Натуральные числа и действия с ними: от числового ряда к делителям
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся смогут распознавать натуральные числа, изображать их на координатной прямой, сравнивать и округлять их, применять свойства арифметических действий и находить делители и кратные для предложенных чисел с точностью не менее 80%.
- Образовательная задача: систематизировать представления о десятичной системе счисления, числе 0, натуральном ряде, арифметических действиях, свойствах 0 и 1, а также делителях и кратных числах.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать числовые записи, выбирать рациональный способ вычисления, объяснять закономерности и проверять результат.
- Метапредметная задача: формировать навыки сотрудничества в парах, смыслового чтения математического условия, постановки вопросов и самоконтроля по эталону.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за общий результат, уважение к мнению одноклассника и понимание практической ценности математических знаний.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение натуральных чисел для описания количества, порядка и измерений в повседневной жизни.
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в числовом ряду и к рациональным вычислениям.
- Развивают положительное отношение к совместной работе и готовность корректно обсуждать математические решения.
- Формируют ответственное отношение к записи вычислений и проверке полученного результата.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки натуральных чисел, делителей и кратных чисел.
- Используют координатную прямую, таблицу разрядов и схемы как модели математической информации.
- Сравнивают способы вычисления и аргументированно выбирают более удобный.
- Планируют последовательность действий, сверяют решение с эталоном и исправляют ошибки.
- Сотрудничают в парах, формулируют вопросы и представляют общий вывод.
Предметные
- Знать особенности десятичной системы счисления, назначение числа 0 и структуру натурального ряда.
- Уметь изображать натуральные числа на координатной прямой, сравнивать и округлять их до указанного разряда.
- Уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел.
- Уметь применять свойства нуля и единицы, переместительное, сочетательное и распределительное свойства действий.
- Понимать определения делителя и кратного числа, уметь раскладывать число на множители простыми способами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения быстро и безошибочно работать с натуральными числами.
- Оценивают собственную готовность применять математические правила в бытовых и учебных ситуациях.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа вычисления и уважение к иному решению.
- Связывают аккуратность математической записи с ответственностью за результат общего дела.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и составляют последовательность действий для её достижения.
- Планируют решение задания, используя известные свойства арифметических действий.
- Проводят самопроверку по эталону и находят место возникновения ошибки.
- Оценивают результат по предложенным критериям и формулируют способ коррекции.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по признакам и устанавливают связь между числом, его записью и положением на прямой.
- Анализируют разрядный состав многозначного числа и объясняют роль нуля в записи.
- Моделируют свойства действий с помощью числовых выражений и распределительных схем.
- Находят делители и кратные, представляют число в виде произведения множителей.
- Извлекают математическую информацию из условия практической задачи и преобразуют её в последовательность действий.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют полный ответ с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют, почему выбранное решение верно.
- Согласовывают общий вывод и корректно сообщают об обнаруженной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с таблицей разрядов: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч.
- Начертить на доске координатную прямую с началом отсчёта, единичным отрезком и несколькими пустыми отметками.
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней: по одной карточке на каждую пару.
- Подготовить мини-карточки с числами 0, 1, 10, 100, 305, 4708, 9999 для устной разминки.
- Распечатать лист самопроверки на каждого ученика с заданиями на сравнение, округление, свойства действий и делители.
- Подготовить цветные стикеры или карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Вывести на доску памятку: $a+0=a$, $a\cdot0=0$, $a\cdot1=a$, $a+b=b+a$, $(a+b)+c=a+(b+c)$, $a(b+c)=ab+ac$.
- Подготовить таймер, маркеры, линейку и проектор либо интерактивную доску.
- Разместить на экране практический контекст: количество мест в автобусе, стоимость покупки и упаковки с одинаковым числом предметов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость систематизации знаний о натуральных числах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к работе»: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, есть ли на парте тетрадь, ручка, линейка и карточка для ответов. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение объяснять не только ответ, но и способ его получения. Покажите большой палец, если готовы начать." | Проверяют принадлежности, показывают условный сигнал готовности, записывают дату. |
2 мин | Учитель демонстрирует на экране ценник: 3 упаковки по 125 рублей и 2 упаковки по 75 рублей. "Представьте, что вы помогаете оформить заказ. Какие математические знания нужны, чтобы быстро найти стоимость? Где в этой ситуации встретятся натуральные числа, умножение, сложение и округление?" | Называют действия: «нужно умножить цену на количество упаковок, затем сложить»; предполагают, что округление помогает быстро оценить стоимость. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не просто повторим отдельные правила, а увидим, как они соединяются в одну систему: от записи числа и его положения на прямой до вычислений и поиска делителей. Сначала проверим, какие знания уже готовы нам помочь."
Этап 2. Актуализация знаний. «Числовая разминка» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о десятичной системе, натуральном ряде, нуле, сравнении чисел и базовых действиях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает числа 305 и 350. "Прочитайте числа. Сколько в каждом сотен, десятков и единиц? Почему ноль в записи 305 нельзя просто убрать? Обсудите ответ с соседом в течение 30 секунд." | В парах называют разрядный состав: «305 — 3 сотни, 0 десятков, 5 единиц; 350 — 3 сотни, 5 десятков, 0 единиц». Объясняют, что ноль обозначает отсутствие единиц данного разряда и сохраняет его место. |
2 мин | Учитель записывает ряд: $1, 2, 3, \ldots$ и спрашивает: "Как называется этот ряд? С какого числа он начинается? Входит ли 0 в натуральный ряд в принятом сегодня школьном соглашении?" Затем показывает отрезок с отметками 0, 1, 2, 3. | Отвечают: «Это ряд натуральных чисел, он начинается с 1». Отмечают, что 0 не относят к натуральным числам в используемом соглашении, хотя он является целым числом и важен в вычислениях. |
2 мин | Учитель предлагает устно сравнить пары $708$ и $780$, $4999$ и $5000$, а также округлить $3648$ до сотен. "С какого разряда начинаем сравнение? На какую цифру смотрим при округлении?" | Отвечают: «Сначала сравниваем старшие разряды»; ставят знаки $<$ и $>$; получают $3648\approx3600$ при округлении до сотен и объясняют выбор по цифре десятков. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разрядный состав, натуральный ряд, сравнение и округление. Теперь найдём ситуацию, в которой одного воспроизведения правил недостаточно и нужно установить связь между ними."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «Вычислите удобным способом: $25\cdot17+25\cdot3$». "Не спешите выполнять умножение столбиком. Подумайте, можно ли заметить общий множитель. Запишите два возможных способа." | В парах получают $25\cdot17+25\cdot3=425+75=500$, затем замечают: $25(17+3)=25\cdot20=500$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Почему второй способ короче? Какое свойство мы применили? А если нужно определить, делится ли 500 на 25, какое понятие потребуется? Сформулируйте, чему нам важно научиться сегодня." | Формулируют: «Нужно вспомнить свойства действий, научиться находить делители и кратные, уверенно сравнивать и округлять натуральные числа». Записывают цель урока в краткой форме. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: разные знания о натуральных числах работают не разрозненно, а помогают выбирать удобное решение. Сейчас построим общую математическую карту и проверим её на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания (10 мин)
Цель этапа: систематизировать ключевые понятия и свойства через объяснение, визуальные модели и работу в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает таблицу разрядов. "В десятичной системе значение цифры зависит от её места. Например, в числе 4726 цифра 7 обозначает 7 сотен, а цифра 2 — 2 десятка. Запишите разложение числа: $4726=4000+700+20+6$. Обратите внимание: ноль сохраняет место разряда, как в числе 408." | Записывают разложение $4726=4000+700+20+6$, объясняют роль нуля в числе 408 и называют его разрядный состав. |
2 мин | Учитель строит координатную прямую. "Начало отсчёта обозначим точкой 0, единичный отрезок сделаем одинаковым. Каждому натуральному числу соответствует точка справа от нуля. Чем правее точка, тем больше число. Отметим 2, 5 и 8." | Отмечают числа на прямой, формулируют: «$2<5<8$, потому что точка 2 расположена левее точки 5, а точка 5 — левее точки 8». |
3 мин | Учитель выводит памятку свойств. "Проверьте на числовых примерах, что ноль не изменяет сумму, но при умножении обнуляет результат, а единица не изменяет произведение. Переместительное свойство меняет порядок слагаемых или множителей, сочетательное — группировку, распределительное — позволяет умножить число на сумму по частям." | В парах подбирают примеры: $18+0=18$, $18\cdot0=0$, $18\cdot1=18$, $7+12=12+7$, $(2+3)+4=2+(3+4)$, $6(10+2)=6\cdot10+6\cdot2$. |
2 мин | Учитель объясняет: "Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Кратное числа получается умножением этого числа на натуральное число. Для 18 найдём пары множителей: $1\cdot18$, $2\cdot9$, $3\cdot6$. Значит, 1, 2, 3, 6, 9 и 18 — делители 18." | Записывают пары множителей числа 18, перечисляют его делители и называют несколько кратных 18: «18, 36, 54». |
Запись в тетрадях
- Натуральные числа: $1,2,3,\ldots$.
- На координатной прямой больше то натуральное число, которое расположено правее.
- $a+0=a$, $a\cdot0=0$, $a\cdot1=a$.
- $a+b=b+a$, $ab=ba$; $(a+b)+c=a+(b+c)$; $a(b+c)=ab+ac$.
- Делитель делит число без остатка; кратное получается умножением на натуральное число.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы собрали систему понятий и свойств. Теперь не просто повторим её, а применим к заданиям, где нужно проговорить каждый шаг и объяснить выбор действия."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить новые и систематизированные знания в заданиях с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку: «1) Расположите числа 390, 309, 930, 903 по возрастанию. 2) Округлите 4736 до десятков и тысяч. 3) Найдите значение удобным способом: $48\cdot25+52\cdot25$.» "Работайте в парах: один решает, второй задаёт проверочный вопрос, затем поменяйтесь ролями." | Решают: $309<390<903<930$; $4736\approx4740$ до десятков и $5000$ до тысяч; применяют распределительное свойство: $(48+52)\cdot25=100\cdot25=2500$. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решения. "Объясните не только ответ, но и правило, которое использовали. Остальные сравнивают решение с записью на доске и показывают зелёную карточку, если согласны, жёлтую — если есть вопрос." | Представляют решения, называют правило сравнения по старшему различающемуся разряду и распределительное свойство, используют карточки обратной связи. |
2 мин | Учитель предлагает задание: «Назовите все делители 24 и три первых кратных 6». "Проверьте делители умножением парами, а кратные получите последовательным умножением 6 на 1, 2 и 3." | Записывают пары $1\cdot24$, $2\cdot12$, $3\cdot8$, $4\cdot6$; называют делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; кратные 6: 6, 12, 18. |
Эталон решения
$48\cdot25+52\cdot25=(48+52)\cdot25=100\cdot25=2500$. Использовано распределительное свойство умножения, записанное в обратном направлении: $ab+cb=(a+c)b$. Для числа 24 пары множителей: $1\cdot24$, $2\cdot12$, $3\cdot8$, $4\cdot6$, поэтому все делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверка показала, что свойства помогают сокращать вычисления, а пары множителей помогают находить делители. Теперь каждый самостоятельно покажет, какие элементы системы уже освоены без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание темы и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы самопроверки: «1) Запишите разложение $5082$ по разрядам. 2) Отметьте на прямой числа 1, 4 и 7 и сравните их. 3) Округлите $6849$ до сотен. 4) Вычислите удобным способом $37\cdot19+37$. 5) Назовите делители 15. Работайте самостоятельно, запись должна быть полной." | Индивидуально выполняют задания: $5082=5000+80+2$; $1<4<7$; $6849\approx6800$; $37\cdot19+37=37(19+1)=740$; делители 15: 1, 3, 5, 15. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Проверьте каждое задание карандашом. За верный ответ поставьте плюс, ошибку не стирайте, а подчеркните место, где нарушился шаг. На полях отметьте: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, ставят условные отметки и формулируют индивидуальное затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка нужна не для того, чтобы скрыть ошибку, а чтобы увидеть следующий шаг обучения. Осталось связать наши правила с реальной задачей и сделать общий вывод о системе натуральных чисел."
Этап 7. Включение знаний в систему. Межпредметный практикум (4 мин)
Цель этапа: применить арифметические свойства и округление в жизненном контексте, связанном с технологией и финансовой грамотностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: «Для школьной мастерской купили 4 набора по 125 рублей и 3 упаковки по 75 рублей. Сколько рублей заплатили? Как можно быстро оценить результат округлением?» "Сначала составьте выражение, затем выберите удобный способ вычисления и объясните, где может пригодиться округлённая оценка." | Составляют $4\cdot125+3\cdot75$, вычисляют $500+225=725$ рублей; для оценки называют примерно 720–730 рублей или округляют отдельные цены и объясняют, что точный расчёт нужен при оплате. |
2 мин | Учитель связывает задачу с технологией: "В рецепте или инструкции количество деталей часто записывают группами. Если в каждой из 5 коробок по 24 детали, как определить общее количество и проверить, делится ли оно на 6?" | Вычисляют $5\cdot24=120$, проверяют делимость: $120=6\cdot20$, поэтому 120 кратно 6, а 6 является делителем 120. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Натуральные числа помогают считать предметы и деньги, свойства действий ускоряют расчёты, а делители и кратные помогают организовать группы и проверить делимость. Завершим урок осмыслением собственного продвижения."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат обучения, выявить оставшиеся затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На маленьком листке закончите две фразы: «Сегодня я научился…» и «Мне нужно потренироваться…». Затем ответьте: почему $0$ не является натуральным числом в нашей договорённости, но необходим в вычислениях?" | Записывают личный результат и ответ: «0 не входит в натуральный ряд, но обозначает отсутствие единиц разряда, является нейтральным при сложении и обнуляет произведение». |
1 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом назовите соседу по парте одно свойство, которое поможет упростить вычисление." | Выбирают уровень задания, проговаривают свойство: «распределительное», «переместительное» или «сочетательное». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 5 заданий самостоятельной работы, корректно записаны разрядное разложение, округление и решение с применением свойства, делители перечислены полностью, объяснение содержит математические термины.
- «4» — верно выполнены 4 задания, допущена одна неточность в округлении, записи свойства или перечислении делителей, но общий способ решения понятен.
- «3» — верно выполнены 3 задания, имеются отдельные ошибки в сравнении, округлении или применении свойств, однако ученик может исправить их с опорой на эталон.
- Ниже базового уровня — ученик испытывает устойчивые затруднения в различении разрядов, свойств действий и понятий делителя и кратного; требуется индивидуальная тренировка по карточке учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы сегодня систематизировали о натуральных числах? | Проверка осознания общей структуры темы и выделения ключевых понятий. |
Какое свойство помогло быстрее всего решить выражение $48\cdot25+52\cdot25$? | Выявление понимания распределительного свойства и умения применять его осмысленно. |
На каком шаге вы ошиблись или почувствовали неуверенность? | Выявление точек затруднения в разрядном анализе, округлении и поиске делителей. |
Как вы объясните разницу между делителем и кратным числом? | Проверка предметного понимания терминов и готовности формулировать определение. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что натуральные числа образуют связанную систему: их можно записывать в десятичной системе, изображать на координатной прямой, сравнивать, округлять и использовать в вычислениях. Мы выяснили, что свойства действий помогают считать рационально, а пары множителей позволяют находить делители и кратные. Обратите особое внимание на типичную ошибку: не путайте делитель числа с его кратным. На следующем уроке мы продолжим работать с делимостью и научимся применять эти знания в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: разложить два многозначных числа по разрядам, сравнить две пары натуральных чисел, округлить три числа до указанных разрядов и найти делители двух чисел до 30. | Закрепляет разрядный состав, сравнение, округление и алгоритм поиска делителей; при проверке обращать внимание на полную запись рассуждений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 выражения на применение переместительного, сочетательного и распределительного свойств, включая выражение вида $46\cdot18+46\cdot2$, и составить координатную прямую с пятью отмеченными натуральными числами. | Формирует выбор рационального способа вычисления и связь числовой записи с координатной моделью; проверять правильность свойства и аккуратность шкалы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о покупке или распределении предметов, в которой используются натуральные числа, округление, одно свойство действий и проверка делимости результата на выбранное число. | Развивает функциональную и финансовую грамотность, умение создавать математическую модель и аргументировать проверку результата. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «С какого числа начинается натуральный ряд?», «Как по координатной прямой определить, какое число больше?», «Что происходит с числом при сложении с нулём и умножении на ноль?», «Что называют делителем числа?»
