Действия вычитания. Свойства вычитания
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять переместительное представление разности через сложение и свойства вычитания при вычислении числовых выражений и решении практических задач, объясняя каждый шаг решения.
- Установить смысл действия вычитания как нахождения неизвестного слагаемого и разности между величинами.
- Вывести и применять свойства вычитания: вычитание суммы из числа и вычитание числа из суммы.
- Развивать умение сравнивать способы вычисления, находить ошибки и обосновывать наиболее удобный способ решения.
- Формировать аккуратность вычислений, ответственность за результат совместной работы и интерес к применению математики в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску рационального способа вычисления разности.
- Осознают значение точности и проверки результата в математической и повседневной деятельности.
- Учатся спокойно воспринимать ошибку как основание для коррекции способа действия.
- Проявляют готовность сотрудничать с одноклассниками и уважать обоснованное мнение партнёра.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Сравнивают два способа вычисления, выделяют общее и различия, делают вывод о рациональности способа.
- Используют математическую речь для объяснения свойств вычитания и аргументации ответа.
- Осуществляют самопроверку по обратному действию и корректируют найденные ошибки.
Предметные
- Знать смысл вычитания и названия компонентов действия: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
- Знать свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы.
- Уметь записывать свойства буквенными равенствами и применять их при вычислении выражений.
- Уметь проверять результат вычитания сложением и решать текстовые задачи на нахождение остатка и разности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в выполнение общего задания и оценивают собственную готовность применять новое правило.
- Связывают математические вычисления с практическими ситуациями: расчётом остатка денег, расстояния или количества предметов.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения.
- Осознают необходимость внимательности при работе с числами и знаками действий.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу, сформулированную по итогам проблемной ситуации.
- Планируют способ вычисления и выбирают последовательность действий.
- Проверяют результат сложением, находят несоответствие и исправляют ошибку.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и формулируют дальнейший шаг.
Познавательные УУД
- Выполняют сравнение числовых выражений и выявляют закономерность изменения результата.
- Моделируют вычитание с помощью числового отрезка и схемы частей и целого.
- Преобразуют словесное правило в буквенную формулу и обратно.
- Анализируют ошибочные рассуждения и объясняют, почему перестановка уменьшаемого и вычитаемого невозможна.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Формулируют вопросы по условию задачи и отвечают полными математическими предложениями.
- Аргументируют выбор способа вычисления, используя слова «потому что» и «следовательно».
- Сравнивают решения групп и корректно высказывают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску: слева записать тему, справа оставить место для формул $a-(b+c)=(a-b)-c$ и $(a+b)-c=(a-c)+b$.
- Подготовить для работы без карточек 6–8 примеров и две текстовые задачи, которые будут записываться учителем на доске.
- Разложить на парты тетради, линейки и цветные карандаши; дополнительных раздаточных материалов не использовать.
- Подготовить на доске числовой отрезок от 0 до 20 и схему «целое — часть — часть».
- Заранее выбрать пары чисел для устного счёта: $17-9$, $25-7$, $40-18$, $63-20$.
- Подготовить мел или маркеры двух цветов для выделения уменьшаемого, вычитаемого и промежуточных результатов.
- На отдельном участке доски записать задания для самостоятельной работы трёх уровней.
- Подготовить часы или таймер для смены форм работы; презентация и карточки не используются.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость точного вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится внимательность: знак минус не терпит поспешности. Запишите дату, а тему урока мы сформулируем после небольшой задачи." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель записывает на доске: «У Маши было 500 рублей. Она потратила 120 рублей на тетрадь и 80 рублей на ручки. Сколько рублей осталось?» и говорит: "Решите устно двумя способами. Можно сначала вычесть 120, затем 80, а можно сначала объединить расходы. Какой способ кажется удобнее?" | Решают: $500-120-80=300$ и $500-(120+80)=300$. Формулируют: "Можно объединить вычитаемые в сумму". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же остаток можно находить разными способами. Сегодня выясним, какие свойства позволяют преобразовывать такие выражения и не ошибаться при вычитании."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить смысл вычитания, названия компонентов и связь вычитания со сложением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение $18-7=11$ и спрашивает: "Как называется число 18? Как называется число 7? Что показывает число 11? Как проверить результат вычитания?" | Отвечают: "18 — уменьшаемое, 7 — вычитаемое, 11 — разность. Проверить можно сложением: $11+7=18$." |
2 мин | Учитель предлагает устный счёт: "Вычислите $17-9$, $25-7$, $40-18$, $63-20$. Объясните один ответ по числовому отрезку или разложением числа." | Вычисляют: 8, 18, 22, 43; объясняют один пример, например $40-18=40-20+2=22$. |
1 мин | Учитель записывает пары: $15-6$ и $6-15$, $24-(5+3)$ и $(24-5)-3$, спрашивает: "Какая пара вызывает вопрос? Что нужно исследовать?" | Замечают, что $15-6$ и $6-15$ не равны; предполагают: "Нужно проверить, можно ли переставлять числа и как раскрывать скобки при вычитании." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили компоненты вычитания и проверку сложением. Теперь зафиксируем затруднение и поставим цель исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия свойств вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель пишет: $36-(10+6)$ и предлагает: "Вычислите выражение обычным способом. Теперь попробуйте сначала вычесть 10, затем 6. Совпали ли ответы? Запишите оба варианта." | Вычисляют $36-(10+6)=36-16=20$ и $(36-10)-6=26-6=20$. Делают вывод: "Сумму можно вычитать по частям." |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что мы должны узнать? Как проверить предположение на других числах? Какие действия выполним сначала?" На доске фиксирует план: сравнить выражения, сформулировать свойства, проверить на примерах, применить в задачах. | Формулируют цель: "Узнать свойства вычитания и научиться применять их". Предлагают план исследования и записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно понять, какие преобразования сохраняют разность. Переходим к исследованию на конкретных числах и постепенно заменим числа буквами."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить два свойства вычитания через сравнение вычислений и обобщение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает в две колонки: $50-(20+7)$ и $(50-20)-7$. Говорит: "Работаем в парах. Один ученик вычисляет левую часть, второй — правую, затем поменяйтесь ролями. Сравните результаты и сформулируйте вывод." | В парах вычисляют: $50-(20+7)=23$; $(50-20)-7=23$. Формулируют: "Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть сначала одно слагаемое, затем другое." |
3 мин | Учитель записывает: $(30+18)-8$ и $(30-8)+18$. Спрашивает: "Проверьте, совпадут ли результаты. Почему число 8 удобно вычесть из 30?" | Вычисляют: $(30+18)-8=40$; $(30-8)+18=40$. Объясняют: "Из суммы можно вычесть число из одного слагаемого, если это возможно, а второе слагаемое прибавить." |
3 мин | Учитель обобщает на доске: $a-(b+c)=(a-b)-c$ и $(a+b)-c=(a-c)+b$. Комментирует: "Первое свойство применимо к вычитанию суммы, второе — к вычитанию числа из суммы. Важно не переносить минус бездумно: уменьшаемое и вычитаемое местами менять нельзя." | Записывают свойства в тетрадь, подчёркивают условие применения второго свойства, приводят собственные примеры: $70-(20+5)=(70-20)-5$; $(40+9)-9=(40-9)+9$. |
Запись в тетрадях
1. $a-(b+c)=(a-b)-c$ — чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть слагаемые по очереди. 2. $(a+b)-c=(a-c)+b$ — чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и прибавить другое.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили формулы, а проверили их на числах и объяснили смысл. Теперь потренируемся применять свойства вслух, чтобы каждый шаг был понятен."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор свойства и научиться проговаривать преобразование выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает фронтальную работу: "Выполните выражения, называя свойство: $84-(30+4)$ и $(27+13)-7$. Не только называйте ответ, а объясняйте, почему такой способ удобен." | По очереди решают: $84-(30+4)=(84-30)-4=50$; $(27+13)-7=(27-7)+13=33$. Называют применённое свойство. |
2 мин | Учитель проводит приём «Найди ошибку» и пишет: $60-(20+5)=(60-20)+5=45$. Спрашивает: "На каком шаге нарушено свойство? Как исправить запись?" | Находят ошибку: знак перед вторым слагаемым должен сохранять вычитание. Исправляют: $60-(20+5)=(60-20)-5=35$. |
2 мин | Учитель организует «Математический светофор»: "Покажите пальцами 1, 2 или 3: 1 — нужен пример, 2 — могу решить с подсказкой, 3 — объясню свойство товарищу. Затем в парах проверьте по одному выражению: $100-(40+9)$ и $(52+18)-12$." | Показывают уровень уверенности, решают в парах: $51$ и $58$, сверяют вычисления и объясняют способ партнёру. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойство работает только при точном соблюдении знаков. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли выбирать и применять нужное преобразование."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств вычитания и умение выполнять обратную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: "Работаем самостоятельно. Сначала решите обязательные выражения, затем выберите одно дополнительное. Записывайте преобразования, а не только ответ. После сигнала проверим результаты сложением." | Записывают задания и готовят тетради к самостоятельной работе. |
5 мин | Учитель записывает: 1) $73-(20+8)$; 2) $(46+14)-9$; 3) $90-(30+17)$; 4) задача: «В коробке было 75 карандашей. Для выставки взяли 20 красных и 15 синих карандашей. Сколько осталось?»; дополнительное: сравнить способы вычисления $68-(18+12)$. | Индивидуально решают: $45$, $51$, $43$; в задаче $75-(20+15)=40$. Дополнительное выражение вычисляют двумя способами: $38$. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: $73-(20+8)=(73-20)-8=45$; $(46+14)-9=(46-9)+14=51$; $90-(30+17)=(90-30)-17=43$; $75-(20+15)=40$. Говорит: "Проверьте каждый ответ сложением. Ошибку не стирайте сразу: сначала обведите место, где возникло затруднение, затем исправьте." | Сверяют решения, выполняют проверки $45+28=73$, $51+9=60$, $43+47=90$, $40+35=75$, исправляют ошибки и отмечают их причину. |
Эталон решения
В задаче расходы объединяем: $20+15=35$ карандашей. Остаток: $75-35=40$ карандашей. Проверка: $40+35=75$. Ответ: 40 карандашей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что вы умеете применять оба свойства и проверять разность сложением. Осталось связать новое знание с общей системой действий и оценить собственный результат."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить свойства вычитания, применить их в жизненном контексте и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В школьной библиотеке было 240 книг. В понедельник выдали 35 книг, а во вторник — 45 книг. Сколько книг осталось? Запишите решение двумя равными способами и объясните, какой удобнее." | Записывают $240-35-45=160$ и $240-(35+45)=160$. Объясняют: "Удобно объединить выданные книги в сумму." |
2 мин | Учитель возвращается к началу урока: "Как свойства вычитания помогли решить задачу о покупках? Почему нельзя заменить $a-b$ на $b-a$?" | Отвечают: "Свойства позволяют объединять расходы и вычитать их по очереди"; "$a-b$ и $b-a$ имеют разные смыслы и обычно разные значения". |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Запишите три коротких ответа: одно свойство вычитания; пример его применения; что оказалось трудным. Поставьте себе оценку от 1 до 3: 3 — могу объяснить, 2 — решаю с подсказкой, 1 — нужна помощь." | Заполняют билет: формулируют свойство, приводят пример, называют затруднение и оценивают себя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились преобразовывать выражения с вычитанием, объединять вычитаемые и выполнять проверку сложением. Ваши билеты помогут определить, что нужно повторить перед следующим уроком."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре обязательных задания, записаны преобразования с обоснованным выбором свойства, задача решена и выполнена проверка сложением.
- «4» — верно выполнены не менее трёх обязательных заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, ход решения в основном объяснён.
- «3» — верно выполнены два обязательных задания, свойства применяются с подсказкой, но смысл вычитания и способ проверки в целом понятны.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство вычитания вы можете сформулировать своими словами? | Проверка осознанного понимания, а не механического запоминания формулы. |
Какой знак чаще всего становился причиной ошибки? | Выявление точек затруднения при преобразовании выражений. |
Как вы проверяли результат самостоятельной работы? | Проверка владения обратным действием и навыком самоконтроля. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно дома? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дифференцированной помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что сумму можно вычитать по частям, а число — из одного слагаемого суммы, если внимательно сохранять знаки. Самая частая ошибка — заменить вычитание сложением или переставить уменьшаемое и вычитаемое. Проверка сложением помогает вовремя обнаружить такую ошибку. Дома закрепите свойства на выражениях и задачах. На следующем уроке мы продолжим применять вычитание при решении более сложных числовых выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на вычитание суммы из числа и 2 выражения на вычитание числа из суммы; в каждом записать промежуточные преобразования и одну проверку сложением. | Закрепляет формулы свойств и контроль точности вычислений; при проверке обратить внимание на сохранение знаков. |
Средний (повышающий) | Решить 2 текстовые задачи на нахождение остатка, в каждой представить решение двумя способами: последовательным вычитанием и вычитанием суммы. | Формирует умение выбирать рациональный способ и объяснять связь математической модели с условием задачи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить выражение, в котором удобно применить каждое из двух свойств, вычислить его двумя способами и придумать жизненную задачу к одному выражению. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос свойства в новый контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как вычесть сумму из числа? Как вычесть число из суммы? Чем можно проверить результат вычитания? Почему выражения $a-b$ и $b-a$ обычно не равны?»
