Решение неравенств графическим методом и методом интервалов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать линейные и квадратные неравенства графическим методом и методом интервалов, выбирать подходящий способ и получать не менее 80% верных ответов в самостоятельной работе.
- Закрепить алгоритм решения неравенств по графику функции и с помощью метода интервалов, включая расстановку нулей функции и определение знаков на промежутках.
- Научиться применять изученные способы к заданиям, близким к формату ОГЭ, проверять принадлежность найденных значений решению и объяснять выбор метода.
- Развивать умение анализировать условие, работать в паре, аргументировать решение и исправлять ошибки по заданному эталону.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной подготовке к ОГЭ, уверенность в применении алгоритмов и понимание связи алгебры с графиками, информатикой и физикой.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность умения решать неравенства для успешной подготовки к ОГЭ и дальнейшего обучения.
- Проявляет готовность спокойно анализировать ошибку и воспринимать её как источник дальнейшего действия.
- Развивает самостоятельность, ответственность за результат и уважительное отношение к мнению партнёра.
- Осознаёт значение точности математической записи при решении задач, связанных с моделированием реальных ситуаций.
Метапредметные
- Ученик извлекает информацию из формулы, графика и числовой прямой, преобразует её в математическую запись.
- Планирует последовательность решения, сверяет результат с эталоном и корректирует обнаруженные ошибки.
- Сотрудничает в паре: распределяет действия, задаёт уточняющие вопросы и аргументирует выбранный способ.
- Использует цифровой графический инструмент для построения графика и проверки гипотезы.
- Переносит алгоритм на задания практического и экзаменационного формата.
Предметные
- Знать смысл решения неравенства как множества значений переменной, при которых неравенство истинно.
- Уметь решать неравенства графически по расположению графика функции относительно оси абсцисс.
- Уметь применять метод интервалов: находить нули функции, отмечать их на числовой прямой, определять знаки на промежутках и учитывать строгий или нестрогий знак.
- Уметь записывать ответ в виде промежутка или объединения промежутков и проверять граничные точки.
- Владеть навыком выбора способа решения и объяснения каждого шага в заданиях, близких к формату ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную цель с личной задачей подготовки к ОГЭ и дальнейшему профессиональному обучению.
- Проявляют настойчивость при решении задания, содержащего несколько последовательных действий.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
- Соблюдают математическую аккуратность и принимают необходимость проверки результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения в способе решения неравенства.
- Планируют решение по алгоритму: преобразование, нули функции, интервалы, знаки, запись ответа.
- Контролируют правильность выбора знаков и включения граничных точек.
- Сверяют решение с графиком или эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат самостоятельной работы по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Сравнивают графический метод и метод интервалов по условию применимости и последовательности действий.
- Выделяют нули функции и используют их как границы промежутков знакопостоянства.
- Строят математическую модель неравенства в виде утверждения о знаке функции.
- Работают с графиком, таблицей знаков и числовой прямой как с разными моделями одной задачи.
- Проверяют гипотезу подстановкой контрольного значения из выбранного промежутка.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один выполняет преобразования, другой контролирует алгоритм.
- Формулируют полный устный комментарий к расстановке знаков на промежутках.
- Задают вопросы по шагам решения и корректно указывают на ошибку партнёра.
- Аргументируют выбор графического метода или метода интервалов.
- Представляют классу решение и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным примером, алгоритмом метода интервалов, изображениями парабол и заданиями экзаменационного типа.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, ноутбук и графический сервис для построения графиков; заранее проверить открытие страниц и работу мыши.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, в комплекте три неравенства и таблица для записи шагов.
- Распечатать индивидуальные карточки самостоятельной работы трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить листы самооценки со строками «нули функции», «знаки на интервалах», «граничные точки», «запись ответа».
- Вывести на доску памятку: «1. Привести к виду $f(x)\,\square\,0$. 2. Найти нули. 3. Отметить точки. 4. Определить знаки. 5. Записать ответ».
- Подготовить цветные маркеры, стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета, линейки и заготовки числовых прямых.
- Подготовить карточку с межпредметным контекстом: зависимость высоты тела от времени и вопрос о промежутке, когда значение функции положительно.
- Освободить безопасное пространство у доски и подготовить короткую физкультминутку без оборудования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу, обозначить связь темы с заданиями ОГЭ и снять тревожность перед новым способом решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два задания: «Решите $x^2-5x+6>0$» и график параболы. Реплика: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а тренировать способ, который помогает быстро решать задания ОГЭ. Посмотрите на экран: одно и то же неравенство можно увидеть как выражение и как график. Наша задача — научиться выбирать удобный маршрут и не терять баллы из-за одной неверно отмеченной точки." | Ученики готовят тетради, читают оба представления задания, формулируют предположение: «График может показать, где функция положительна». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает вашу готовность: зелёный — уверенно решаю квадратные неравенства, жёлтый — помню отдельные шаги, красный — нужна опора. Любой цвет нормален: сегодня мы будем переходить от затруднения к алгоритму." Фиксирует на доске цель: «Найти множество решений неравенства и обосновать ответ». | Ученики показывают карточку, записывают тему и цель урока, называют личную задачу: «научиться не путать знаки», «правильно включать корни», «быстрее решать задания ОГЭ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что у задачи есть формульная и графическая стороны. Сейчас проверим, какие опорные знания уже готовы помочь нам, а затем найдём шаг, который требует уточнения."
Этап 2. Актуализация знаний и парная разминка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства знака функции, решение квадратного уравнения и чтение графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточку и говорит: "Работаем приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала 30 секунд каждый решает самостоятельно, затем одна минута на сверку. Определите корни уравнения $x^2-5x+6=0$, назовите координаты пересечения параболы с осью $Ox$ и ответьте, где выражение положительно." | Ученики находят корни $x_1=2$, $x_2=3$, обсуждают в паре и записывают: «Парабола направлена вверх, выражение положительно при $x<2$ и $x>3$». |
2 мин | Учитель показывает три фрагмента графиков и спрашивает: "Что означает точка пересечения графика с осью абсцисс? Как по графику понять знак функции? Чем отличаются открытая и закрытая точка в ответе?" При необходимости подводит вопросами: "Если график выше оси, какое условие выполняется?" | Ученики подписывают на карточке «нуль функции», «$f(x)>0$», «$f(x)<0$», отвечают: «Выше оси — функция положительна, ниже — отрицательна; при строгом неравенстве корни не включаются». |
2 мин | Учитель предлагает быстро проверить утверждения: «Если $f(x)\geq0$, берём участки выше оси и точки пересечения. Если коэффициент при $x^2$ отрицателен, парабола направлена вверх. Метод интервалов начинается с расстановки корней на прямой». Просит поднять зелёную карточку для верного утверждения и жёлтую для неверного. | Ученики отмечают первое и третье утверждения как верные, второе — как неверное, исправляют его: «При отрицательном коэффициенте парабола направлена вниз». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Корни и положение графика относительно оси мы вспомнили. Теперь разберёмся, как действовать, если график не задан и знак функции нужно восстановить по нескольким коротким шагам."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость метода интервалов и совместно сформулировать алгоритм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске неравенство $x^2-7x+10\leq0$ и обращается к классу: "Попробуйте решить его без построения точного графика. Корни найти можно, но какой знак будет на каждом промежутке? Достаточно ли просто записать корни? Где возникло затруднение?" Учитель фиксирует ответы в облаке «не знаю знак на промежутке», «не помню, какую точку проверять». | Ученики индивидуально находят корни $2$ и $5$, затем называют затруднение: «Нужно определить знак выражения слева и правильно включить корни». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как по двум нулям функции восстановить знак на всей числовой прямой? Сформулируйте план, который позволит решить неравенство без угадывания." После ответов записывает план и объявляет: "Сегодня мы проверим этот алгоритм на нескольких задачах и сравним его с графическим методом." | Ученики предлагают шаги: «найти корни, разделить прямую на интервалы, взять контрольные точки, определить знаки, выбрать подходящие промежутки». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы точно знаем, где находятся границы, но нам нужен надёжный способ определить знаки между ними. Переходим к открытию метода интервалов и сразу применим его к задаче."
Этап 4. Открытие нового знания: графический метод и метод интервалов (10 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритмы двух методов через решение конкретных неравенств и сравнение способов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран график $y=x^2-7x+10$ и говорит: "Сначала решим графически. График пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами 2 и 5. Нам нужно $y\leq0$, поэтому выбираем часть параболы, расположенную ниже оси, и сами точки пересечения. Ответ записываем $[2;5]$. Обратите внимание: квадратные скобки появились из-за знака «меньше или равно»." | Ученики по графику выделяют участок между корнями, записывают решение $x\in[2;5]$, объясняют включение точек. |
4 мин | Учитель демонстрирует метод интервалов: "Записываем функцию $f(x)=x^2-7x+10$. Нули: $x_1=2$, $x_2=5$. Отмечаем их на прямой. Так как старший коэффициент положительный, справа от правого корня знак плюс. При переходе через простой корень знак меняется, поэтому получаем «плюс, минус, плюс». Для условия $f(x)\leq0$ выбираем отрицательный промежуток и добавляем корни." | Ученики чертят числовую прямую, ставят 2 и 5, подписывают знаки «+ − +», обводят промежуток $[2;5]$, проговаривают алгоритм вслух в парах. |
3 мин | Учитель показывает на экране второе неравенство $-(x-1)(x+4)>0$ и спрашивает: "Какой способ будет быстрее? Назовите нули. Какой знак получим справа от большего корня? Почему?" Затем уточняет: "Знак «строго больше» означает, что корни включаются или нет?" | Ученики называют корни $-4$ и $1$, учитывают отрицательный старший коэффициент, составляют знаки «− + −», выбирают промежуток $(-4;1)$ и объясняют, что корни не включаются. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Графический метод: при $f(x)>0$ выбираем участки графика выше оси $Ox$, при $f(x)<0$ — ниже; при нестрогом неравенстве включаем точки пересечения. Метод интервалов: привести выражение к виду $f(x)\,\square\,0$, найти нули, отметить их на прямой, определить знаки на интервалах, выбрать подходящие интервалы и учесть граничные точки».
Эталон решения
Для $x^2-7x+10\leq0$: $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$; нули $2$ и $5$. На интервалах $(-\infty;2)$, $(2;5)$, $(5;+\infty)$ знаки соответственно «+», «−», «+». Подходят отрицательные значения и нули, поэтому $x\in[2;5]$. Для $-(x-1)(x+4)>0$ нули $-4$ и $1$, знаки «−», «+», «−», строгий знак исключает корни: $x\in(-4;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "График сразу показывает нужную область, а метод интервалов позволяет восстановить знак по нулям и контрольным промежуткам. Сейчас вы примените оба способа в паре и научитесь объяснять не только ответ, но и его получение."
Этап 5. Физкультминутка и переключение внимания (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение после объяснения и восстановить работоспособность перед серией практических заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Выполним короткую физкультминутку «Числовая прямая». Если я называю «плюс», поднимаем руки вверх; если «минус» — наклоняем их вниз; если «ноль» — соединяем ладони перед собой. Затем потянемся вправо и влево, как будто отмечаем границы промежутка. Последняя команда: покажите руками, включены ли корни при знаке «меньше или равно»." | Ученики выполняют движения по командам, показывают включение корней сомкнутыми ладонями, делают два спокойных наклона и возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и готовы проверить алгоритм на разных формах записи. Работая в парах, обязательно проговаривайте, почему выбран именно этот промежуток."
Этап 6. Первичное закрепление: парная практика и ИКТ-проверка (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на практических заданиях, сопоставить результат вычислений с графической моделью и развивать навыки сотрудничества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки парам: «Решите два неравенства методом интервалов, а третье проверьте графически: 1) $(x-3)(x+2)>0$; 2) $x^2-4x-5\leq0$; 3) $x^2-9<0$. Один ученик отвечает за вычисления, второй — за числовую прямую и контроль знаков; затем поменяйтесь ролями. На экране остаётся памятка из пяти шагов." | Ученики находят корни, чертят числовые прямые, составляют знаки и записывают ответы: $(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$; $[-1;5]$; $(-3;3)$. Проверяют третье неравенство по графику параболы. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте четыре позиции: корни, порядок точек, знаки на интервалах, скобки в ответе. Приём называется «Две звезды и пожелание»: отметьте два верных шага и напишите одно конкретное исправление, если оно нужно." | Ученики сверяют решения по эталону на экране, отмечают верные шаги, формулируют пожелание: «Проверь знак справа от большего корня» или «При строгом неравенстве используй круглые скобки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что ошибка чаще всего возникает не при нахождении корней, а при переходе от знаков к ответу. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно выполняет весь алгоритм."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение способов решения и сформировать навык самоконтроля в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и говорит: "Выберите уровень по готовности: обязательный, повышающий или дополнительный. Работайте самостоятельно, записывайте не только ответ, но и ключевые шаги. Если сомневаетесь, пользуйтесь памяткой, но не подсматривайте решение соседа." | Ученики выбирают карточку, записывают фамилию и начинают работу, отмечая выбранный уровень. |
5 мин | Учитель предлагает задания обязательного уровня: «Решите $x^2-6x+8\geq0$ методом интервалов и $x^2-16<0$ графически». Для повышенного уровня добавляется $-(x-2)(x+3)\leq0$. Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы: "Какой шаг выполняете сейчас? Почему точка включается?" | Ученики решают индивидуально: для первого задания находят корни 2 и 4, определяют знаки и записывают $(-\infty;2]\cup[4;+\infty)$; для второго получают $(-4;4)$; для повышенного задания выделяют $(-\infty;-3]\cup[2;+\infty)$. |
2 мин | Учитель открывает эталон и говорит: "Проверьте решение по шагам, а не только по последней строке. За каждый верный элемент поставьте себе отметку: корни, знаки, выбор промежутка, скобки. Ошибку не стирайте сразу — подчеркните место, где произошёл сбой." | Ученики выполняют самопроверку, исправляют ошибки другим цветом и заполняют мини-лист: «умею самостоятельно», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Эталон решения
Для $x^2-6x+8\geq0$: $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$; нули 2 и 4; знаки «+ − +»; при $geq0$ выбираем внешние промежутки и включаем корни: $x\in(-\infty;2]\cup[4;+\infty)$. Для $x^2-16<0$: нули $-4$ и $4$, парабола направлена вверх, ниже оси находится промежуток между корнями, поэтому $x\in(-4;4)$. Для $-(x-2)(x+3)\leq0$: нули $-3$ и $2$, знаки «− + −», выбираем внешние промежутки и включаем нули: $x\in(-\infty;-3]\cup[2;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. Осталось увидеть, как неравенство возникает в другой области и почему умение читать знак функции полезно не только на уроке алгебры."
Этап 8. Межпредметное применение и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: перенести алгоритм на физический контекст и осмыслить степень достижения цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: «Высота тела над землёй описывается формулой $h(t)=-5t^2+20t$, где $t$ — время в секундах. В какой промежуток времени тело находится выше 15 м?» Учитель спрашивает: "Какое неравенство составим? Какие физические значения времени выберем из математического ответа?" | Ученики составляют $-5t^2+20t>15$, преобразуют к $t^2-4t+3<0$, находят корни 1 и 3, записывают $t\in(1;3)$ и уточняют: «Время берём неотрицательное, ответ уже удовлетворяет этому условию». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Закончите три фразы: «Сегодня я научился…», «Моя типичная ошибка…», «Перед ОГЭ мне нужно потренировать…». Затем покажите светофор понимания." | Ученики записывают три фразы, показывают цвет, называют один конкретный шаг алгоритма, который выполняют уверенно, и один шаг для повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили неравенство к движению тела и увидели, что математический ответ нужно дополнительно осмыслить в контексте. Завершаем урок фиксацией результата и заданиями для самостоятельной тренировки."
Этап 9. Итог урока и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: в рамках заключительных минут урока обозначить результат, критерии дальнейшей работы и домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Сегодня вы освоили два способа. В домашней работе обязательно прописывайте нули, знаки и скобки. Выберите уровень по результату самостоятельной работы; цель — не просто получить ответ, а уметь защитить каждый шаг." | Ученики записывают уровень домашней работы, задают уточняющие вопросы и сдают листы самооценки при выходе. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены оба обязательных задания и дополнительное задание выбранного уровня; правильно найдены корни, определены знаки, учтены граничные точки, решение записано с обоснованием.
- «4» — верно решены два задания из трёх либо допущена одна вычислительная неточность, не повлиявшая на понимание алгоритма; способ решения и большинство скобок выбраны правильно.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно обязательное задание, корни найдены или алгоритм начат правильно, но есть ошибки в знаках, выборе промежутка или включении границ.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем повторяет расстановку нулей и проверяет знак на одном контрольном значении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи графика и решения неравенства? | Выявление осознания смысла выбора участков графика относительно оси абсцисс. |
Какой шаг метода интервалов сейчас наиболее сложен: поиск корней, знаки, выбор промежутка или скобки? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме решения. |
Почему в ответе на $x^2-16<0$ используются круглые скобки? | Проверка понимания связи строгого знака и включения граничных точек. |
Какой уровень домашнего задания поможет вам подготовиться к ОГЭ без перегрузки? | Формирование адекватной самооценки и индивидуализация дальнейшей практики. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть решение неравенства двумя способами: по графику и по знакам на интервалах. Самая частая ошибка — правильно найти корни, но неверно выбрать промежуток или забыть про круглые и квадратные скобки. Проверяйте себя контрольной точкой и смыслом знака функции. Выберите домашний уровень честно: его задача не наказать, а дать нужное количество практики. На следующем уроке мы продолжим решать задания с произведением и дробно-рациональными выражениями и потренируем скорость, необходимую на ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных неравенства методом интервалов: два с двумя корнями и два с вынесенным отрицательным множителем. Для каждого записать нули, знаки на промежутках и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на расстановку корней, чередование знаков и правильность скобок. |
Средний (повышающий) | Решить 5 неравенств, из которых два рациональных или произведения множителей, и построить эскиз графика для одного выбранного задания. Сравнить два способа в двух-трёх предложениях. | Развивает выбор метода и перенос алгоритма на более сложную запись; проверять обоснование и соответствие графика ответу. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственное неравенство, имеющее решение $(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$, а также решить практическую задачу, где знак квадратной функции описывает допустимый промежуток времени или высоты. | Формирует навык создания математической модели и интерпретации ответа; проверять корректность составленного выражения и смысл ограничений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Каковы пять шагов метода интервалов? Когда корни включаются в ответ? Что показывает участок графика выше оси $Ox$? Как проверить знак на выбранном промежутке? Какой способ вы выберете для задания, где график уже изображён?»
