Решение магических квадратов
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться находить магическую сумму и восстанавливать пропущенные числа в квадратах по строкам, столбцам и диагоналям, объясняя каждый шаг решения.
- Познакомить учащихся с понятием магического квадрата и способом определения общей суммы.
- Научить складывать числа в строках и находить неизвестное слагаемое по известной сумме.
- Развивать умение проверять равенство сумм по строкам, столбцам и диагоналям, находить ошибки и обосновывать ответ.
- Воспитывать аккуратность вычислений, настойчивость при решении нестандартных задач и готовность сотрудничать в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическим головоломкам и исследовательским заданиям.
- Осознают значение аккуратной проверки вычислений для получения верного результата.
- Развивают уверенность в собственных силах при поиске нескольких шагов решения.
- Соблюдают правила сотрудничества и доброжелательно обсуждают разные способы рассуждения.
Метапредметные
- Формулируют цель решения и планируют последовательность действий.
- Извлекают данные из записи квадрата, таблицы и утверждений рабочего листа.
- Сравнивают суммы, находят закономерность и проверяют гипотезу вычислением.
- Аргументируют ответ, участвуют в работе пары и выполняют самооценку по критериям.
Предметные
- Знать, что в магическом квадрате суммы строк, столбцов и диагоналей равны одной магической сумме.
- Уметь находить сумму трёх известных чисел и использовать её как общую сумму квадрата.
- Уметь находить неизвестное слагаемое по правилу: неизвестное число равно сумме минус известные слагаемые.
- Уметь проверять правильность заполнения по строкам, столбцам и диагоналям.
- Уметь решать задания рабочего листа на восстановление, сравнение и проверку магических квадратов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей задачи пары.
- Осознают, что ошибка в одном вычислении может нарушить всё правило квадрата.
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерностей.
- Оценивают собственную готовность объяснить алгоритм решения.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу: восстановить квадрат по заданной сумме.
- Планируют действия: определить сумму, найти неизвестное, проверить результат.
- Сверяют вычисления с условием и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают работу по количеству верно выполненных заданий и качеству объяснения.
Познавательные УУД
- Выделяют известные и неизвестные числа в строке.
- Устанавливают связь между сложением и нахождением неизвестного слагаемого.
- Моделируют решение с помощью записи выражения и таблицы.
- Анализируют истинность утверждений о строках, столбцах и диагоналях.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру порядок решения и задают уточняющие вопросы.
- Согласовывают общий ответ пары и приводят вычислительное доказательство.
- Используют математическую речь: «магическая сумма», «строка», «столбец», «диагональ».
- Принимают другую точку зрения и корректно указывают на ошибку в вычислении.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–10 — по одному экземпляру на каждого ученика и 2 дополнительных экземпляра.
- Подготовить карточки с числами и знаками «<», «>», «=» — по одному комплекту на пару.
- Вывести на доску пустой квадрат 3 × 3 и рядом памятку: «1. Найди сумму. 2. Найди неизвестное. 3. Проверь строки, столбцы и диагонали».
- Подготовить цветные маркеры: один цвет для строк, второй для столбцов, третий для диагоналей.
- Раздать каждой паре карточку с алгоритмом решения, шаги которого нужно будет расставить в правильном порядке.
- Подготовить слайд с квадратом 8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2 для демонстрации проверки.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для самостоятельных заданий.
- Организовать на доске место для эталона решения и таблицы самооценки.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску математического правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и рабочий лист. Сегодня нам понадобится внимательность настоящих исследователей, потому что числа в квадрате будут подчиняться особому правилу." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят рабочий лист. |
2 мин | Учитель показывает на доске квадрат 8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2 и говорит: "Посмотрите на девять чисел. Попробуйте заметить секрет: почему этот квадрат называют магическим? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь предположением." Учитель фиксирует гипотезы детей. | Сначала рассматривают квадрат индивидуально, затем обсуждают в парах и предполагают: "Суммы чисел в строках одинаковые", "Одинаково складываются и другие направления". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы заметили важную закономерность. Сегодня мы научимся не только узнавать магический квадрат, но и восстанавливать в нём пропущенные числа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить сложение трёх чисел и нахождение неизвестного слагаемого.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $8+1+6$, $3+5+7$, $4+9+2$. "Вычислите суммы по цепочке. Что вы заметили? Какая сумма повторяется?" | Вычисляют выражения и отвечают: "Каждая сумма равна 15". |
3 мин | Учитель предлагает устно решить: "$7+5+?=15$. Как найти неизвестное? Сначала назовите сумму известных чисел, затем вычтите её из общей суммы." Учитель принимает два способа записи: $7+5=12$, $15-12=3$ и $x=15-7-5$. | Решают: $7+5=12$, $15-12=3$; объясняют: "Неизвестное число равно общей сумме минус известные слагаемые". |
Запись в тетрадях
Магическая сумма — одинаковая сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали. Неизвестное слагаемое = общая сумма − сумма известных слагаемых.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как находить сумму и неизвестное слагаемое. Теперь выясним, как эти знания помогут заполнить магический квадрат."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и сформулировать алгоритм работы с магическим квадратом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает строку из задания 1: $8+1+\square=15$. "Заполнить клетку легко. Но что делать, если общая сумма не дана? Посмотрите на строку $6+1+8$. Как можно узнать магическую сумму?" | Обсуждают в парах и отвечают: "Нужно сложить числа строки: $6+1+8=15$". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какой порядок действий поможет не запутаться? Что будем делать сначала, что потом и чем закончим?" На доске появляются предложения детей. | Формулируют план: "Найти общую сумму, найти пропуск, проверить остальные строки, столбцы и диагонали". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: научиться решать магические квадраты по понятному алгоритму. Переходим к открытию этого алгоритма на примере."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм восстановления пропущенных чисел и проверки магического квадрата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает пример, близкий к заданиям 1 и 4: "В первой строке стоят 7, 2 и 6. Найдём общую сумму: $7+2+6=15$. Во второй строке записано $6+\square+4$. Общая сумма уже известна, поэтому неизвестное равно $15-6-4=5$." Учитель подчёркивает, что сначала определяется сумма, затем пропуск. | Записывают вычисления: $7+2+6=15$; $15-6-4=5$. Формулируют: "В пропуске должно быть число 5". |
3 мин | Учитель демонстрирует квадрат $8,1,6;3,5,7;4,9,2$: "Проверяем не только строки. Первая строка даёт 15, первый столбец $8+3+4=15$, главная диагональ $8+5+2=15$. Значит, проверяем все направления, которые указаны в условии." | Цветными маркерами выделяют строки, первый столбец и диагональ; называют суммы: "15, 15, 15". |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм: "Шаг 1 — найди магическую сумму по полностью заполненной строке. Шаг 2 — найди пропуск вычитанием. Шаг 3 — проверь строки, столбцы и диагонали. Если хотя бы одна сумма не совпала, ищи ошибку." | Повторяют алгоритм хором и записывают его кратко в тетради. |
Эталон решения
Для строки $7+2+6$ магическая сумма равна $15$. Во второй строке $6+x+4=15$. Сначала складываем известные числа: $6+4=10$. Затем находим неизвестное: $x=15-10=5$. Проверка: $6+5+4=15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть рабочий алгоритм: сумма, пропуск, проверка. Испытаем его на заданиях рабочего листа и увидим, как меняется способ рассуждения."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм при выполнении заданий 1–4 и проговорить ход решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Выполните задания 1 и 2. В первом квадрате сумма уже дана — 15, поэтому сразу ищите пропуск. Во втором сначала внимательно прочитайте условие и заполните строки с общей суммой 18. Работайте карандашом, каждое действие проговаривайте партнёру." | Индивидуально заполняют пропуски, затем сверяют с партнёром. В задании 1 получают $8+1+6=15$ и $4+9+2=15$. |
3 мин | Учитель разбирает задание 3: "В строке стоят 6, 1 и 8. Не выбирайте ответ наугад: сначала вычислите $6+1+8$. Какой вариант подходит?" Затем предлагает задание 4: "В квадрате А сначала определите сумму первой строки, затем найдите второе пропущенное число." | Вычисляют $6+1+8=15$, выбирают вариант «15». В квадрате А находят $7+2+6=15$, затем $15-6-4=5$. |
2 мин | Учитель организует приём «Взаимопроверка»: "Обменяйтесь листами с соседом. Проверьте не только числа, но и наличие вычислений. Если нашли отличие, не исправляйте молча — объясните партнёру, на каком шаге возникла ошибка." | Проверяют задания 1–4, ставят карандашную отметку рядом с верным ответом и объясняют расхождения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились восстанавливать числа, когда магическая сумма известна или находится по первой строке. Теперь проверим, умеем ли мы рассуждать о свойствах квадрата и находить нарушение правила."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно выполнить задания 5–10, используя алгоритм, и проверить результат по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель даёт инструкцию: "Самостоятельно выполните задания 5–10. В задании 5 сначала найдите сумму каждой строки и установите соответствие. В задании 6 отметьте истину или ложь только после вычисления. В задании 7 ищите число, которое нарушает сумму 21. В задании 8 восстановите порядок алгоритма, а в заданиях 9–10 сравнивайте суммы и заполняйте квадрат. Можно выбрать любое задание, с которого удобнее начать." | Решают задания 5–10 на рабочем листе. В задании 6 вычисляют, например, первую строку $4+9+1=14$, вторую $2+5+7=14$, первый столбец $4+2+8=14$, диагональ $4+5+3=12$; отмечают истинность соответствующих утверждений. |
2 мин | Учитель выводит эталонные действия: "Проверьте себя по шагам: магическая сумма, пропуск, проверка. В задании 7 строка должна давать 21: $10+6+5=21$, $7+8+6=21$, значит, третья строка должна быть $9+4+8=21$. Если вместо 4 указано 11, это лишнее число." | Сверяют вычисления, исправляют ошибки другим цветом и дописывают пропущенные шаги. |
2 мин | Учитель проводит самооценку: "Покажите карточку: зелёная — алгоритм применяю самостоятельно, жёлтая — иногда путаю шаги, красная — нужна помощь. Отметьте на листе одно задание, которое хотите разобрать ещё раз." | Поднимают сигнальную карточку, отмечают затруднение и формулируют вопрос: "Мне трудно проверять диагонали" или "Мне нужно внимательнее находить общую сумму". |
Эталон решения
Проверка задания 6: первая строка $4+9+1=14$ — истина; вторая строка $2+5+7=14$, поэтому утверждение о сумме 15 — ложь; первый столбец $4+2+8=14$ — истина; главная диагональ $4+5+3=12$ — истина; все три строки имеют сумму 14 — истина.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя не по догадке, а вычислениями. Осталось обобщить алгоритм, назвать самое полезное открытие и подготовить домашнее продолжение этой работы."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать способ решения, выявить затруднения и объяснить дальнейшую самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная запись»: "За одну минуту закончите фразу: «Чтобы решить магический квадрат, я сначала..., затем..., а в конце...». После этого обменяйтесь формулировками с соседом." | Записывают алгоритм: "Сначала нахожу магическую сумму, затем неизвестное число, в конце проверяю строки, столбцы и диагонали"; сравнивают формулировки. |
1 мин | Учитель спрашивает: "Какое задание рабочего листа лучше всего показало, что нельзя угадывать ответ? Где пришлось проверять несколько направлений?" | Отвечают: "Задание 6, потому что нужно было вычислять строки, столбец и диагональ". |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите уровень, но базовый выполняют все. Запишите условие своими словами и обязательно показывайте вычисления, а не только вписывайте числа." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольный вопрос для самопроверки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания 1–10 или не менее 9 заданий, вычисления записаны аккуратно, алгоритм решения объяснён, проверки строк, столбцов и диагоналей выполнены там, где это требуется.
- «4» — верно выполнены не менее 7 заданий, допущены 1–2 вычислительные ошибки, но общий способ нахождения суммы и пропуска понятен.
- «3» — верно выполнены не менее 5 заданий, магическая сумма найдена в основных примерах, однако требуется помощь при проверке столбцов, диагоналей или восстановлении квадрата.
- Ниже «3» — ученик понимает отдельные действия, но пока не может самостоятельно определить общую сумму и требует повторной работы по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое магическая сумма? | Проверить понимание основного понятия урока. |
Какой шаг выполняется первым, если в квадрате есть полностью заполненная строка? | Выявить освоение алгоритма определения общей суммы. |
Как проверить, что квадрат заполнен правильно? | Проверить понимание необходимости контроля строк, столбцов и диагоналей. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявить индивидуальные точки затруднения для следующего урока. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали как настоящие исследователи: искали магическую сумму, находили неизвестные числа и проверяли результат в разных направлениях. Запомните главную последовательность: сумма — пропуск — проверка. Самая частая ошибка — начать вписывать число, не определив общую сумму или не проверив ответ. Дома вы продолжите решать квадраты и потренируетесь объяснять каждый шаг. На следующем уроке мы разберём более сложные квадраты и способы поиска ошибок в них."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 магических квадрата 3 × 3 с заданной общей суммой 15, 18 или 21: заполнить пропуски в строках и записать проверку одной строки и одного столбца. | Закрепляет нахождение неизвестного слагаемого; при проверке смотреть на правильность общей суммы и вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: определить магическую сумму по полностью заполненной строке, восстановить пропуск, сравнить две суммы знаками «<», «>» или «=», определить истинность трёх утверждений о строках, столбцах и диагоналях. | Развивает перенос алгоритма на разные форматы; при проверке смотреть, приведены ли вычислительные доказательства. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный квадрат 3 × 3 с магической суммой 24, оставить 3–4 пропуска для одноклассника и отдельно записать решение и проверку строк, столбцов и диагоналей. | Формирует умение создавать математическую задачу и проверять её корректность; при проверке смотреть, действительно ли все направления дают 24. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти магическую сумму? Как вычислить пропущенное число? Какие направления нужно проверить в магическом квадрате?»
