Уравнения с двумя переменными
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать уравнение с двумя переменными, находить и проверять его решения, а также изображать множество решений линейного уравнения с двумя переменными на координатной плоскости.
- Сформировать представление о решении уравнения с двумя переменными как о паре чисел, удовлетворяющих равенству.
- Научить находить несколько решений линейного уравнения с двумя переменными и строить его график по двум найденным точкам.
- Развивать умение анализировать условие, планировать последовательность действий, работать в паре и аргументировать выбор решения.
- Показать связь алгебры с геометрией, информатикой и практическими задачами, снизить тревожность перед заданиями ОГЭ за счёт понятного алгоритма проверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения работать с уравнениями и координатной плоскостью при решении задач из разных областей.
- Проявляют готовность спокойно анализировать задание экзаменационного формата, разделяя трудность задачи и собственную самооценку.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и проверке полученного результата.
- Оценивают собственный прогресс и определяют, какая часть алгоритма требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Планируют решение, выделяют известные и неизвестные величины, преобразуют информацию из формулы в таблицу и график.
- Работают в паре: распределяют действия, задают уточняющие вопросы, сравнивают и аргументируют ответы.
- Осуществляют самопроверку по критериям и корректируют вычислительные ошибки.
- Устанавливают межпредметную связь между алгебраической записью, геометрическим образом прямой и зависимостью физических величин.
Предметные
- Знать, что решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, превращающая равенство в верное.
- Уметь проверять, является ли заданная пара решением уравнения.
- Уметь выражать одну переменную через другую и находить несколько решений линейного уравнения.
- Уметь строить график уравнения вида $y=kx+b$ по двум точкам и формулировать вывод о множестве решений.
- Владеть алгоритмом выполнения типового задания, связанного с уравнением с двумя переменными.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения темы через связь с геометрией, физикой и заданиями ОГЭ.
- Формируют уверенность в возможности решить новое задание по пошаговому алгоритму.
- Проявляют уважение к мнению партнёра и готовность принимать обоснованную коррекцию.
- Осознают значение аккуратной записи и проверки результата.
Регулятивные УУД
- Ставят цель: найти способ описать все пары чисел, удовлетворяющие уравнению.
- Планируют действия: преобразовать, выбрать значения переменной, вычислить вторую координату, построить точки, проверить.
- Контролируют знаки, вычисления и соответствие пары исходному уравнению.
- Оценивают результат по критериям и исправляют обнаруженные ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют условие и неизвестные в уравнении с двумя переменными.
- Сравнивают несколько пар чисел и устанавливают общий признак решений.
- Моделируют алгебраическую зависимость таблицей и координатным графиком.
- Анализируют, почему двух точек достаточно для построения графика линейного уравнения.
- Извлекают информацию из графика и связывают её с формулой.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий и затем меняются ролями.
- Формулируют вопрос партнёру: «Почему эта пара является решением?»
- Объясняют ход построения графика с использованием математических терминов.
- Сравнивают решения пар и корректно указывают на расхождения.
- Представляют общий вывод классу и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с уравнением $2x+y=6$, координатной плоскостью и алгоритмом проверки пары.
- Распечатать карточки для пар: 8 вариантов уравнений вида $ax+by=c$, по одной карточке на пару.
- Распечатать индивидуальные листы самопроверки — по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточки со значениями $x=-1$, $0$, $1$, $2$ и таблицу для вычисления соответствующих значений $y$.
- Вывесить на доске памятку: «1. Вырази $y$. 2. Выбери два значения $x$. 3. Найди $y$. 4. Построй две точки. 5. Проверь».
- Подготовить координатную сетку на миллиметровой бумаге — по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить слайд с типовым заданием ОГЭ: определить, принадлежит ли точка графику уравнения.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры зелёного и жёлтого цвета.
- Для межпредметной связи подготовить пример зависимости пути от времени: $s=60t$, где $s$ измеряется в километрах, а $t$ — в часах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы разберём тему, которая встречается в заданиях ОГЭ и одновременно связывает алгебру с геометрией. Проверьте, есть ли у вас тетрадь, линейка, ручка и лист с координатной сеткой. Сегодня важнее не скорость, а точность рассуждений." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: "Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Как можно записать зависимость пройденного пути от времени? А если величины обозначить буквами $s$ и $t$, что будет переменными?" | Отвечают: "$s=60t$"; называют $s$ и $t$ переменными, объясняют, что каждой величине времени соответствует путь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что две переменные могут быть связаны одним равенством. Сегодня выясним, что считать решением такого равенства и как увидеть все решения на координатной плоскости."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия координат точки, линейной функции и проверки равенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары $A(2;3)$, $B(-1;4)$ и спрашивает: "Как называются числа в записи точки? В каком порядке их записывают?" | Отвечают: "Первая координата — абсцисса, вторая — ордината; порядок менять нельзя". Показывают точки на координатной сетке. |
2 мин | Учитель предлагает устно проверить: "Подставьте пару $(1;4)$ в равенство $y=2x+2$. Получится ли верное равенство? А пару $(0;1)$?" | Выполняют подстановку: для $(1;4)$ получают $4=4$, пара является решением; для $(0;1)$ получают $1=2$, пара не является решением. |
2 мин | Учитель организует приём «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если уверенно подставляете координаты, жёлтый — если нужна подсказка. Ошибка сейчас — это ориентир для дальнейшей работы." | Показывают стикеры, формулируют затруднение: нужно понять, как находить все пары, а не проверять только одну. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверять отдельную пару мы умеем. Но уравнение может иметь не одно и не два решения. Теперь поставим вопрос: как описать всё множество решений удобным способом?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить алгоритм её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает $2x+y=6$ и задаёт проблемный вопрос: "Можно ли назвать все пары чисел, превращающие это равенство в верное? Что произойдёт, если для $x$ выбрать любое число?" Учитель предлагает 30 секунд подумать, затем обсудить ответ в паре. | Индивидуально предполагают, затем обсуждают в парах. Предлагают пары $(0;6)$, $(1;4)$, $(2;2)$, $(3;0)$. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какой способ поможет не просто перечислить несколько пар, а увидеть закономерность? Что нужно построить? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют: "Нужно выразить $y$, составить таблицу, отметить точки и построить график"; записывают цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нужно перейти от множества числовых пар к геометрическому образу. Проверим нашу гипотезу на конкретном уравнении и выведем общий алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести способ нахождения решений уравнения с двумя переменными и установить, что графиком линейного уравнения является прямая.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель работает с уравнением $2x+y=6$: "Выразим $y$: $y=6-2x$. Выберем удобные значения $x$: $0$, $1$, $2$. Вычислим вторую координату и занесём результаты в таблицу. Обратите внимание: каждую пару нужно получить из исходного равенства, а не угадать." | Записывают $y=6-2x$, заполняют таблицу: при $x=0$, $y=6$; при $x=1$, $y=4$; при $x=2$, $y=2$. Получают точки $(0;6)$, $(1;4)$, $(2;2)$. |
3 мин | Учитель показывает координатную сетку: "Отметьте три точки. Проведите через них прямую. Почему точки оказались на одной линии? Каждая из них соответствует решению одного и того же уравнения." | Отмечают точки, проводят прямую, формулируют: "Все точки этой прямой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению". |
3 мин | Учитель обобщает: "Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара. Если уравнение линейное, его график — прямая. Для построения достаточно двух различных точек, но третья точка помогает проверить точность построения. В заданиях ОГЭ сначала проверяйте принадлежность точки подстановкой." | Записывают определение и алгоритм, задают уточняющие вопросы, объясняют соседу смысл каждой части алгоритма. |
Запись в тетрадях
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара $(x;y)$, при подстановке которой получается верное равенство. Для уравнения $ax+by=c$ можно выразить одну переменную через другую, составить таблицу значений и построить график. Для линейного уравнения графиком является прямая.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не случайный набор точек, а прямую — геометрическую модель всех решений. Теперь проверим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения решений и построения графика через парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парам карточки и объясняет: "В каждой паре один ученик выполняет вычисления, второй проверяет подстановкой. Через две минуты поменяйтесь ролями. На карточке указано уравнение $x+y=4$. Найдите три решения и выберите два для построения." | Распределяют роли, читают условие карточки. |
4 мин | Учитель сопровождает работу: "Выразите $y$ через $x$. Возьмите значения $x=0$, $1$, $4$. Не забывайте записывать пары именно в порядке $(x;y)$. Затем отметьте две точки и проведите прямую." | Решают: $y=4-x$; получают $(0;4)$, $(1;3)$, $(4;0)$; строят график, проверяют подстановкой. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сравните графики с соседней парой. Если есть расхождение, найдите, на каком шаге оно возникло: в выражении для $y$, таблице или построении." | Сравнивают таблицы и графики, называют ошибку и исправляют её; одна пара объясняет решение классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает и при другом уравнении. Сейчас каждый проверит, может ли выполнить его без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык выполнения задания экзаменационного формата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выдаёт индивидуальное задание: "Рассмотрите уравнение $3x-y=6$. 1) Выразите $y$ через $x$. 2) Найдите три решения при $x=0$, $1$, $2$. 3) Постройте график. 4) Проверьте, принадлежит ли этому графику точка $C(3;3)$. Работайте самостоятельно, запись должна содержать все четыре шага." | Записывают $y=3x-6$, находят точки $(0;-6)$, $(1;-3)$, $(2;0)$, строят прямую, проверяют точку $C(3;3)$ подстановкой: $3=3
e? $ Получают $3
e3$? Корректно: $3
e3$ — равенство верно, точка принадлежит графику. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и порядок действий. Отметьте зелёным каждый полностью выполненный шаг, жёлтым — шаг, где потребовалась коррекция." | Сверяют решение, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самопроверки. |
2 мин | Учитель предлагает усложнение: "Если точка $D(-1;-9)$, принадлежит ли она графику? Объясните не рисунком, а вычислением." | Подставляют: $-9=3\cdot(-1)-6=-9$, делают вывод: точка принадлежит графику. |
Эталон решения
$3x-y=6$; переносим $y$: $-y=6-3x$, поэтому $y=3x-6$. При $x=0$ получаем $y=-6$, точка $(0;-6)$; при $x=1$ получаем $y=-3$, точка $(1;-3)$; при $x=2$ получаем $y=0$, точка $(2;0)$. Для точки $C(3;3)$: $3\cdot3-3=6$, то есть $6=6$, поэтому точка принадлежит графику. Для точки $D(-1;-9)$: $3\cdot(-1)-(-9)=6$, то есть $6=6$, точка также принадлежит графику.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы самостоятельно прошли весь путь от уравнения до графика и проверили принадлежность точек. На следующем этапе свяжем этот алгоритм с физическим смыслом зависимости и зафиксируем, что уже умеем."
Этап 7. Межпредметная связь и включение в систему знаний (3 мин)
Цель этапа: применить новое знание в контексте физики и интерпретировать координаты точки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает запись $s=60t$: "В физике $s$ — путь в километрах, $t$ — время в часах. Назовите несколько решений этой зависимости и объясните смысл точки $(2;120)$. Можно ли по графику определить путь за три часа?" | Называют пары $(0;0)$, $(1;60)$, $(2;120)$, $(3;180)$; объясняют: $(2;120)$ означает путь 120 км за 2 часа; отвечают: за 3 часа путь равен 180 км. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгебраическая формула, таблица и график описывают одну и ту же зависимость. Осталось оценить собственный результат и определить, что нужно закрепить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт стикеры: "Закончите фразы: «Теперь я умею…», «Мне ещё нужно потренироваться…». На шкале от 1 до 3 покажите уверенность: 1 — нужна помощь, 2 — алгоритм понимаю, но ошибаюсь, 3 — могу объяснить другому." | Заполняют две фразы, показывают уровень уверенности, называют один затруднивший шаг. |
1 мин | Учитель сообщает задание: "Выберите обязательный уровень. Желающие выполняют повышенный или дополнительный уровень. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: что является решением уравнения с двумя переменными?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Упорядоченная пара, превращающая уравнение в верное равенство". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре шага самостоятельного задания: выражение переменной, три решения, график и проверка обеих точек; запись аккуратная, вывод сформулирован.
- «4» — алгоритм выполнен в целом верно, но допущена одна вычислительная или графическая ошибка, исправленная при самопроверке.
- «3» — правильно выполнены не менее двух шагов, найдено хотя бы две верные пары или верно выполнена проверка одной точки; требуется помощь при построении графика.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является решением уравнения с двумя переменными? | Проверка понимания ключевого определения. |
Какие шаги нужны, чтобы построить график уравнения? | Выявление понимания алгоритма и последовательности действий. |
На каком шаге вы сегодня ошиблись или затруднились? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Где в физике или жизни можно использовать зависимость двух величин? | Осознание межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы установили, что решение уравнения с двумя переменными — это не просто число, а упорядоченная пара, а все такие пары можно представить графически. Мы научились переходить от уравнения к таблице, точкам и прямой. Типичная ошибка — перепутать порядок координат или забыть проверить пару в исходном уравнении. На следующем уроке мы продолжим работать с системами уравнений и увидим, как графики помогают находить их общие решения. Помните: экзаменационная задача становится значительно проще, если выполнять действия последовательно и проверять каждый шаг."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: для каждого уравнения с двумя переменными проверить заданную пару чисел; для двух уравнений выразить одну переменную через другую и найти по три решения. | Закрепляет определение решения и навык подстановки; при проверке смотреть на порядок координат и знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на построение графика линейного уравнения с двумя переменными: составить таблицу минимум из двух точек, построить прямую и проверить дополнительную точку. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке смотреть на точность таблицы, координатной сетки и вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о зависимости двух величин, записать уравнение, выбрать три осмысленные пары и изобразить график. | Развивает моделирование и функциональную грамотность; при проверке оценивать соответствие единиц измерения, формулы, таблицы и графика. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как проверить, является ли пара решением уравнения?», «Почему графиком линейного уравнения является прямая?», «Какие два шага нельзя пропускать при построении графика?»
