Задачи на увеличение и уменьшение в несколько раз
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать задачи на увеличение и уменьшение величины в несколько раз, выбирать действие умножения или деления и решать не менее трёх задач, объясняя ход решения.
- Образовательная задача: закрепить смысл выражений «в несколько раз больше» и «в несколько раз меньше», установить связь между ними и действиями умножения и деления.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие, выделять известное и неизвестное, строить краткую запись или схему и проверять соответствие ответа вопросу.
- Коммуникативная задача: формировать умение объяснять способ решения в паре, задавать уточняющие вопросы и корректно сравнивать разные решения.
- Воспитательная задача: воспитывать ответственность за общий результат, внимательное отношение к мнению партнёра и интерес к математике через практический и межпредметный контекст.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительное отношение к математике через решение задач, связанных с режимом дня и спортивными достижениями.
- Осознают ценность точности, последовательности и взаимопомощи при выполнении общего задания.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и формулируют, какая помощь необходима для дальнейшего продвижения.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение, если с первого раза выбранное действие оказалось неверным.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста задачи, таблицы и экранной схемы, преобразуют её в краткую запись или рисунок.
- Планируют решение, контролируют выбор действия, выполняют проверку и исправляют ошибку.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли «чтец» и «проверяющий», аргументируют выбранное решение.
- Используют интерактивную доску или цифровую карточку для сопоставления текста задачи, схемы и математического выражения.
Предметные
- Знать смысл отношений «в несколько раз больше» и «в несколько раз меньше».
- Уметь решать задачи на увеличение величины в несколько раз действием умножения.
- Уметь решать задачи на уменьшение величины в несколько раз действием деления.
- Уметь составлять краткую запись, выбирать действие, записывать ответ с наименованием и проверять решение обратным рассуждением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться отличать увеличение в несколько раз от увеличения на несколько единиц.
- Осознают смысл математических действий в бытовой ситуации, связанной с количеством шагов, очков или предметов.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и доброжелательность при проверке работы партнёра.
- Формируют самооценку через высказывание о том, что получилось и где возникло затруднение.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель после анализа проблемной задачи.
- Планируют решение по алгоритму: прочитать условие, выделить величины, определить связь, выбрать действие, вычислить, ответить.
- Проверяют решение по смыслу, по вычислениям и по соответствию вопросу задачи.
- Обнаруживают ошибку в выборе действия и корректируют решение с опорой на схему.
Познавательные УУД
- Сравнивают формулировки «на 3 больше» и «в 3 раза больше», классифицируют задачи по способу решения.
- Моделируют условие с помощью отрезков, групп предметов, краткой записи и математического выражения.
- Устанавливают связь между умножением и делением как взаимно обратными действиями.
- Формулируют вывод о выборе действия и переносят алгоритм на новую задачу.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям и договариваются о единой записи решения.
- Формулируют вопросы к условию: «Что известно? Что требуется узнать? Во сколько раз изменилось количество?»
- Объясняют партнёру выбор действия полным предложением.
- При взаимопроверке используют формулу «Две звезды и пожелание», отмечая два удачных элемента и один способ улучшения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску: изображения двух наборов спортивных фишек, схемы отрезков, задания на выбор действия и слайд для итоговой рефлексии.
- Распечатать карточки с тремя задачами базового уровня и двумя карточками повышенного уровня — по одному комплекту на парту, всего 15 комплектов.
- Подготовить цветные фишки или изображения мячей: по 2 и 6 предметов для моделирования отношений «в 3 раза больше» и «в 3 раза меньше».
- Раздать каждой паре лист «Алгоритм решения»: прочитай, выдели величины, нарисуй схему, выбери действие, вычисли, запиши ответ, проверь.
- Подготовить индивидуальные мини-листы для самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика.
- Вывесить на доску памятку: «В несколько раз больше — умножение; в несколько раз меньше — деление», а также схему взаимопроверки.
- Подготовить таймер на 2, 3 и 5 минут и интерактивное задание, где ученики соединяют условие задачи с правильным выражением.
- Подготовить карточки для физкультминутки с командами «в 2 раза больше хлопков» и «в 2 раза меньше приседаний».
- Предусмотреть межпредметный контекст: короткая таблица о количестве шагов на физкультминутке и тренировочных очках; уточнить, что данные являются учебными.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии: зелёный — «могу сам», жёлтый — «нужна подсказка», красный — «пока затрудняюсь».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, вызвать интерес к теме и включить детей в решение практической математической проблемы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточка для пары. Сегодня нам понадобится не только считать, но и объяснять свой выбор. Посмотрите на экран: перед нами две команды, которые набирают очки на тренировке." | Проверяют готовность, садятся по парам, рассматривают изображение на экране и называют знакомые величины: «количество очков», «число предметов». |
2 мин | Учитель показывает на экране: у первой команды 4 очка, у второй — в 3 раза больше. "Как узнать количество очков второй команды? Можно ли просто прибавить 3? Обсудите с соседом 30 секунд и сформулируйте вопрос урока." Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала обдумывают ответ самостоятельно, затем обсуждают в паре и формулируют предположение: «Нужно узнать, сколько будет 4, взятое 3 раза»; предлагают вопрос: «Как решать задачи, где сказано в несколько раз больше или меньше?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что слова «в несколько раз» требуют особого способа рассуждения. Сейчас вспомним, какие действия помогут описать такое изменение, и найдём точное правило."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения и деления, а также различие между увеличением на несколько единиц и увеличением в несколько раз.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре фишки и говорит: "Составьте две группы: в первой 2 фишки, во второй — в 3 раза больше. Не записывайте действие сразу, сначала покажите отношение предметами. Что означает «в 3 раза больше»?" | Выкладывают 2 фишки в первой группе и 6 во второй, объясняют: «Вторая группа состоит из трёх одинаковых групп по 2 фишки». |
2 мин | Учитель записывает на доске два выражения: $5+3$ и $5\times3$. "Сравните их. Как изменится число 5 в первом случае? А во втором? Почему слова «на 3 больше» и «в 3 раза больше» нельзя считать одинаковыми?" | Сравнивают выражения и отвечают: «На 3 больше — прибавить 3, в 3 раза больше — умножить на 3». Приводят пример: «5+3=8, а 5×3=15». |
2 мин | Учитель выводит на экран три пары формулировок: «12 уменьшили на 4», «12 уменьшили в 4 раза», «7 увеличили в 2 раза». "Поднимите карточку с буквой У, если нужно умножение, и Д, если нужно деление. Объясните один ответ." | Поднимают карточки: для «12 уменьшили на 4» называют вычитание, для «12 уменьшили в 4 раза» — деление, для «7 увеличили в 2 раза» — умножение. Объясняют: «Число делят на 4» или «число умножают на 2». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы различили изменение на несколько единиц и изменение в несколько раз. Но пока у нас есть только правило для отдельных выражений. Теперь проверим, как это правило работает внутри задачи."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при выборе действия в текстовой задаче и совместно сформулировать план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "На разминке Маша сделала 3 прыжка, а Дима — в 4 раза больше. Сколько прыжков сделал Дима?" Учитель спрашивает: "Что известно? Что требуется узнать? Какое выражение вы выберете и почему? Составьте схему отрезками." | Читают задачу, выделяют числа 3 и 4, называют искомое количество прыжков Димы, рисуют один отрезок для Маши и четыре равных отрезка для Димы. Предполагают: «Нужно умножить 3 на 4». |
2 мин | Учитель предлагает изменить задачу: "У Димы 12 прыжков, а у Маши в 4 раза меньше. Сколько прыжков сделала Маша?" Затем задаёт проблемный вопрос: "Почему теперь нельзя умножить 12 на 4? Что изменилось в схеме?" | Составляют схему, где 12 — четыре равные части, находят одну часть. Формулируют затруднение: «Нужно понять, какая величина больше и какая меньше; при уменьшении в несколько раз выполняется деление». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: важно не только увидеть слова «в несколько раз», но и определить направление отношения. Наша цель — открыть общий алгоритм решения таких задач и научиться объяснять выбор умножения или деления."
Этап 4. Открытие нового знания. Приём «Схема и правило» (8 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм решения задач на увеличение и уменьшение величины в несколько раз с использованием схемы, умножения и деления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к задаче о прыжках: "На разминке Маша сделала 3 прыжка, а Дима — в 4 раза больше. Сколько прыжков сделал Дима?" На доске учитель изображает один отрезок длиной 3 и четыре равных отрезка для Димы. "Если величина стала в 4 раза больше, сколько одинаковых частей нужно взять? Какое действие соответствует повторению одинаковых групп?" | Рассматривают схему, отвечают: «Нужно взять четыре группы по 3», записывают выражение $3\times4=12$ и полный ответ: «Дима сделал 12 прыжков». |
3 мин | Учитель показывает вторую задачу: "У Димы 12 прыжков, а у Маши в 4 раза меньше. Сколько прыжков сделала Маша?" Делит отрезок 12 на четыре равные части и проговаривает: "Если известна большая величина и сказано, во сколько раз меньшая, то мы узнаём одну равную часть делением." | Строят или дополняют схему, записывают $12:4=3$, формулируют ответ: «Маша сделала 3 прыжка». Объясняют связь: «3×4=12, поэтому 12:4=3». |
2 мин | Учитель оформляет на доске памятку по УДЕ: "Работаем не с одним примером, а сразу с парой взаимосвязанных задач. Сравните их схемы и действия. Запишите правило: если величина увеличивается в несколько раз, умножаем; если уменьшается в несколько раз, делим, когда известна большая величина." | Переписывают памятку в тетрадь, выделяют стрелками направление от известной величины к неизвестной, задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
- Увеличить число в несколько раз — значит умножить его на это число раз.
- Уменьшить число в несколько раз — значит разделить его на это число раз.
- Алгоритм: прочитать задачу; определить, какая величина больше или меньше; составить схему; выбрать действие; вычислить; записать ответ; проверить.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило и проверили его на двух взаимосвязанных задачах. Теперь применим алгоритм вместе, проговаривая каждый шаг, чтобы решение стало осознанным, а не механическим."
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, сохранить внимание и закрепить смысл увеличения и уменьшения в несколько раз через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте около парт. Я называю количество движений, а затем изменение. Если нужно сделать в 2 раза больше — удваиваем количество, если в 2 раза меньше — делим пополам. Начинаем с двух хлопков." | Выполняют 2 хлопка, затем по команде «в 2 раза больше» выполняют 4 хлопка, проговаривают: «2×2=4». |
1 мин | Учитель продолжает: "Сделайте 6 шагов на месте. Теперь в 3 раза меньше. Объясните, сколько шагов получится. Следующая команда: 2 приседания, в 3 раза больше." | Выполняют 2 шага, объясняют: «6:3=2», затем выполняют 6 приседаний и проговаривают: «2×3=6». |
1 мин | Учитель завершает: "Проверьте, не изменилось ли дыхание, сядьте удобно. В математической задаче мы тоже должны сначала понять отношение, а потом выбирать действие." | Возвращаются к рабочим местам, называют правило: «Сначала определяем, стало больше или меньше в несколько раз». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили правило движением: увеличение в несколько раз связано с умножением, уменьшение — с делением. Теперь решим задачу в паре и научимся объяснять каждый шаг друг другу."
Этап 6. Первичное закрепление в парах и с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм решения задач в парном взаимодействии и получить быструю обратную связь через интерактивное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "В школьной эстафете команда А пробежала 5 кругов, а команда Б — в 2 раза больше. Сколько кругов пробежала команда Б? Работайте по алгоритму. Один ученик читает и составляет схему, второй выбирает действие и проверяет. Через полторы минуты поменяйтесь ролями." | В парах читают условие, выделяют 5 и 2, рисуют два равных отрезка по 5, записывают $5\times2=10$, формулируют ответ: «Команда Б пробежала 10 кругов», затем меняются ролями. |
3 мин | Учитель выводит на интерактивную доску задание: "Соедините условие с выражением: 18 конфет разделили поровну на 3 одинаковые группы; 6 книг стало в 4 раза больше; 24 яблока уменьшили в 6 раз." Проговаривает: "Не угадывайте по одному слову, определите, что неизвестно и как изменяется величина." | По очереди или с места соединяют условия с выражениями $18:3$, $6\times4$, $24:6$, объясняют выбор. Исправляют ошибку, если цифровая проверка подсвечивает неверное соответствие. |
2 мин | Учитель просит применить приём «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь карточками. Найдите два удачных элемента: верное действие, понятную схему или полный ответ. Затем напишите одно пожелание, например: «Проверь, не перепутано ли увеличение с уменьшением»." | Обмениваются карточками, отмечают два достоинства и одно пожелание, возвращают работу автору и устно объясняют замечание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что схема помогает не перепутать умножение и деление. Сейчас каждый самостоятельно проверит, умеет ли он пройти весь алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на увеличение и уменьшение величины в несколько раз и осуществлять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и говорит: "Выберите уровень по своей готовности. На базовом уровне решите две задачи: 4 карандаша увеличили в 3 раза; 18 наклеек уменьшили в 3 раза. На повышенном уровне решите задачу: у Оли 7 марок, у Коли в 4 раза больше, а у Нины в 2 раза меньше, чем у Коли. Сколько марок у каждого? Записывайте схемы и ответы." | Индивидуально решают выбранные задачи, составляют краткую запись или схему, записывают действия и ответы с наименованиями. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: $4\times3=12$; $18:3=6$; в повышенной задаче $7\times4=28$, $28:2=14$. "Сверьте не только числа, но и направление рассуждения. Если есть ошибка, зачеркните только неверный шаг и исправьте его." | Проверяют решения по эталону, ставят рядом знак «+» или «?» и исправляют ошибки. Определяют, какой шаг вызвал затруднение. |
1 мин | Учитель проводит самоконтроль: "Покажите пальцами от 1 до 3, насколько уверенно вы выбираете действие: 3 — могу объяснить, 2 — иногда нужна схема, 1 — нужна помощь." | Показывают уровень уверенности и записывают внизу листа: «Мне легко…», «Мне нужно потренироваться…». |
Эталон решения
В первой задаче величина увеличивается в 3 раза, поэтому выполняем умножение: $4\times3=12$. Ответ: 12 карандашей. Во второй задаче известна большая величина 18, а меньшая в 3 раза меньше, поэтому выполняем деление: $18:3=6$. Ответ: 6 наклеек. В повышенной задаче сначала находим количество марок у Коли: $7\times4=28$, затем количество марок у Нины: $28:2=14$. Проверка: $14\times2=28$, следовательно, решение согласуется с условием.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к разным сюжетам. Осталось сформулировать общий вывод, оценить свою работу и проверить, отвечаем ли мы на главный вопрос урока."
Этап 8. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать новое знание, выявить оставшиеся затруднения, оценить результат и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к проблемному вопросу: "Как решать задачи, где величина изменяется в несколько раз? Закончите фразы: «Если стало в несколько раз больше, я…» и «Если стало в несколько раз меньше, я…»." | Формулируют вывод: «Если стало в несколько раз больше, умножаю; если стало в несколько раз меньше и известна большая величина, делю». Приводят по одному примеру. |
2 мин | Учитель предлагает рефлексию «Светофор»: "Выберите стикер. Зелёный означает «могу решить и объяснить», жёлтый — «решу со схемой или подсказкой», красный — «нужно ещё разобраться». На обратной стороне напишите одно правило урока." | Выбирают цветной стикер, записывают правило или вопрос и прикрепляют его к доске под соответствующим цветом. |
1 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень или более высокий, если готовы. В каждой задаче обязательно покажите схему, действие и полный ответ. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: чем отличается «в 3 раза больше» от «на 3 больше»?" | Записывают домашнее задание, отвечают: «В 3 раза больше — умножить на 3, а на 3 больше — прибавить 3». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе базовые задачи или повышенная задача, составлены понятные схемы, правильно выбраны действия, записаны вычисления и полные ответы; ученик может объяснить связь умножения и деления.
- «4» — верно решены две задачи, но допущена одна неточность в схеме, записи или формулировке ответа, не повлиявшая на общий способ решения; ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — верно решена одна задача и частично выполнена вторая, действие выбрано с помощью схемы или подсказки; после обсуждения ученик может назвать правило увеличения и уменьшения в несколько раз.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает выражение «в 4 раза больше»? | Проверка понимания смысла умножения и отличия от увеличения на 4 единицы. |
Как определить, какое действие выбрать в задаче? | Выявление освоения алгоритма анализа условия и направления отношения. |
Что помогло тебе не перепутать умножение и деление? | Определение эффективной опоры: схема, краткая запись, словесное объяснение или проверка. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных затруднений для планирования последующей коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать задачи, в которых величина увеличивается или уменьшается в несколько раз. Главное — не путать выражения «на несколько единиц» и «в несколько раз»: в первом случае используются сложение или вычитание, а во втором — умножение или деление. Если вы сомневаетесь, нарисуйте схему и проверьте, какая величина больше. На следующем уроке мы продолжим решать составные задачи и увидим, как несколько таких действий соединяются в одной задаче."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на увеличение величины в несколько раз и две на уменьшение величины в несколько раз. Для каждой составить краткую запись или схему, записать действие и полный ответ. | Закрепить выбор умножения и деления; при проверке обратить внимание на соответствие действия словам «в несколько раз» и наличие наименования в ответе. |
Средний (повышающий) | Решить 3 составные задачи, в каждой из которых сначала находится величина, увеличенная в несколько раз, а затем меньшая величина делением. Одну задачу кратко объяснить письменно. | Развивать последовательное планирование и умение применять взаимосвязанные действия; проверить порядок действий и объяснение решения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на увеличение или уменьшение в несколько раз по спортивному или бытовому сюжету, решить её двумя способами проверки и предложить однокласснику. | Формировать умение создавать математическую модель, контролировать корректность условия и объяснять взаимную обратность умножения и деления. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое действие выполняем, если величина увеличивается в 5 раз?», «Какое действие выполняем, если 20 предметов уменьшили в 4 раза?», «Чем отличается «в 2 раза больше» от «на 2 больше»?»
