Фигуры разные по форме, но одинаковые по площади
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться сравнивать площади фигур разной формы способом разбиения на одинаковые квадратные единицы и составлять не менее одной пары равновеликих фигур.
- Познакомить с представлением о равных площадях фигур при различии их формы и научить находить площадь по количеству одинаковых квадратов.
- Развивать умение наблюдать, сравнивать, выдвигать предположение, работать по плану и объяснять способ решения.
- Формировать навыки парной работы, взаимопроверки и выбора задания по уровню сложности.
- Воспитывать интерес к математике, аккуратность, уважение к мнению партнёра и готовность проверять собственную гипотезу.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию фигур и принимают учебную задачу как математическое открытие.
- Понимают ценность сотрудничества: учитывают мнение партнёра и распределяют действия в паре.
- Осознают необходимость аккуратности и проверки результата при измерениях и подсчётах.
- Оценивают собственный вклад в работу и отмечают, какое задание помогло лучше понять тему.
Метапредметные
- Познавательные: сравнивают фигуры по площади, выделяют квадратную единицу, строят простую модель и делают вывод.
- Регулятивные: принимают цель, планируют последовательность действий, сверяют результат с образцом и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: договариваются в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Работают с изображением на экране и используют цифровой материал для проверки гипотезы.
- Развивают математическую и читательскую грамотность, извлекая данные из схемы и условия задания.
Предметные
- Знать, что площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура, и измеряется квадратными единицами.
- Уметь сравнивать площади фигур, составленных из одинаковых квадратов.
- Уметь объяснять, почему фигуры разной формы могут иметь одинаковую площадь.
- Владеть способом подсчёта квадратных единиц и составлять фигуру с заданной площадью.
- Применять полученное знание при решении практической задачи и проверять ответ пересчётом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную инициативу при выдвижении гипотезы о площади фигур.
- Осознают смысл математического открытия: форма может изменяться, а площадь оставаться прежней.
- Оценивают эмоциональное состояние и готовность продолжать исследование.
- Соблюдают правила доброжелательного взаимодействия в паре.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования вместе с учителем.
- Планируют действия: рассмотреть фигуры, разбить на квадраты, посчитать, сравнить.
- Используют светофор для текущей самооценки понимания.
- Проверяют подсчёт по эталону и корректируют способ решения.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак измерения площади — количество одинаковых квадратных единиц.
- Сравнивают фигуры по данным схемы и находят общее количество квадратов.
- Моделируют фигуры на клетчатой бумаге.
- Устанавливают связь между формой фигуры и занимаемой ею площадью.
- Формулируют вывод на основе результатов практического исследования.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: счётчик и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют ответ полным предложением и приводят доказательство.
- Слушают объяснение партнёра и задают вопрос: «Как ты это проверил?»
- Договариваются о едином варианте ответа при расхождении результатов.
- Представляют результат пары классу без перебивания выступающего.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями пар фигур одинаковой площади и разной формы, а также интерактивное задание для проверки подсчёта квадратов.
- Распечатать на каждого ученика лист самооценки со светофором и билет на выход.
- Подготовить на каждую парту конверт с двумя карточками фигур на клетчатой сетке и набором цветных квадратов.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — подсчёт квадратов, повышающие — поиск равновеликих фигур, дополнительные — создание собственной пары.
- Подготовить на каждую группу из четырёх человек большой лист в клетку, ножницы, клей и фломастеры.
- Вывести на доску тему, план исследования и памятку: «Разрежь мысленно или по линиям; посчитай квадраты; сравни; объясни».
- Подготовить оборудование: ноутбук, проектор или интерактивную доску, таймер, документ-камеру.
- Организовать безопасное пространство для короткой физкультминутки; убрать лишние предметы со свободного участка класса.
- Подготовить межпредметную связь с технологией: образцы мозаики и бумажных аппликаций, в которых форма меняется без изменения площади.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить детей в исследовательскую игру и создать положительный эмоциональный настрой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы станем исследователями формы. Проверьте, есть ли на парте тетрадь, линейка, карандаш и хорошее настроение. На экране вы видите две необычные фигуры: одна похожа на ступеньку, другая — на дорожку. Пока не называйте ответ, только внимательно рассмотрите их." | Проверяют готовность, рассматривают фигуры на экране, называют внешние признаки: «Они разные по форме», «Одна фигура длиннее». |
2 мин | Учитель показывает две бумажные фигуры и говорит: "Представьте, что это два коврика для кукольного домика. Какой коврик займёт больше места? Поднимите карточку с предположением: первый, второй или одинаково. Сейчас важен не быстрый ответ, а гипотеза, которую мы проверим." Учитель фиксирует варианты на доске. | Поднимают карточки, формулируют гипотезу: «Площадь может быть одинаковой, даже если фигуры выглядят по-разному». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что внешний вид не всегда помогает точно сравнить фигуры. Сейчас вспомним, как можно измерить занимаемое фигурой место, и найдём надёжный способ проверки."
Этап 2. Актуализация знаний и парная разминка (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия «фигура», «квадратная единица», «площадь» и выявить способ сравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала молча вспомните, что показывает площадь. Через тридцать секунд объясните ответ соседу. Затем одна-две пары поделятся формулировками. Подумайте также, чем можно измерять площадь." | Молча формулируют ответ, обсуждают его в паре и сообщают: «Площадь показывает, сколько места занимает фигура», «Измерять можно квадратными единицами». |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с прямоугольником, разбитым на клетки: "Посчитайте клетки в фигуре. Считайте строками, чтобы не пропустить ни одной. Счётчик называет результат, проверяющий пересчитывает другим способом. Затем поменяйтесь ролями." Учитель демонстрирует на доске одну строку подсчёта. | Считают клетки в парах, записывают результат, сверяют два подсчёта и объясняют: «В фигуре 12 квадратных единиц, потому что 3 ряда по 4 квадрата». |
Запись в тетрадях
Площадь — это величина, которая показывает, сколько места занимает фигура. Площадь можно измерять квадратными единицами.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что площадь измеряют одинаковыми квадратами. Теперь проверим, может ли другое расположение такого же количества квадратов дать такую же площадь."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран две фигуры на клетчатой сетке и обращается к классу: "Посмотрите: контуры фигур различаются. Можно ли сразу по форме сказать, какая площадь больше? Почему такой ответ может оказаться ошибочным?" Учитель принимает разные предположения и не сообщает готовый вывод. | Сравнивают изображения, отвечают: «Нельзя быть уверенными только по форме», «Нужно посчитать одинаковые квадраты». |
2 мин | Учитель оформляет на доске план исследования: "Сформулируем цель. Что нам нужно сделать, чтобы решить спор? Первый шаг — рассмотреть фигуры, второй — посчитать квадратные единицы, третий — сравнить и объяснить. Закончите фразу: «Сегодня я научусь…»" | Формулируют цель: «Научусь сравнивать площади фигур разной формы по количеству квадратов»; записывают план из трёх действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: форма разная, а результат может совпасть. Начинаем исследование с предметной моделью, чтобы увидеть это своими глазами."
Этап 4. Открытие нового знания: исследование в парах и ИКТ-проверка (10 мин)
Цель этапа: открыть способ доказательства равенства площадей через подсчёт одинаковых квадратных единиц.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт конверты с двумя фигурами на клетчатой сетке: "Работаем парами. В каждой паре один ученик сначала считает квадраты в первой фигуре, второй — во второй. Затем поменяйтесь и проверьте друг друга. Обведите одинаковым цветом клетки каждой фигуры, а результаты запишите в таблицу: «Фигура А — … квадратных единиц; фигура Б — … квадратных единиц»." Учитель напоминает: "Не считайте приблизительно по длине контура; считайте площадь внутри фигуры." | Считают клетки в обеих фигурах, обводят их, заполняют таблицу и меняются ролями. Формулируют: «В первой фигуре 8 квадратов, во второй тоже 8, значит, площади равны». |
3 мин | Учитель включает на интерактивной доске задание: при перемещении частей фигуры получается другая форма. "Посмотрите, как фигура перестраивается. Количество квадратов исчезло или осталось тем же? Почему? Поднимите зелёную карточку, если согласны с утверждением, и жёлтую, если хотите уточнение: «При изменении формы площадь может не измениться»." | Наблюдают за цифровой моделью, отмечают карточками ответ, объясняют: «Квадраты только переместились, их количество осталось прежним». |
2 мин | Учитель подводит детей к формулировке: "Как назовём фигуры, которые имеют одинаковую площадь? В математике используют выражение «фигуры равновеликие». Повторите термин и составьте с ним предложение." | Повторяют термин «равновеликие», составляют предложение: «Равновеликие фигуры могут иметь разную форму, но одинаковую площадь». |
Запись в тетрадях
Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие одинаковую площадь. Чтобы доказать равенство площадей фигур на клетчатой сетке, нужно посчитать одинаковые квадратные единицы в каждой фигуре и сравнить результаты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило: форма может измениться, но если количество одинаковых квадратных единиц не изменилось, площадь осталась прежней. Теперь закрепим это правило в игре и научимся объяснять его без подсказки."
Этап 5. Физкультминутка «Форма меняется» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и образно закрепить различие между формой и площадью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Сейчас мы сами станем фигурой. По моему сигналу вытянитесь в длинный прямоугольник, затем повернитесь и образуйте широкую фигуру, а количество участников пусть останется тем же. Назовите вывод: что изменилось, а что осталось?" Учитель следит за безопасной дистанцией и задаёт ритм. | Выстраиваются в две безопасные фигуры, меняют расположение, но сохраняют число участников. Отвечают: «Форма изменилась, количество и площадь условной фигуры остались теми же». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились движением, что одно и то же количество элементов можно расположить по-разному. Возвращаемся к партам и применяем правило к математическим заданиям."
Этап 6. Первичное закрепление. Игра «Математический детектив» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм сравнения площадей и развить умение доказывать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя парами фигур: "Вы — математические детективы. Для каждой пары фигур поставьте знак «=», «>» или «<» и обязательно запишите доказательство. Используйте фразу: «Площадь первой фигуры … квадратных единиц, площадь второй …, поэтому…». За верное доказательство пара получает жетон." | Считают клетки, сравнивают результаты, записывают знаки и доказательства. Обсуждают расхождения и предъявляют ответ: «Площади равны, потому что в каждой фигуре по 10 квадратных единиц». |
3 мин | Учитель проводит проверку у доски: "Пара, получившая жетон, объясняет один пример. Остальные не просто сверяют знак, а проверяют подсчёт. Если нашли ошибку, сначала назовите шаг, который нужно пересчитать, а не имя ошибившегося." | Представляют решение, проверяют подсчёты одноклассников, корректно формулируют замечание: «Нужно пересчитать второй ряд, в нём 4 клетки, а не 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Детективы доказали ответы не по внешнему виду, а по количеству квадратных единиц. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять этот алгоритм."
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способа сравнения площадей с учётом разного уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите карточку по силам. Базовая карточка обязательна для всех; повышающая поможет потренироваться больше; дополнительная — для тех, кто готов создать собственную фигуру. Выбор уровня не является оценкой личности — это способ подобрать посильный вызов." | Выбирают карточку, подписывают имя и уровень, знакомятся с критериями выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: сравнить площади двух пар фигур по клеткам. Повышенный: найти две разные фигуры площадью 12 квадратных единиц и объяснить построение. Продвинутый: создать три разные фигуры площадью 15 квадратных единиц и оформить их на клетчатом листе. Учитель консультирует, задавая вопросы: "С чего начнёшь? Как проверишь, что ни одна клетка не пропущена?" | Индивидуально считают клетки, выполняют выбранное задание, строят фигуры и записывают объяснение. При затруднении используют памятку, но выполняют подсчёт самостоятельно. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: количество клеток в каждой фигуре и образец объяснения. "Проверьте работу карандашом другого цвета. Поставьте плюс за верный подсчёт, точку около места, которое нужно исправить, и сверьте итог с критериями." | Проверяют работу по эталону, исправляют подсчёт, отмечают количество верных действий и уровень помощи. |
Эталон решения
1) Посчитать квадратные единицы внутри первой фигуры. 2) Посчитать квадратные единицы внутри второй фигуры. 3) Сравнить числа. 4) Записать вывод: если числа равны, фигуры равновеликие. Например: в фигуре А 12 квадратных единиц, в фигуре Б 12 квадратных единиц; $12=12$, значит, площади фигур равны, хотя их формы различаются.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы работали на разных уровнях, но проверяли один и тот же математический способ. Важно не только получить число, но и доказать, откуда оно взялось. Завершим урок общей рефлексией и проверим нашу первоначальную гипотезу."
Этап 8. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать новое знание, оценить результат и перенести способ в домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к начальной гипотезе: "В начале урока мы спорили о двух фигурах. Каким способом теперь докажем, равны ли их площади? Закончите фразу: «Если фигуры имеют разную форму, но…»" | Отвечают: «Если в них одинаковое количество квадратных единиц, то их площади равны». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу сам сравнить площади; жёлтый — могу с памяткой; красный — нужна помощь. На листе самооценки отметьте одно действие, которое получилось лучше всего, и один вопрос." | Показывают карточку, заполняют лист самооценки, формулируют вопрос или успех: «Я научился доказывать равенство площадей подсчётом клеток». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Нарисуйте на клетчатом мини-листе две разные фигуры площадью 6 квадратных единиц и подпишите, как вы это проверили. Лист сдайте при выходе. Домашнее задание выберите по уровню." | Создают две фигуры, считают клетки, записывают доказательство и сдают билет. Записывают выбранный уровень домашней работы. |
Домашнее задание: выбрать один уровень из таблицы ниже. Контрольные вопросы перед выходом: «Что показывает площадь? Какими единицами её измеряют? Как доказать, что фигуры разной формы имеют одинаковую площадь?»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, каждая площадь подсчитана без пропусков, приведено объяснение равенства или неравенства площадей, фигуры построены аккуратно.
- «4» — верно выполнена основная часть заданий, допущена одна ошибка в подсчёте или записи вывода, после самопроверки ошибка исправлена.
- «3» — выполнено базовое задание с частичной помощью, способ подсчёта понятен, но есть две ошибки или отсутствует полное объяснение.
- Ниже отметки «3» работа требует доработки: ученик повторно считает клетки вместе с учителем или партнёром и оформляет вывод по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о фигурах разной формы? | Выявление осознания понятия равновеликих фигур. |
Как вы доказывали, что площади фигур равны? | Проверка понимания алгоритма подсчёта квадратных единиц. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения и необходимости дифференцированной помощи. |
Какой цвет светофора вы выбираете сейчас? | Субъективная оценка уровня освоения темы и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы выяснили, что внешний вид фигуры может обмануть: разные по форме фигуры бывают равновеликими. Надёжный способ сравнения — посчитать одинаковые квадратные единицы и сделать вывод по результату. Помните о типичной ошибке: нельзя сравнивать площади только по длине или ширине контура. Дома вы потренируетесь строить такие фигуры самостоятельно, а на следующем уроке будем использовать знание о площади при решении практических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на сравнение площадей фигур, изображённых на клетчатой сетке: посчитать квадратные единицы, поставить знак сравнения и записать вывод. | Закрепляет алгоритм подсчёта и формулировку доказательства; при проверке смотреть на точность счёта и наличие единиц площади. |
Средний (повышающий) | Составить на клетчатой бумаге 2 пары разных по форме фигур, каждая пара должна иметь площадь 10 квадратных единиц; подписать подсчёт и объяснение. | Развивает применение знания и пространственное мышление; при проверке смотреть, действительно ли формы различаются и совпадает количество клеток. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать бумажную мини-мозаику: три разные фигуры одинаковой площади, вырезать их из одинаковой клетчатой заготовки и оформить короткую математическую подпись к каждой. | Формирует умение создавать модель и аргументировать результат; при проверке оценивать разнообразие форм, аккуратность и правильность подсчёта. |
