Действие умножения. Переместительное и сочетательное свойства. Нахождение суммы удобным способом
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять переместительное и сочетательное свойства умножения для упрощения вычислений и находить сумму с одинаковым множителем удобным способом, выполняя не менее 4 из 5 заданий без ошибок.
- Образовательная задача: сформулировать и записать переместительное и сочетательное свойства умножения, привести к каждому свойству собственный пример.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать способы вычислений, находить закономерности, объяснять выбор наиболее удобного способа решения.
- Метапредметная задача: формировать навыки планирования действий, работы в паре, аргументации ответа и самопроверки по образцу.
- Воспитательная задача: воспитывать внимательность, взаимопомощь и ответственное отношение к результату общей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску рациональных способов вычислений.
- Осознают ценность точного и экономного выполнения математических действий.
- Принимают правила сотрудничества и доброжелательно оценивают вклад партнёра.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно обнаружить математическую закономерность.
- Понимают практическую пользу удобных вычислений в повседневных ситуациях.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Сравнивают выражения и способы вычисления, выделяют существенные признаки свойств.
- Работают с математической записью, преобразуют выражения без изменения их значения.
- Планируют последовательность действий и осуществляют самопроверку по эталону.
- Аргументируют решение в паре и используют математическую речь для объяснения вывода.
Предметные
- Знать формулировки переместительного и сочетательного свойств умножения.
- Уметь записывать свойства с помощью букв и числовых выражений.
- Уметь применять свойства умножения при вычислении произведений.
- Уметь находить сумму одинаковых слагаемых через умножение.
- Уметь выбирать удобный способ вычисления суммы и объяснять свой выбор.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют готовность к активному участию в открытии нового знания.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Формируют положительное отношение к математике как к инструменту решения практических задач.
- Осознают необходимость проверять вычисления и исправлять обнаруженные ошибки.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока.
- Составляют план действий для преобразования выражения удобным способом.
- Контролируют порядок выполнения действий и соответствие записи условию.
- Сравнивают свой результат с эталоном и устанавливают причину ошибки.
- Вносят коррективы в решение после взаимопроверки.
Познавательные УУД
- Наблюдают за изменением порядка множителей и группировки множителей.
- Сравнивают значения выражений и формулируют гипотезу о свойствах умножения.
- Моделируют сумму одинаковых слагаемых произведением.
- Выделяют главное в математическом правиле и переводят его в буквенную запись.
- Выбирают рациональный способ вычисления в реальном контексте.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы и уточняют способ решения у партнёра.
- Распределяют роли при работе с карточкой.
- Объясняют, почему преобразование выражения не изменяет его значения.
- Слушают аргументы одноклассников и корректно дополняют ответ.
- Договариваются о единой формулировке вывода в группе.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с рисунками групп предметов и выражениями $3 \cdot 4$ и $4 \cdot 3$, а также с пустыми местами для формулировок свойств.
- Распечатать карточки для работы в парах трёх уровней: по одной карточке на пару, всего 15 экземпляров для класса из 30 учеников.
- Распечатать листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика и 3 запасных экземпляра.
- Подготовить карточки со словами «множители», «произведение», «переместительное свойство», «сочетательное свойство» — по одному комплекту на группу.
- Разложить на парты стикеры двух цветов для приёма «Светофор» — по два стикера на ученика.
- Вывесить на доске памятку: «Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и результаты сложить»; использовать только как опору при необходимости.
- Подготовить эталон для самопроверки: $7 \cdot 8=56$, $2 \cdot 5 \cdot 4=40$, $6+6+6+6+6=5 \cdot 6=30$.
- Подготовить таймер, маркеры, магнитные карточки и проектор или интерактивную доску.
- Организовать на доске три зоны: «Наблюдаем», «Формулируем правило», «Применяем».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску удобного способа вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: на парте должны быть тетрадь, ручка и учебные материалы. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение замечать закономерности." Учитель показывает на доске изображение трёх рядов по четыре кружка. | Проверяют принадлежности, рассматривают рисунок и считают кружки: "Всего 12 кружков". |
2 мин | Учитель обращается к классу: "Представьте, что нужно быстро посчитать 4 ряда по 6 одинаковых предметов. Можно сложить числа по одному, а можно найти более короткий путь. Как вы думаете, всегда ли изменение порядка действий помогает вычислять быстрее? Сегодня мы это проверим и сформулируем правила, которыми можно пользоваться при вычислениях." | Высказывают предположения: "Можно умножить число рядов на число предметов в ряду"; "Порядок множителей, возможно, не влияет на результат". Формулируют ожидание: "Нужно найти удобный способ вычисления". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одну и ту же ситуацию можно описать разными вычислениями. Сейчас проверим, какие записи имеют одинаковое значение и почему это происходит."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения, названия компонентов и порядок выполнения действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Запишите в тетради только ответы: 3 умножить на 4, 5 умножить на 2, 7 умножить на 3. Что обозначает умножение? Как называются числа при умножении?" | Выписывают ответы $12$, $10$, $21$; отвечают: "Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых"; "Числа называются множителями, результат — произведение". |
2 мин | Учитель записывает на доске выражение $4 \cdot 6$ и спрашивает: "Представьте это произведение в виде суммы одинаковых слагаемых. А теперь запишите сумму $5+5+5+5+5+5$ в виде произведения. Сколько множителей будет в произведении?" | Записывают $4 \cdot 6=6+6+6+6$ и $5+5+5+5+5+5=6 \cdot 5$; объясняют, что количество слагаемых становится одним множителем. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните записи $3 \cdot 8$ и $8 \cdot 3$. Не вычисляя, предположите, могут ли они быть равны. Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." | 30 секунд размышляют индивидуально, 1 минуту обсуждают в парах, затем сообщают классу: "$3 \cdot 8=8 \cdot 3$, потому что в обоих случаях получается 24". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл умножения и заметили первую закономерность: множители можно менять местами. Но пока это только наблюдение. Теперь выясним, как точно сформулировать правило и какие ещё преобразования помогают считать быстрее."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость новых правил и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $2 \cdot 3 \cdot 5$ и $2 \cdot (3 \cdot 5)$: "Попробуйте определить без полного вычисления, почему эти записи могут иметь одно и то же значение. Можно ли сначала умножить 2 на 3, а можно ли сначала умножить 3 на 5? Что изменится в записи?" | Рассматривают выражения, обсуждают в парах и предполагают: "Меняется группировка множителей, но сами множители остаются теми же"; вычисляют $2 \cdot 3 \cdot 5=30$ и $2 \cdot (3 \cdot 5)=30$. |
2 мин | Учитель создаёт проблемную ситуацию: "Вычислите сумму $25+25+25+25$ удобным способом. Как превратить её в произведение? Какие свойства помогут быстро перестроить выражение? Сформулируйте, чему мы должны научиться сегодня." | Предлагают $4 \cdot 25=100$; формулируют цель: "Узнать свойства умножения и применять их, чтобы выполнять вычисления удобнее". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: мы умеем выполнять умножение, но ещё не сформулировали правила перестановки и группировки множителей. Наша цель — открыть эти свойства и научиться использовать их для рациональных вычислений."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать переместительное и сочетательное свойства умножения на основе наблюдений и примеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает пары выражений: $3 \cdot 7$ и $7 \cdot 3$, $4 \cdot 6$ и $6 \cdot 4$. "Вычислите значения и сравните результаты. Что изменилось в выражении? Что осталось неизменным? Сформулируйте правило своими словами." Учитель прикрепляет на доску карточки «множители» и «произведение». | Вычисляют: $3 \cdot 7=21$, $7 \cdot 3=21$, $4 \cdot 6=24$, $6 \cdot 4=24$. Формулируют: "От перестановки множителей произведение не изменяется". |
2 мин | Учитель уточняет формулировку: "Запишем правило точно: от перестановки множителей произведение не изменяется. В буквенном виде это записывается так: $a \cdot b=b \cdot a$. Это переместительное свойство умножения. Приведите собственный пример." | Записывают свойство в тетрадь и называют примеры: "$5 \cdot 9=9 \cdot 5$", "$2 \cdot 8=8 \cdot 2$". |
3 мин | Учитель показывает три одинаковые группы чисел: "Сравните записи $(2 \cdot 3) \cdot 4$ и $2 \cdot (3 \cdot 4)$. Сначала вычислите значение в скобках, затем сравните результаты. Как изменилась группировка множителей?" После ответов формулирует: "От перестановки групп множителей произведение не изменяется: $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$. Это сочетательное свойство." | Вычисляют $(2 \cdot 3) \cdot 4=24$ и $2 \cdot (3 \cdot 4)=24$. Объясняют: "Множители не меняются, меняется только объединение в группы". Записывают сочетательное свойство и собственный пример. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: "Сначала каждый назовите выражение, которое можно упростить сочетательным свойством. Затем объединитесь в пары и выберите лучший пример. Две пары объединятся и подготовят одну формулировку, когда свойство особенно удобно применять." | Индивидуально придумывают пример, в парах выбирают, затем в четвёрках формулируют вывод: "Свойство удобно, когда два множителя в скобках дают круглое число, например $2 \cdot (5 \cdot 10)=2 \cdot 50=100$". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не изменяется, $a \cdot b=b \cdot a$. Сочетательное свойство: чтобы умножить произведение двух чисел на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего, $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли два свойства: можно менять местами множители и менять их группировку. Теперь проверим эти правила на конкретных заданиях и научимся использовать их не только для доказательства равенства, но и для быстрого счёта."
Этап 5. Первичное закрепление и физкультминутка (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств умножения в устных и письменных преобразованиях, сохранив работоспособность класса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданиями: «Преобразуйте выражения так, чтобы вычисление стало удобнее: $4 \cdot 25$, $2 \cdot 5 \cdot 7$, $8 \cdot 3 \cdot 5$. Обязательно проговорите, какое свойство применили». Учитель напоминает: "Сначала найдите удобную пару множителей, затем выполните вычисление". | В парах преобразуют: $4 \cdot 25=100$; $2 \cdot 5 \cdot 7=(2 \cdot 5) \cdot 7=70$; $8 \cdot 3 \cdot 5=8 \cdot (3 \cdot 5)=120$. Объясняют применение свойств. |
2 мин | Учитель организует физкультминутку: "Если я называю переместительное свойство, повернитесь вправо и влево; если сочетательное — соедините ладони в группу; если выражение посчитано неверно — присядьте. $3 \cdot 5=5 \cdot 3$; $(2 \cdot 4) \cdot 5=2 \cdot (4 \cdot 5)$; $6 \cdot 7=36$." | Выполняют движения по правилам, для последнего выражения приседают и называют ошибку: "$6 \cdot 7=42$, поэтому равенство неверно". |
2 мин | Учитель предлагает проверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Найдите в решении партнёров две сильные стороны и одну возможную ошибку. Используйте приём «Две звезды и пожелание»." | Проверяют записи другой пары, отмечают два верных преобразования и формулируют одно пожелание, например: "Укажите в решении, какое свойство применено". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства работают только тогда, когда мы сохраняем все множители и не меняем знаки действий. Мы потренировались в парах, а теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли выбирать удобную группировку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание свойств умножения и умение применять их в вычислениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы самостоятельной работы и объясняет: "Выполняйте задания самостоятельно. В первом задании назовите свойство, во втором перестройте выражение, в третьем представьте сумму произведением. Если закончили раньше, выполните дополнительное задание со звёздочкой." | Получают листы, записывают фамилию, читают критерии и уточняют непонятные слова. |
5 мин | Учитель предлагает задания: «1. Вставьте знак сравнения: $6 \cdot 9$ и $9 \cdot 6$; $(3 \cdot 4) \cdot 5$ и $3 \cdot (4 \cdot 5)$. 2. Вычислите удобным способом: $5 \cdot 2 \cdot 9$, $4 \cdot 25$. 3. Запишите сумму $8+8+8+8+8$ произведением. 4. Дополнительно: объясните, почему $7 \cdot 2 \cdot 5$ удобно вычислять как $7 \cdot (2 \cdot 5)$». | Индивидуально решают задания: ставят знаки равенства, получают $90$, $100$, записывают $5 \cdot 8=40$, объясняют выбор группировки. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: $6 \cdot 9=9 \cdot 6$; $(3 \cdot 4) \cdot 5=3 \cdot (4 \cdot 5)$; $5 \cdot 2 \cdot 9=5 \cdot (2 \cdot 9)=90$; $4 \cdot 25=100$; $8+8+8+8+8=5 \cdot 8=40$. "Проверьте каждую строку, отметьте плюс или исправьте ошибку. Поднимите зелёный стикер, если всё верно, жёлтый — если исправили одну ошибку, красный — если нужна помощь." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, прикрепляют стикер выбранного цвета и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
$5 \cdot 2 \cdot 9=5 \cdot (2 \cdot 9)=5 \cdot 18=90$. Сначала применяем сочетательное свойство и объединяем множители $2$ и $9$. Для выражения $4 \cdot 25$ удобно использовать равенство $4 \cdot 25=100$, так как четыре раза по 25 составляют 100. Сумму $8+8+8+8+8$ заменяем произведением: пять одинаковых слагаемых по 8 дают $5 \cdot 8=40$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что большинство из вас уже умеет применять свойства самостоятельно. Ошибки чаще всего возникают, когда забывают указать количество одинаковых слагаемых или неправильно группируют множители. Сейчас применим новые знания в жизненной задаче."
Этап 7. Включение знаний в систему и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: применить свойства умножения в практической задаче, обобщить результат урока и определить следующий шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Для классного мероприятия купили 4 упаковки стаканов по 25 штук в каждой и 3 упаковки салфеток по 20 штук. Сколько предметов купили всего? Выберите удобный способ для каждой части и объясните, почему он удобен." Учитель просит одного ученика оформить решение у доски. | Записывают решение: $4 \cdot 25=100$ стаканов; $3 \cdot 20=60$ салфеток; $100+60=160$ предметов. Объясняют: "Умножение на 25 и на 20 удобно выполнить с помощью круглых чисел". |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Что помогает считать быстрее: изменение порядка множителей, изменение их группировки или переход от суммы одинаковых слагаемых к произведению?" | Отвечают: "Все три приёма помогают, если выбрать подходящий для выражения способ". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход»: "На стикере допишите две фразы: «Сегодня я научился…» и «Мне ещё нужно потренироваться…». В качестве проверки ответьте устно: назовите переместительное свойство и объясните, как представить сумму $6+6+6+6$ произведением." | Заполняют стикеры: «Я научился группировать множители»; «Мне нужно потренироваться выбирать удобный способ». Отвечают: "$a \cdot b=b \cdot a$; $6+6+6+6=4 \cdot 6$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились менять порядок и группировку множителей, не изменяя произведение, и использовать эти свойства для удобного счёта. Вы уже можете объяснить не только ответ, но и способ его получения. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения и познакомимся с распределительным свойством умножения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 задания самостоятельной работы, правильно названы свойства, вычисления записаны последовательно, объяснение дополнительного задания полное.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, смысл свойств умножения понятен.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, формулировка хотя бы одного свойства воспроизведена с опорой на доску, есть попытка объяснить способ вычисления.
- При взаимопроверке учитывается наличие преобразований и пояснений, а не только конечного ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство умножения вы сегодня открыли первым и как его сформулировать? | Проверка осознания переместительного свойства и точности математической речи. |
В каком примере было удобно изменить группировку множителей? Объясните почему. | Выявление понимания сочетательного свойства и рационального выбора способа. |
Как представить сумму $6+6+6+6$ произведением? | Проверка связи между сложением одинаковых слагаемых и умножением. |
Что оказалось самым трудным: выбрать способ, выполнить вычисление или объяснить решение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что умножение — это не только действие по готовому алгоритму, но и возможность выбирать удобный путь вычисления. Мы узнали, что от перестановки множителей и изменения их группировки произведение не изменяется. Не забывайте проверять, все ли множители сохранены и правильно ли определено количество одинаковых слагаемых. На следующем уроке мы узнаем, как умножать сумму на число и использовать это свойство для раскрытия скобок."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 вычислений на применение переместительного и сочетательного свойств: переставить или сгруппировать множители, затем найти значение выражения. Отдельно записать две суммы одинаковых слагаемых в виде произведений. | Закрепляет формулировки свойств и связь сложения одинаковых слагаемых с умножением; при проверке обратить внимание на сохранение всех множителей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на нахождение удобного способа вычисления выражений вида $2 \cdot 5 \cdot 14$, $4 \cdot 25$, $8 \cdot 3 \cdot 5$ и составить пояснение к каждому преобразованию. | Формирует навык рационального вычисления и объяснения выбора сочетания множителей; проверять наличие названия применённого свойства. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две практические задачи, в которых удобно использовать переместительное или сочетательное свойство, решить их и подчеркнуть преобразование, сделавшее вычисление более коротким. | Развивает умение создавать математическую модель и применять свойства в жизненном контексте; при проверке оценить корректность условия, решения и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как звучит переместительное свойство умножения? Как звучит сочетательное свойство? Как записать сумму четырёх одинаковых слагаемых в виде произведения? В каком случае выражение удобно перестроить перед вычислением?»
