4\ остаток\ 3$. "Какой вариант полнее? Почему запись $19:4=4$ недостаточна? Как доказать, что остаток найден правильно?" | Сравнивают записи и отвечают: "Нужно указать остаток, иначе часть предметов потеряна"; предлагают проверить умножением и сложением. |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте цель, затем обсудите её в паре, а после две пары объединятся и выберут общую формулировку. В цели должны быть слова «делить с остатком», «записывать» и «проверять»." | Индивидуально формулируют цель, обсуждают в парах, представляют вариант: "Научиться выполнять деление с остатком, записывать частное и остаток и проверять результат". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам предстоит открыть правило деления с остатком и научиться пользоваться им без ошибок. Перейдём к модели и выведем правило сами."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм деления с остатком и правило проверки результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам по 17 фишек и просит: "Разложите 17 фишек на 5 равных групп. Кладите по одной фишке в каждую группу, пока это возможно. Сколько фишек оказалось в каждой группе? Сколько осталось? Запишите выражение словами." | Распределяют фишки, получают по 3 фишки в каждой группе и 2 лишние; формулируют: "17 разделили на 5, получили 3 и остаток 2". |
3 мин | Учитель записывает: $17=5\cdot3+2$. "Посмотрите на равенство. Что обозначает каждое число? Почему 2 нельзя назвать частным? Какое условие обязательно для остатка?" | Называют 17 делимым, 5 делителем, 3 неполным частным, 2 остатком; отвечают: "Остаток меньше делителя: $2<5$". |
3 мин | Учитель оформляет памятку: "Чтобы выполнить деление с остатком, найдите наибольшее произведение делителя, не превышающее делимое; вычислите остаток вычитанием; проверьте, что остаток меньше делителя. Проверка выполняется по формуле $a=b\cdot q+r$. Разберём $29:6$: $6\cdot4=24$, $29-24=5$, поэтому $29:6=4$ и остаток 5." | Записывают алгоритм, проговаривают его по шагам, проверяют: $29=6\cdot4+5$, $5<6$; формулируют вывод: "Остаток всегда меньше делителя". |
Запись в тетрадях
Деление с остатком: $a=b\cdot q+r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток. Остаток меньше делителя: $r<b$. Алгоритм: найти неполное частное; найти остаток; проверить равенство $a=b\cdot q+r$ и условие $r<b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не просто ответ, а равенство, которое описывает весь результат деления. Теперь потренируемся применять алгоритм вслух и научимся замечать неверные записи."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе и научить объяснять каждое действие.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки: «Выполните деление с остатком: $23:4$, $38:7$, $45:8$. Для каждого примера запишите равенство проверки». Инструкция: "Работайте по ролям: один находит неполное частное, второй проверяет остаток. Через полторы минуты поменяйтесь ролями." | В парах решают примеры, проговаривают: "$23=4\cdot5+3$, остаток 3 меньше 4"; "$38=7\cdot5+3$"; "$45=8\cdot5+5$"; меняются ролями. |
2 мин | Учитель организует приём «Найди ошибку» и показывает записи: $31:6=5\ остаток\ 2$; $42:8=5\ остаток\ 2$; $27:5=4\ остаток\ 7$. "Какая запись ошибочна? Обоснуйте не только вычислением, но и условием для остатка." | Проверяют равенства; исправляют третью запись: $27=5\cdot5+2$, значит $27:5=5$ и остаток 2; объясняют: "Остаток 7 не меньше делителя 5". |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Поставьте рядом с каждым примером знак плюс, если верны и равенство, и условие $r<b$; если есть ошибка, подчеркните место ошибки и напишите совет." | Проверяют решения партнёра, записывают совет: "Проверь умножением" или "Сравни остаток с делителем". |
Эталон решения
Для $38:7$: наибольшее произведение делителя, не превышающее делимое, — $7\cdot5=35$. Остаток: $38-35=3$. Значит, $38:7=5$ и остаток 3. Проверка: $38=7\cdot5+3$, $3<7$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились выполнять деление с остатком и проверять работу партнёра. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он применять алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт два варианта: "Работаем самостоятельно. В каждом примере обязательно записывайте равенство проверки. Сначала решите задания, затем сверьтесь с эталоном на доске. Не подсказываем соседям, потому что сейчас проверяем собственное умение." | Получают вариант, записывают фамилию и читают инструкции. |
6 мин | Учитель предлагает вариант 1: $26:5$, $47:6$, $63:8$, задача: «В 29 упаковок нужно разложить по 4 карандаша. Сколько полных упаковок получится и сколько карандашей останется?» Вариант 2: $34:7$, $ fifty? no. $ fifty?" | Решают индивидуально выбранный вариант, оформляют вычисления и проверку; в задаче записывают ответ полным предложением. |
3 мин | Учитель показывает эталон: вариант 1 — $26=5\cdot5+1$, $47=6\cdot7+5$, $63=8\cdot7+7$; задача: 7 полных упаковок и 1 карандаш. Вариант 2 — $34=7\cdot4+6$, $58=9\cdot6+4$, $72=9\cdot8$; задача с 38 открытками по 5 в наборе: 7 наборов и 3 открытки. "Исправьте ошибки другим цветом и отметьте причину." | Сверяют ответы, исправляют ошибки, отмечают: «ошибка в подборе произведения», «не проверил остаток», «не записал ответ к задаче». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без модели. Осталось обобщить, где деление с остатком встречается в жизни, и оценить собственное продвижение."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и сообщить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если умеете выполнить деление и проверить его; жёлтую, если нужна тренировка; красную, если пока не понимаете шаг. Объясните выбор одним предложением." | Поднимают карточки и формулируют: "Мне нужно потренироваться находить остаток" или "Я умею проверять равенство". |
1 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите на листочке одно равенство деления с остатком и два условия, которым должен удовлетворять правильный ответ." | Записывают пример, например $41=6\cdot6+5$, и условия: равенство верно; $5<6$. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. Базовый обязателен для всех; повышающий и дополнительный выполняйте по желанию. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: что такое остаток и почему он меньше делителя?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Остаток — часть делимого, которая остаётся после образования равных групп; он меньше делителя". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три числовых примера и текстовая задача, для каждого примера записана проверка, остатки сравнены с делителями, ответ задачи сформулирован полно.
- «4» — верно выполнены не менее трёх заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм и условие $r<b$ в основном соблюдены.
- «3» — верно выполнены два задания, понятен способ нахождения неполного частного, но есть ошибки в вычислении остатка, проверке или записи ответа задачи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о делении с остатком? | Выявление осознания формулы $a=b\cdot q+r$ и смысла остатка. |
Как вы проверяете, что остаток найден правильно? | Проверка понимания алгоритма самоконтроля. |
На каком шаге решения вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения: подбор частного, вычисление остатка или проверка. |
Какое задание помогло лучше понять тему? | Получение обратной связи о результативности модели, парной работы и самостоятельного задания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились выполнять деление с остатком и записывать его с помощью равенства $a=b\cdot q+r$. Запомните главную проверку: остаток всегда меньше делителя, иначе деление можно продолжить. Типичная ошибка — назвать остатком число, которое не удовлетворяет этому условию, или забыть проверить равенство. На следующем уроке мы продолжим решать текстовые задачи, в которых результат деления с остатком нужно правильно интерпретировать."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 примеров на деление натуральных чисел с остатком; для каждого записать равенство проверки и сравнить остаток с делителем. | Закрепляет алгоритм; при проверке смотреть на правильность неполного частного, остатка и условия $r<b$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на распределение предметов по равным группам, в которых требуется указать число полных групп и остаток. | Формирует умение переводить жизненную ситуацию в математическую модель и записывать ответ с единицами измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные задачи на деление с остатком, решить их и объяснить, почему остаток в каждой задаче меньше делителя. | Развивает умение создавать математическую задачу, аргументировать решение и применять правило в новом контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называются числа в записи деления?», «Как найти остаток?», «Как проверить деление с остатком?», «Почему остаток не может быть равен делителю или больше него?»
