Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться определять делимость натурального числа на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8 без выполнения деления и применять признаки при решении не менее четырёх практических заданий.
- Сформировать представление о признаках делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8 и научить выбирать подходящий признак для конкретного числа.
- Развивать умение анализировать запись числа, сравнивать способы решения, находить и исправлять ошибки.
- Формировать навыки сотрудничества во фронтальной работе, в парах и группах, а также самоконтроля по образцу.
- Поддерживать интерес к математике через игровое соревнование и связь признаков делимости с проверкой кодов, количества предметов и распределением ресурсов.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску быстрых способов проверки чисел и понимают практическую ценность математических правил.
- Осознают значение аккуратности и проверки результата при работе с числами и данными.
- Принимают необходимость учитывать разные способы решения и уважительно обсуждать ответ одноклассника.
- Развивают положительную учебную мотивацию через посильные задания разного уровня сложности.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки числа: последнюю цифру, последние две или три цифры, сумму цифр.
- Используют таблицу, интерактивный экран и карточки для поиска, структурирования и проверки информации.
- Планируют последовательность действий при определении делимости и осуществляют самопроверку.
- Формулируют выводы, объясняют выбор признака и аргументируют ответ в паре и фронтально.
Предметные
- Знать признаки делимости натурального числа на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8.
- Уметь определять делимость числа без выполнения деления.
- Уметь использовать последние одну, две или три цифры числа и сумму его цифр в зависимости от выбранного признака.
- Уметь составлять числа, удовлетворяющие нескольким условиям делимости, и объяснять ход рассуждения.
- Владеть навыком проверки решения с помощью деления или калькулятора после применения признака.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания признаков делимости и выбирают посильное задание.
- Осознают, что ошибка является основанием для проверки способа рассуждения, а не причиной отказа от работы.
- Проявляют готовность сотрудничать и принимать аргументированные ответы одноклассников.
- Связывают математические правила с жизненными ситуациями распределения предметов и проверки данных.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план: определить подходящий признак, применить его, объяснить и проверить ответ.
- Контролируют правильность выбора признака и исправляют ошибки по эталону.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных заданий и степени самостоятельности.
- Распределяют время на решение игровых карточек и соблюдают правила работы в паре.
Познавательные УУД
- Сравнивают признаки делимости и группируют их по используемой части записи числа.
- Устанавливают связь между суммой цифр и делимостью на 3 и 9.
- Моделируют условия задачи с помощью таблицы и карточек с цифрами.
- Анализируют ошибочные рассуждения и находят место нарушения правила.
- Извлекают информацию из схемы на экране и преобразуют её в краткую запись в тетради.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Работают в парах: распределяют роли проверяющего и решающего, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы: «Почему достаточно посмотреть на последние две цифры?» и «Как ты проверил сумму цифр?».
- Аргументированно соглашаются или не соглашаются с ответом одноклассника.
- Участвуют во фронтальном обсуждении и представляют общий результат группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с числовыми примерами, схемой признаков и таймером на 2–3 минуты.
- Распечатать карточки «Числовой детектив» трёх уровней: зелёные — базовые, жёлтые — повышенные, красные — творческие; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить набор карточек с цифрами 0–9 для каждой пары и 7 карточек с названиями признаков делимости.
- Вывести на доску таблицу для заполнения: «Признак — на что смотрим — пример».
- Распечатать мини-листы самопроверки по одному на каждого ученика.
- Подготовить жетоны или баллы для командной игры, не связывая их с отметкой за урок.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использовать калькулятор на этапе проверки, если это предусмотрено правилами класса.
- Разместить на доске памятку: «2, 5, 10 — последняя цифра; 4 — последние две цифры; 8 — последние три цифры; 3 и 9 — сумма цифр».
- Подготовить интерактивное задание с выбором чисел, кратных указанному числу, для фронтальной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость признаков делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране число 7 248. «Сегодня мы станем числовыми детективами. Представьте, что нужно быстро проверить, можно ли разложить 7 248 конфет поровну на 2, 3, 4 или 8 наборов. Делить большое число несколько раз неудобно. Как можно действовать быстрее?» | Готовят тетради и ручки, рассматривают число, предлагают: «Выполнить деление», «Посмотреть на цифры числа», «Найти особое правило». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите идею с соседом. Не называйте только ответ — объясните, какие цифры могут помочь». Учитель фиксирует гипотезы на доске. | Записывают или формулируют гипотезу, обсуждают её в паре одну минуту, сообщают классу варианты: «Для делимости на 2 важна последняя цифра», «Для 3 нужно сложить цифры». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что у числа могут быть особые признаки, позволяющие не выполнять полное деление. Сегодня проверим гипотезы и составим удобную памятку».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного числа и разрядного состава числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране числа 18, 25, 40, 63. «Какие числа называют делителями? Как понять, что 18 делится на 3 без остатка? Что означает выражение “25 кратно 5”?» | Отвечают: «Делитель делит число без остатка», «18 делится на 3, потому что 18 : 3 = 6», «25 кратно 5, потому что 25 = 5 · 5». |
3 мин | Учитель проводит фронтальную разминку «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно: 40 делится на 5; 27 кратно 4; 32 делится на 8; 51 делится на 3». После каждого ответа просит назвать основание. | Показывают карточки, объясняют: «40 делится на 5, потому что оканчивается на 0», «27 не делится на 4», «32 делится на 8», «51 делится на 3, потому что 5 + 1 = 6». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что делимость означает отсутствие остатка, а запись числа содержит подсказки. Теперь выясним, какие подсказки работают для разных делителей».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия признаков делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает пары чисел: 246 и 248; 315 и 316; 1 236 и 1 238. «В каждой паре числа почти одинаковы. Почему одно число может делиться на 2, 4 или 8, а другое — нет? Какие части записи стоит сравнить?» | Сравнивают последние цифры, последние две и три цифры, формулируют предположения: «Для 2 достаточно последней цифры», «Для 4 важны последние две цифры», «Для 8 — последние три». |
2 мин | Учитель записывает детский план. «Предлагаю сегодня: открыть признаки на примерах, занести их в памятку, потренироваться в игре и проверить себя. Как сформулируем цель?» | Формулируют цель: «Научиться быстро определять, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8, используя его цифры». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: не просто запомнить правила, а понять, какую часть числа нужно рассматривать в каждом случае. Начинаем открытие признаков через примеры».
Этап 4. Открытие нового знания и составление памятки (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8 через наблюдение и сравнение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран группы чисел: 14, 28, 36, 40, 125, 230, 48, 116, 312, 1 024. «Рассмотрите числа. Что общего у чисел, делящихся на 2? Какие последние цифры возможны? Что общего у чисел, делящихся на 5 и на 10?» Учитель заполняет первую часть таблицы. | Наблюдают, отвечают: «На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8»; «На 5 — на 0 или 5»; «На 10 — на 0». Записывают признаки в таблицу. |
3 мин | Учитель предлагает вычислить суммы цифр чисел 123, 234, 405, 729. «Проверьте деление на 3 и 9 через сумму цифр. Что замечаете? Сформулируйте правило своими словами». | Складывают цифры: 1 + 2 + 3 = 6, 2 + 3 + 4 = 9, 4 + 0 + 5 = 9, 7 + 2 + 9 = 18. Формулируют: «На 3 делится число, если сумма его цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9». |
3 мин | Учитель показывает числа 124, 316, 1 208, 2 416. «Проверим признаки на 4 и 8. Посмотрите только на последние две цифры в первом случае и на последние три — во втором. Почему остальные цифры можно не учитывать?» | Проверяют 24 : 4, 16 : 4, 208 : 8, 416 : 8. Делают вывод: «На 4 число делится, если последние две цифры образуют число, делящееся на 4; на 8 — если последние три цифры образуют число, делящееся на 8». |
Запись в тетрадях
- На 2 делятся числа, последняя цифра которых 0, 2, 4, 6 или 8.
- На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5.
- На 10 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0.
- На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.
- На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
- На 4 делятся числа, образованные последними двумя цифрами, если это число делится на 4.
- На 8 делятся числа, образованные последними тремя цифрами, если это число делится на 8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Памятка готова. Обратите внимание: для 2, 5 и 10 мы смотрим на одну цифру, для 4 — на две, для 8 — на три, а для 3 и 9 складываем все цифры. Теперь проверим правила в игре».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Числовой детектив» (7 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости в практических заданиях разной сложности и проговорить алгоритм рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объединяет учеников в пары и раздаёт зелёные карточки. «В каждой карточке четыре числа: 246, 375, 1 240, 729. Для каждого числа отметьте, на какие из чисел 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8 оно делится. Обязательно рядом запишите короткое доказательство». | В парах составляют таблицу делимости, распределяют роли, объясняют выбор признака: «1 240 делится на 2, 5, 10, 4 и 8; на 3 и 9 не делится, потому что сумма цифр равна 7». |
3 мин | Учитель раздаёт жёлтые карточки с заданиями: «Вставьте цифру вместо звёздочки, чтобы число 4*8 делилось на 3; число 7*5 делилось на 9; число 12* делилось на 4». Просит сначала назвать условие, затем подобрать цифру. | Решают в парах: для 4*8 сумма цифр 12 + цифра должна делиться на 3; возможны 0, 3, 6, 9. Для 7*5 сумма 12 + цифра должна делиться на 9, подходит 6. Для 12* последние две цифры должны делиться на 4, подходят 0, 4, 8. |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить решение. «Не называйте только цифру. Скажите, какой признак использовали и почему». Начисляет игровой балл за правильное решение и объяснение. | Представляют решения у доски, задают уточняющие вопросы, сравнивают ответы и исправляют записи при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили признаки к готовым числам и нашли неизвестные цифры. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание признаков и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень по своим силам. Зелёный: определите делимость чисел 360, 427, 1 008 на указанные делители. Жёлтый: составьте по одной цифре число, делящееся на 3 и 5, на 4 и 9, на 8 и 10. Красный: найдите все цифры, которые можно вставить в 6*4, чтобы число делилось на 3 и 4 одновременно. Записывайте признак рядом с ответом». | Индивидуально выполняют выбранную карточку. Зелёный уровень решают с опорой на памятку, жёлтый составляют числа и объясняют два условия, красный перебирают цифры и проверяют оба признака. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: 360 делится на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8; 427 не делится ни на один из перечисленных делителей; 1 008 делится на 2, 3, 4, 8 и 9. «Проверьте не только ответ, но и обоснование. Отметьте плюс, если всё верно, и вопросительный знак, если нужна помощь». | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают ошибки, исправляют их другим цветом, считают количество выполненных пунктов и выбирают, какой признак нужно повторить. |
Эталон решения
Для числа 1 008: последняя цифра 8, значит, число делится на 2; сумма цифр $1+0+0+8=9$, значит, число делится на 3 и 9; последние две цифры 08 образуют число 8, которое не делится на 4, поэтому на 4 число не делится. Последние три цифры 008 образуют число 8, которое делится на 8, поэтому 1 008 делится на 8. На 5 и 10 число не делится, так как не оканчивается на 0 или 5 и последняя цифра не равна 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, какие признаки уже стали инструментом, а какие требуют повторения. Сейчас объединим правила в систему и применим их к жизненной ситуации».
Этап 7. Межпредметная практическая задача и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости в контексте информатики и организации данных, сохранив работоспособность класса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране таблицу количества файлов в папках: 248, 315, 640, 729. «Представьте, что система должна автоматически распределить файлы поровну между 2, 3, 4, 5, 8 или 9 папками. Без деления определите, какие варианты подходят для каждого количества. Объясните, какой признак использовали». | Работают фронтально, называют варианты и обоснования: «248 делится на 2, 4 и 8; 315 — на 3, 5 и 9; 640 — на 2, 4, 5, 8 и 10; 729 — на 3 и 9». Связывают задачу с информатикой и распределением данных. |
2 мин | Учитель проводит короткую физкультминутку «Чётное — хлопок, нечётное — шаг». «Я называю числа. Если число делится на 2, хлопните один раз; если не делится — сделайте шаг на месте. Для числа, делящегося на 5, поднимите руки». | Выполняют движения для чисел 14, 25, 38, 41, 50, 63, переключают внимание и повторяют признаки в игровой форме. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что признаки делимости полезны не только в учебнике: они помогают быстро распределять данные и проверять количество объектов. Осталось оценить, чему каждый научился».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт мини-листы «Билет на выход». «Запишите: 1) какой признак сегодня считаете самым лёгким; 2) какой признак вызывает затруднение; 3) определите, делится ли 5 432 на 2, 3, 4 и 8, кратко объясните». Затем предлагает показать цвет: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь. | Заполняют билет на выход. Для 5 432 указывают делимость на 2, 4 и 8; сумма цифр $5+4+3+2=14$, поэтому на 3 не делится. Поднимают карточку самооценки. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и благодарит за работу. «Сегодня вы не просто запомнили правила, а научились выбирать нужный инструмент. Сдайте билеты на выход при выходе из класса». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают листы у выхода. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, для каждого ответа указан подходящий признак, рассуждение записано понятно, самостоятельная проверка проведена без исправлений учителя.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в выборе признака или вычислении суммы цифр, после самопроверки ошибка исправлена.
- «3» — верно выполнено не менее 50% заданий, основные признаки на 2, 5 и 10 применены правильно, но есть затруднения при работе с признаками на 3, 9, 4 или 8.
- Отметка за игровое участие отдельно не выставляется; игровые баллы учитываются как поощрение за аргументированное объяснение и сотрудничество.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы сможете объяснить однокласснику без памятки? | Выявление осознанно усвоенного правила и уверенности ученика. |
Какую часть числа нужно рассматривать для признаков на 2, 4 и 8? | Проверка понимания различий между последней цифрой, двумя и тремя последними цифрами. |
Какая ошибка может возникнуть при проверке делимости на 3 и 9? | Выявление затруднений в вычислении суммы цифр и различении условий. |
Какое задание было для вас самым сложным и какую помощь вы выбрали бы? | Определение индивидуальной потребности в повторении и развитие самооценки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились проверять делимость чисел без полного деления. Запомните главное: для 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру, для 4 и 8 — на последние две или три цифры, а для 3 и 9 складываем цифры числа. Частая ошибка — применять признак на 9 только по последней цифре, поэтому всегда внимательно считайте сумму цифр. На следующем уроке мы продолжим использовать признаки делимости при разложении чисел и решении задач».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 8–10 заданий на определение делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 8 без выполнения деления; рядом с каждым ответом указать использованный признак. | Закрепляет базовые правила и проверяет правильность выбора признака. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на восстановление пропущенной цифры в числе при условии делимости на два или три заданных делителя, например на 3 и 4 или на 5 и 9. | Развивает анализ нескольких условий и умение обосновывать все варианты ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных числовых задания: одно на признаки 2, 5 и 10, второе на признаки 3 и 9, третье на признаки 4 и 8; привести решения и краткие объяснения. | Формирует умение создавать математическую задачу, выбирать условия и проверять их непротиворечивость. |
Контрольные вопросы перед выходом: «На какую цифру заканчивается число, делящееся на 10? Как проверить делимость на 3? Какие цифры числа нужны для проверки делимости на 4? Как проверить делимость на 8? Почему число, делящееся на 9, всегда делится и на 3?»
