Чётные и нечётные функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле и графику определять, является ли функция чётной, нечётной или функцией общего вида, обосновывать ответ с использованием условия симметрии и применять алгоритм к заданиям формата ОГЭ.
- Сформировать представление о чётной функции как функции, удовлетворяющей условию $f(-x)=f(x)$, и о нечётной функции как функции, удовлетворяющей условию $f(-x)=-f(x)$.
- Научиться проверять симметрию графика относительно оси ординат и начала координат, а также выявлять типичные ошибки при классификации функций.
- Развивать умение работать в паре, формулировать математическое доказательство, использовать цифровой графический инструмент для проверки гипотезы.
- Воспитывать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ, уверенность при решении нестандартных заданий и готовность корректно аргументировать свою позицию.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения анализировать функции для успешной подготовки к ОГЭ и дальнейшего обучения.
- Проявляют готовность проверять собственное решение, не бояться ошибки и использовать её для коррекции способа действия.
- Развивают учебную самостоятельность и ответственное отношение к совместной работе в паре.
- Формируют представление о математике как языке описания закономерностей, симметрии и моделей реальных процессов.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют существенные признаки чётности и нечётности, сравнивают формулу и график, строят логическую цепочку рассуждения.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют проверку функции, осуществляют самопроверку по эталону и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: распределяют роли в паре, задают уточняющие вопросы, аргументируют вывод и корректно оценивают решение одноклассника.
- Используют цифровой графический инструмент для построения графиков и проверки математической гипотезы.
- Переносят алгоритм на задания практического и экзаменационного формата.
Предметные
- Знают определения чётной и нечётной функции и признаки симметрии их графиков.
- Умеют проверять симметрию области определения относительно нуля перед исследованием формулы.
- Умеют вычислять $f(-x)$ и сравнивать полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$.
- Умеют определять вид функции по графику и приводить контрпример, если функция не является ни чётной, ни нечётной.
- Владеют алгоритмом решения задания на определение чётности и нечётности, близкого к заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок: научиться быстро распознавать симметрию и обосновывать ответ.
- Оценивают собственную готовность к заданиям ОГЭ без сравнения себя с одноклассниками.
- Осознают значение точной записи условия и последовательного алгоритма для предупреждения ошибок.
- Проявляют уважение к иной точке зрения при обсуждении спорного решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют критерии успешного решения: проверена область определения, найдено $f(-x)$, сделан обоснованный вывод.
- Планируют действия по алгоритму и распределяют время на выполнение задания.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и выполняют коррекцию.
- Оценивают степень освоения материала с помощью светофора и билета на выход.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из формулы, графика, таблицы значений и цифровой модели.
- Сравнивают выражения $f(-x)$, $f(x)$ и $-f(x)$, классифицируют функции по существенным признакам.
- Строят математическую модель симметрии графика относительно оси ординат или начала координат.
- Формулируют гипотезу, проверяют её вычислением и приводят контрпример.
- Устанавливают связь между алгебраическим условием и геометрическим свойством графика.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли «аналитик» и «проверяющий» при парной работе и меняются ролями.
- Объясняют партнёру каждый шаг вычисления $f(-x)$, используя математическую терминологию.
- Задают вопросы «Почему?», «Какой признак использован?», «Что изменится при замене $x$ на $-x$?».
- Формулируют общий вывод пары и представляют его классу.
- При взаимопроверке используют критерии, а не субъективную оценку личности одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с двумя парами графиков: симметричных относительно оси ординат и начала координат, а также с графиком функции общего вида.
- Подготовить цифровой графический инструмент на ноутбуке учителя и, если возможно, на устройствах учащихся; заранее проверить построение графиков $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=x^2+x$.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего по количеству пар класса.
- Распечатать мини-лист «Алгоритм исследования функции» — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки для игровой разминки «Симметрия или нет?» — по одной на каждого ученика или по набору на парту.
- Вывесить на доску памятку: 1) область определения; 2) найти $f(-x)$; 3) сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$; 4) записать вывод.
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов, таймер на 2–4 минуты и листы для самопроверки.
- Организовать безопасную физкультминутку без оборудования: движения вправо-влево, симметричные относительно вертикальной оси.
- Подготовить задания, близкие к формату ОГЭ, без указания номеров и страниц конкретного учебника; предусмотреть обращение к соответствующему разделу учебника класса.
- Проверить, что на доске или экране отображается QR-код либо короткая ссылка на интерактивный графический ресурс, если цифровая работа выполняется учащимися.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы для анализа графиков и подготовки к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два графика: $y=x^2$ и $y=x^3$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с небольшой игры. Посмотрите на два графика и попробуйте определить, какой из них можно мысленно сложить пополам по вертикальной линии, а какой обладает симметрией относительно начала координат. Пока не называйте определения — нам важно заметить закономерность». | Рассматривают графики, индивидуально выбирают вариант и записывают в черновике: «первый симметричен относительно оси ординат», «второй симметричен относительно начала координат». |
2 мин | Учитель проводит приём «Интрига»: «На ОГЭ подобное свойство может быть спрятано не в рисунке, а в формуле. Как по формуле быстро понять, какой график перед нами? Сегодня мы найдём признак и составим алгоритм, который поможет не угадывать, а доказывать ответ». | Формулируют предположения: «Нужно сравнить значения при противоположных аргументах», «Нужно заменить $x$ на $-x$». Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели симметрию на графике, но пока не умеем подтверждать её формулой. Сейчас вспомним, как исследуют функцию и что означает аргумент, противоположный данному».Для следующего этапа.
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Симметрия или нет?» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, области определения, противоположных чисел и координатной симметрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с утверждениями и объясняет правила игры: «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если нужно исправление. Первое утверждение: числа $a$ и $-a$ являются противоположными. Второе: если точка $(x;y)$ принадлежит графику, то точка $(-x;y)$ получается отражением относительно оси ординат. Третье: любая область определения автоматически симметрична относительно нуля». | Поднимают карточки, дают ответы: «верно», «верно», «неверно». Объясняют, что область определения может не содержать противоположного числа. |
3 мин | Учитель обращается к учебнику и доске: «Откройте раздел, посвящённый функциям. Найдите в знакомых примерах область определения и определите, входят ли в неё одновременно $x$ и $-x$. Для функции $y=\frac{1}{x}$ назовите область определения, а для функции $y=\sqrt{x}$ объясните, почему проверка симметрии нужна до вычислений». | Работают в парах: называют область определения $y=\frac{1}{x}$ как все действительные числа, кроме нуля, и замечают её симметрию; для $y=\sqrt{x}$ указывают $x\geq0$ и отсутствие симметрии относительно нуля. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что функция сравнивается при противоположных аргументах, а область определения должна быть симметрична относительно нуля. Теперь выясним, какое именно равенство отличает чётную функцию от нечётной».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$, $h(x)=x^2+x$. «Попробуйте определить тип каждой функции только по двум значениям: вычислите значения при $x=2$ и $x=-2$. Можно ли по одной паре значений сделать строгий вывод для всех $x$?» | В парах вычисляют значения: для $f$ получают $4$ и $4$, для $g$ — $8$ и $-8$, для $h$ — $6$ и $2$. Формулируют: «Первые две функции похожи на чётную и нечётную, но одной пары значений недостаточно». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как записать общий признак, который будет работать для любого допустимого $x$? Какие равенства нужно сравнить? Сформулируйте цель урока одним предложением». | Предлагают цель: «Научиться по формуле определять, является ли функция чётной, нечётной или ни той ни другой, и подтверждать вывод». Записывают цель в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что отдельные вычисления подсказывают гипотезу, но математическое доказательство требует общего равенства. Сейчас построим этот признак сами и проверим его на графиках».
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести определения чётной и нечётной функции и связать их с геометрической симметрией графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает интерактивный графический инструмент и строит графики $y=x^2$ и $y=x^3$. «Посмотрите, как меняются координаты точки при замене $x$ на $-x$. Для параболы точка $(x;y)$ переходит в $(-x;y)$, а для кубической функции — в $(-x;-y)$. Какая симметрия соответствует каждому переходу?» | Наблюдают за построением, называют: «Для параболы симметрия относительно оси ординат», «для кубической функции — относительно начала координат». |
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу и записывает на доске: «Для чётной функции выполняется $f(-x)=f(x)$, а для нечётной — $f(-x)=-f(x)$. Но перед этим проверяем: если $x$ входит в область определения, то и $-x$ должен входить в неё. Почему это условие необходимо?» | Объясняют: «Иначе нельзя сравнить значения при противоположных аргументах». Записывают определения и связывают их с симметрией графика. |
3 мин | Учитель показывает третий график $y=x^2+x$. «Проверьте гипотезу цифровым построением и алгебраически. Найдите $h(-x)$ и сравните его с $h(x)$ и $-h(x)$. Не торопитесь назвать функцию чётной только потому, что в формуле есть квадрат». | Строят или рассматривают график, вычисляют $h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x$. Делают вывод: $h(-x)\ne h(x)$ и $h(-x)\ne-h(x)$, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Функция называется чётной, если область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется $f(-x)=f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Функция называется нечётной, если область определения симметрична относительно нуля и выполняется $f(-x)=-f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили два равенства и увидели их геометрический смысл. Теперь закрепим не только определения, но и полный алгоритм: область определения, вычисление, сравнение, вывод».
Этап 5. Физкультминутка «Зеркало» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить образ симметрии движением и восстановить работоспособность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: «Встаньте рядом с партой. Представьте, что вертикальная линия перед вами — ось ординат. На слово «чётная» повторяйте движение симметрично вправо и влево; на слово «нечётная» выполняйте противоположно направленные движения, как точка и её отражение относительно начала координат». | Выполняют два симметричных наклона вправо-влево, затем движения противоположными руками, сохраняя безопасную дистанцию. |
1 мин | Учитель завершает: «Сделаем вдох, выдох и возвращаемся к математике. Какая симметрия требует сохранения ординаты, а какая — изменения её знака?» | Отвечают: «У чётной сохраняется $y$, у нечётной меняется знак $y$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы закрепили различие движением: при чётности значение сохраняется, при нечётности меняет знак. Теперь применим алгоритм к формулам в парной работе».
Этап 6. Первичное закрепление в парах «Математический детектив» (8 мин)
Цель этапа: научить применять алгоритм определения вида функции и объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и распределяет роли: «В каждой паре один ученик — аналитик, второй — проверяющий. Исследуйте функции $f(x)=3x^4-2x^2+1$, $g(x)=5x^3-2x$ и $h(x)=\frac{x+1}{x-1}$. Для каждой функции проверьте область определения, найдите значение при $-x$ и сформулируйте вывод. Через две минуты поменяйтесь ролями». | Читают задания, распределяют роли, начинают решение по памятке. |
3 мин | Учитель перемещается между парами и задаёт вопросы: «Почему для первой функции достаточно заметить чётные степени? Что происходит с каждым слагаемым второй функции? Симметрична ли область определения третьей функции относительно нуля?» Учитель не сообщает ответ, а просит показать шаг вычисления. | Объясняют партнёру: $f(-x)=3x^4-2x^2+1=f(x)$; $g(-x)=-5x^3+2x=-g(x)$. Для третьей функции отмечают область определения $x\ne1$, которая не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является чётной или нечётной. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Сверьте решение с эталоном на экране. Поставьте две звезды за верно выполненные шаги и одно пожелание, если пропущена область определения или вывод. Ошибку исправляйте другой ручкой». | Сверяют записи, отмечают два сильных места и один способ улучшения, исправляют вычисления. Две пары озвучивают по одному решению. |
Эталон решения
Для $f(x)=3x^4-2x^2+1$: область определения — все действительные числа; $f(-x)=3(-x)^4-2(-x)^2+1=3x^4-2x^2+1=f(x)$, значит функция чётная. Для $g(x)=5x^3-2x$: $g(-x)=5(-x)^3-2(-x)=-5x^3+2x=-(5x^3-2x)=-g(x)$, значит функция нечётная. Для $h(x)=\frac{x+1}{x-1}$ область определения $x\ne1$ не симметрична относительно нуля, поскольку $-1$ допустимо, а $1$ недопустимо; функция не является ни чётной, ни нечётной.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Пары доказали, что одного внешнего сходства формулы недостаточно: нужно пройти все шаги алгоритма. Сейчас каждый самостоятельно проверит, умеет ли он применять этот способ без подсказки».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой в формате ОГЭ (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и снизить тревожность перед экзаменационным форматом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор уровня: «Все выполняют обязательное задание, а затем выбирают базовый или повышенный уровень. Работаем самостоятельно, без обсуждения. Важно не только назвать ответ, но и записать признак». | Выбирают карточку по уровню, записывают в тетради критерии проверки. |
4 мин | Учитель диктует обязательное задание: «Определите, является ли функция $p(x)=x^6-4x^2$ чётной, нечётной или ни той ни другой. Запишите вычисление $p(-x)$ и вывод». Для повышенного уровня добавляет: «Исследуйте $q(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$ и объясните ответ». | Решают индивидуально. Для обязательного задания получают $p(-x)=(-x)^6-4(-x)^2=x^6-4x^2=p(x)$ и делают вывод о чётности. Для дополнительного задания учитывают область определения и получают $q(-x)=-q(x)$. |
2 мин | Учитель показывает эталон и говорит: «Проверьте три позиции: область определения, вычисление, итоговое слово. Если нашли ошибку, подчеркните место и исправьте, а не стирайте первоначальный ход». | Сверяют решение, ставят себе условный балл по критериям, исправляют ошибки. Поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку понимания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство уже может уверенно распознать чётность по формуле. Если у вас жёлтая или красная карточка, это не оценка ваших способностей, а сигнал, какой шаг нужно потренировать. Включим новое знание в общую систему».
Этап 8. Включение в систему знаний и межпредметная связь (4 мин)
Цель этапа: связать свойства функций с моделированием реальных процессов и ранее изученными графиками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу «модель — свойство»: координата точки на симметричном профиле, зависимость пути от времени, электрический сигнал. «В физике и информатике симметрия помогает описывать сигнал или форму объекта. Если модель имеет вид $y=x^2$, какое свойство можно использовать при вычислениях? Если $y=x^3$, что меняется при смене направления на противоположное?» | Обсуждают в парах, формулируют: «Для $y=x^2$ значения при противоположных аргументах совпадают; для $y=x^3$ они противоположны». Связывают алгебру с графиками физических величин и обработкой данных. |
2 мин | Учитель проводит игру «Угадай по признаку»: «Я называю признак, а вы показываете карточку Ч или Н. $f(-x)=f(x)$; график симметричен относительно начала координат; в формуле только нечётные степени слагаемых». После каждого ответа просит назвать математическое обоснование. | Поднимают карточки «Ч» или «Н», объясняют: «Первый признак чётности», «второй — нечётности», «третий обычно указывает на нечётность, если область определения симметрична». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что чётность и нечётность — не отдельное правило для одной задачи, а способ описывать симметрию в формулах, графиках и моделях. Осталось зафиксировать личный результат и домашнюю тренировку».
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и дать разноуровневое задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает «Билет на выход»: «Запишите одно предложение: “Чтобы определить вид функции, я сначала..., затем..., после этого...” Вторым пунктом укажите, какое равенство соответствует чётности и какое — нечётности». | Заполняют билет на выход: фиксируют алгоритм и оба равенства. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы классу: «Какую типичную ошибку нельзя допускать? Почему недостаточно проверить только одно число? Что показывает красная карточка?» | Отвечают: «Нельзя пропускать область определения», «одного примера недостаточно для доказательства», «красная карточка показывает необходимость дополнительного разбора». |
1 мин | Учитель сообщает уровни домашнего задания: «Выберите обязательный уровень, затем при готовности добавьте повышающий или дополнительный. Ориентируйтесь не на количество, а на качество рассуждения и самопроверку». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, прикрепляют билет на выход к доске или сдают учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы открыли критерии чётности и нечётности, связали формулу с симметрией графика и потренировались в формате ОГЭ. На следующем уроке применим эти свойства при исследовании и построении графиков».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены виды всех функций в парной и самостоятельной работе, проверена область определения, вычисление $f(-x)$ записано без ошибок, вывод обоснован равенством и корректно использованы термины «чётная», «нечётная», «ни та ни другая».
- «4» — правильно решено большинство заданий, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на основной способ рассуждения; область определения и итоговый вывод в основном учтены.
- «3» — верно выполнено обязательное задание или две из трёх классификаций, но пропущен один этап алгоритма, требуется помощь при сравнении $f(-x)$ с $f(x)$ или $-f(x)$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг алгоритма определения чётности и нечётности нельзя пропускать? | Выявление понимания роли области определения и предупреждение типичной ошибки. |
Как по равенству $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$ различить два вида функций? | Проверка осознания ключевых определений и математической терминологии. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекционной работы. |
Насколько уверенно вы решите аналогичное задание ОГЭ: зелёный, жёлтый или красный цвет? | Получение самооценки степени готовности и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились определять чётность и нечётность функции не по внешнему виду формулы, а по строгому алгоритму. Запомните: сначала проверяем область определения, затем находим $f(-x)$ и только после этого сравниваем выражения. Типичная ошибка — увидеть квадрат или куб и сразу назвать функцию, не выполнив проверку. На следующем уроке мы используем эти свойства при построении и исследовании графиков. Уверенное решение формируется шаг за шагом, поэтому сегодняшняя ошибка — это ориентир для дальнейшей тренировки».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на определение чётности, нечётности или отсутствия этих свойств для многочленов и дробно-рациональных функций; в каждом решении указать область определения, найти $f(-x)$ и записать вывод. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на область определения, знаки при раскрытии скобок и наличие обоснованного вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания, где вид функции определяется по графику или таблице значений, и построить от руки эскиз одного графика чётной и одного графика нечётной функции. | Развивает связь алгебраического и геометрического способов; проверить правильность оси симметрии или центра симметрии. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные функции: одну чётную и одну нечётную, используя по три слагаемых, а также привести функцию общего вида; доказать классификацию и кратко объяснить выбор конструкции. | Переходит к уровню создания и аргументации; проверить симметричность области определения, корректность доказательства и отсутствие случайных утверждений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое равенство выполняется для чётной функции? Какое — для нечётной? Почему область определения должна быть симметрична относительно нуля? Какая симметрия графика соответствует каждому виду функции?»
