Алгоритм исследования функции. Примеры исследования функций
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять алгоритм исследования функции на примере квадратичной функции и рациональной функции, определять область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности и строить схематичный график с точностью не менее 80% выполнения заданий.
- Сформировать представление о последовательности исследования функции и показать связь отдельных характеристик функции с видом её графика.
- Научиться анализировать формулу функции, находить область определения, нули функции и промежутки знакопостоянства.
- Научиться определять промежутки возрастания и убывания квадратичной функции по координатам вершины и направлению ветвей параболы.
- Развивать умение оформлять решение в экзаменационном формате, проверять результат и корректировать типичные ошибки; поддерживать уверенность при подготовке к ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритма исследования функции для решения заданий ОГЭ и дальнейшего изучения математики.
- Формируют ответственное отношение к точности записи области определения, промежутков и координат точек.
- Снижают тревожность перед экзаменом через освоение понятного пошагового алгоритма.
- Развивают готовность самостоятельно проверять решение и принимать учебную ошибку как источник коррекции.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из формулы, таблицы знаков и графического изображения.
- Планируют решение по заданному алгоритму и контролируют последовательность выполненных действий.
- Сравнивают аналитическое и графическое представления функции, устанавливают причинно-следственные связи.
- Аргументируют ответ в паре и используют математическую терминологию при обсуждении.
- Применяют навыки самопроверки по эталону и фиксируют собственное затруднение.
Предметные
- Знать основные этапы исследования функции: область определения, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы и построение графика.
- Уметь находить область определения и нули квадратичной функции.
- Уметь определять промежутки знакопостоянства квадратичной функции по корням и направлению ветвей.
- Уметь находить вершину параболы и указывать промежутки возрастания и убывания.
- Владеть навыком оформления краткого исследования функции и построения её схематичного графика.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения исследования функций как инструмента решения практических и экзаменационных задач.
- Проявляют готовность доводить решение до полного ответа, а не ограничиваться вычислением отдельных элементов.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
- Формируют спокойное отношение к проверке и исправлению ошибок.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют последовательность действий при исследовании функции.
- Контролируют наличие каждого пункта алгоритма в записи решения.
- Сверяют промежуточные результаты с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции по её формуле.
- Устанавливают связь между корнями квадратного уравнения и нулями функции.
- Моделируют исследование в виде таблицы или краткой схемы.
- Анализируют график и делают выводы о знаках и монотонности функции.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ партнёру, используя термины «область определения», «нули», «возрастает», «убывает».
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий и способе проверки.
- Согласовывают решение в паре и аргументируют выбранный вариант.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным вопросом, алгоритмом исследования функции и двумя графиками парабол.
- Распечатать карточки для парной работы с функциями $y=x^2-4x+3$ и $y=-x^2+2x+3$ — по одной карточке на парту.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить листы с эталоном исследования для самопроверки — по одному на ученика или один экранный вариант.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на ученика для приёма «Светофор».
- Вывести на доску памятку: 1) область определения; 2) нули; 3) знакопостоянство; 4) вершина и монотонность; 5) график.
- Подготовить линейки, карандаши и координатные сетки для схематичного построения графиков.
- Организовать таймер на 3 минуты для актуализации и на 6 минут для самостоятельной работы.
- Заранее записать на отдельном листе решения заданий для быстрой проверки: корни, вершины и промежутки знакопостоянства.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую значимость алгоритма исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карандаша. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение действовать по плану. На доске записана функция $y=x^2-4x+3$." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, рассматривают функцию на доске. |
2 мин | Учитель показывает на экране два схематичных графика и говорит: "Представьте, что в задании ОГЭ дана формула функции и требуется выбрать верное утверждение о её графике. Что нужно уметь находить, чтобы не угадывать по рисунку? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь формулировкой. Этот приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально называют возможные характеристики, обсуждают их в парах и формулируют ответы: "Нужно найти нули, вершину, направление ветвей и промежутки возрастания и убывания". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не будем угадывать свойства графика. Мы выстроим единый алгоритм исследования функции и проверим его на конкретных примерах, в том числе в формате, близком к заданиям ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о квадратном уравнении, параболе и координатах вершины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $y=x^2-4x+3$ и $y=-x^2+2x+3$: "Назовите вид этих функций. Как связаны нули функции и корни соответствующего уравнения? Вспомните, что означает знак коэффициента $a$ в квадратичной функции." | Отвечают: "Это квадратичные функции"; "Нули находятся из уравнения $f(x)=0$"; "При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз". |
3 мин | Учитель предлагает мини-задание с таймером: "Для первой функции быстро найдите дискриминант, корни и координаты вершины. Для второй назовите только направление ветвей и координату оси симметрии. Запишите вычисления, а затем сверим ответы устно." | Выполняют вычисления: для $y=x^2-4x+3$ получают корни $1$ и $3$, вершину $(2;-1)$; для $y=-x^2+2x+3$ называют ветви вниз и ось симметрии $x=1$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Нули функции — значения аргумента, при которых $f(x)=0$. Для $y=ax^2+bx+c$ ось симметрии имеет уравнение $x=-\frac{b}{2a}$, а абсцисса вершины равна $x_0=-\frac{b}{2a}$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили инструменты, которые понадобятся для исследования. Но пока мы выполняли действия разрозненно. Теперь определим, в каком порядке их нужно выполнять, чтобы получить полную характеристику функции."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать последовательность исследования функции и критерии успешного результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет незавершённую схему: «область определения → ... → ... → график» и обращается к классу: "Можно ли назвать исследование полным, если мы нашли только корни? Какие вопросы о функции останутся без ответа? Составьте в парах полный список характеристик." | Обсуждают в парах и называют: область определения, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремум, график. |
2 мин | Учитель фиксирует предложения на доске: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Что должно быть в вашей тетради к концу урока, чтобы решение можно было проверить по пунктам?" Учитель уточняет: "Какой пункт особенно часто пропускают в заданиях ОГЭ?" | Формулируют цель: "Научиться исследовать функцию по алгоритму и строить её график". Предполагают: "Часто забывают область определения или промежутки знакопостоянства". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили не только тему, но и ожидаемый результат: к концу урока каждый сможет пройти все пункты алгоритма и объяснить, откуда взялся каждый вывод. Переходим к открытию и применению этого алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания и разбор примера (10 мин)
Цель этапа: освоить алгоритм исследования квадратичной функции на полном примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран памятку: "Запишите алгоритм: 1) область определения; 2) нули функции; 3) промежутки знакопостоянства; 4) вершина и направление ветвей; 5) промежутки возрастания и убывания; 6) схематичный график. Сейчас исследуем функцию $y=x^2-4x+3$ строго по этим пунктам. Не перескакивайте через шаги." | Записывают алгоритм в тетрадь, ставят номера пунктов и готовят координатную сетку. |
4 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Область определения квадратичной функции — все действительные числа. Чтобы найти нули, приравняем функцию к нулю: $x^2-4x+3=0$. Какие корни получаем? Между корнями знак выражения меняется. Какой знак будет между ними, если ветви параболы направлены вверх? Найдите вершину и назовите промежутки монотонности." | Отвечают: "$D(f)=\mathbb{R}$"; "$x_1=1$, $x_2=3$"; "На промежутке $(1;3)$ функция отрицательна, вне этого промежутка положительна"; "Вершина $(2;-1)$, функция убывает на $(-\infty;2)$ и возрастает на $(2;+\infty)$". |
3 мин | Учитель строит на доске график и комментирует: "Отметим точки пересечения с осью $Ox$: $(1;0)$ и $(3;0)$, вершину $(2;-1)$ и точку $(0;3)$. Соединяем их плавной параболой с ветвями вверх. Проверьте по графику каждый вывод: где функция отрицательна, где убывает и где возрастает?" | Отмечают точки на координатной плоскости, строят схематичную параболу, сверяют знаки и монотонность с графиком. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают краткое исследование: $D(f)=\mathbb{R}$; нули: $x_1=1$, $x_2=3$; $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$; $f(x)<0$ при $x\in(1;3)$; вершина $(2;-1)$; функция убывает на $(-\infty;2)$ и возрастает на $(2;+\infty)$.
Эталон решения
$y=x^2-4x+3$. 1) $D(f)=\mathbb{R}$. 2) Нули: $x^2-4x+3=0$, $(x-1)(x-3)=0$, поэтому $x_1=1$, $x_2=3$. 3) Так как $a=1>0$, выражение положительно вне корней и отрицательно между ними: $f(x)>0$ на $(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$, $f(x)<0$ на $(1;3)$. 4) $x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2$, $y_0=2^2-4\cdot2+3=-1$, вершина $(2;-1)$. 5) Парабола направлена вверх, поэтому функция убывает на $(-\infty;2)$ и возрастает на $(2;+\infty)$. 6) Строим параболу по корням, вершине и дополнительной точке $(0;3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили полное исследование не благодаря одному вычислению, а благодаря последовательности действий. Сейчас вы примените те же шаги к другой функции и проверите, что алгоритм работает независимо от направления ветвей параболы."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм исследования на функции с ветвями, направленными вниз, и развить умение аргументировать выводы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки на парту: "Исследуйте функцию $y=-x^2+2x+3$ по шести пунктам алгоритма. Распределите роли: один ученик выполняет вычисления, второй контролирует наличие всех пунктов и формулировок. Через пять минут поменяйтесь ролями при проверке." | Получают карточки, распределяют роли и записывают в тетрадях пункты алгоритма. |
4 мин | Учитель наблюдает за парами и задаёт вопросы: "Как вы нашли нули? Почему знак функции между корнями положительный? Как по вершине определить промежутки возрастания и убывания? Не забудьте указать область определения и построить эскиз графика." | В парах находят корни $-1$ и $3$, вершину $(1;4)$, определяют $f(x)>0$ на $(-1;3)$, $f(x)<0$ на $(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$, функцию возрастающей на $(-\infty;1)$ и убывающей на $(1;+\infty)$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по памятке: "Обменяйтесь тетрадями. Поставьте плюс напротив каждого правильно выполненного пункта и кружок около места, которое требует исправления. Используем правило «Две звезды и пожелание»: назовите два сильных места и один конкретный совет." | Проверяют работу партнёра по шести пунктам, формулируют две положительные оценки и один совет, исправляют найденную неточность. |
Эталон решения
Для $y=-x^2+2x+3$: $D(f)=\mathbb{R}$. Нули находятся из $-x^2+2x+3=0$, или $x^2-2x-3=0$, поэтому $x_1=-1$, $x_2=3$. Так как $a<0$, функция отрицательна на $(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$ и положительна на $(-1;3)$. Абсцисса вершины $x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1$, $y_0=-1+2+3=4$, вершина $(1;4)$. Функция возрастает на $(-\infty;1)$ и убывает на $(1;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверка показала, что направление ветвей меняет знаки и порядок монотонности, но не меняет сам алгоритм. Теперь каждый выполнит исследование самостоятельно, чтобы понять, какие пункты уже получается выполнять без поддержки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма и выявить затруднения перед итоговой рефлексией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания: "Выполните исследование функции $y=x^2+2x-3$ по пунктам 1–5. График можно выполнить схематично. Базовый вариант — полностью пройти алгоритм; тем, кто закончит раньше, предлагается сравнить полученный график с графиком $y=(x+1)^2-4$. Работайте молча, время — шесть минут." | Индивидуально находят $D(f)=\mathbb{R}$, нули $-3$ и $1$, вершину $(-1;-4)$, определяют знаки и монотонность, строят схематичный график. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте не только ответ, но и оформление. Отметьте галочкой правильные пункты, знаком вопроса — пункт, который нужно разобрать. Если ошибка есть, сначала найдите её самостоятельно, а затем обратитесь за уточнением." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают затруднение условным знаком. |
Эталон решения
$y=x^2+2x-3$. $D(f)=\mathbb{R}$. Нули: $x^2+2x-3=0$, $(x+3)(x-1)=0$, поэтому $x_1=-3$, $x_2=1$. Так как $a>0$, $f(x)>0$ на $(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$ и $f(x)<0$ на $(-3;1)$. Абсцисса вершины $x_0=-\frac{2}{2}=-1$, ордината $y_0=1-2-3=-4$, вершина $(-1;-4)$. Функция убывает на $(-\infty;-1)$ и возрастает на $(-1;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять к новой функции. Обратите внимание: самая частая ошибка — назвать нули, но не указать промежутки знакопостоянства или перепутать порядок промежутков монотонности. Закрепим сейчас, как распознавать и предупреждать такие ошибки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить уровень освоения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно исследовать квадратичную функцию; жёлтую — если нужна подсказка по одному пункту; красную — если пока не можете начать. Теперь назовите пункт, который требует повторения, не называя фамилий и не сравнивая себя с другими." | Поднимают карточки, называют конкретные затруднения: "нахождение вершины", "определение знаков на промежутках", "запись промежутков возрастания". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Назовите первый пункт алгоритма. Почему нули функции находят через уравнение $f(x)=0$? Как направление ветвей влияет на знакопостоянство? Что показывает вершина параболы?" | Отвечают: "Сначала находим область определения"; "нули — значения $x$, при которых график пересекает ось $Ox$"; "при ветвях вверх функция положительна вне корней, при ветвях вниз — между корнями"; "вершина помогает определить экстремум и промежутки монотонности". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своей готовности. Обязательный уровень выполняют все; повышающий помогает закрепить формат ОГЭ; дополнительный предназначен для тех, кто хочет проверить себя на более сложном примере. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос на листочке: «Какой пункт алгоритма нельзя пропускать даже при построении графика?»" | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольный вопрос: "Нельзя пропускать область определения, нули и анализ знаков; полный ответ требует всех пунктов алгоритма". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы получили универсальный маршрут исследования функции: от области определения и нулей к знакам, вершине, монотонности и графику. Если действовать по пунктам, задание перестаёт быть набором разрозненных вычислений. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к более сложным функциям и заданиям, где свойства нужно считывать с графика."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью выполнено исследование функции: правильно указаны область определения, нули, промежутки знакопостоянства, вершина, промежутки монотонности и схематичный график; вычисления и запись промежутков корректны.
- «4» — выполнены все основные пункты, но допущена одна неточность в вычислении, оформлении графика или записи одного промежутка, не повлиявшая на общий ход исследования.
- «3» — правильно выполнены не менее трёх пунктов алгоритма, но допущены ошибки при определении знакопостоянства, вершины или монотонности; ход решения частично понятен.
- Ниже «3» — пропущены большинство пунктов алгоритма либо отсутствует обоснование полученных выводов; требуется повторная работа по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой пункт алгоритма исследования функции вы теперь выполняете уверенно? | Выявление освоенных действий и фиксация личного прогресса. |
На каком шаге возникло затруднение: при нахождении корней, знаков, вершины или промежутков монотонности? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекционной работы. |
Почему нельзя ограничиться только нахождением нулей функции? | Проверка понимания целостности исследования и связи аналитических характеристик с графиком. |
Что вы сделаете первым, если в задании ОГЭ встретится новая функция? | Проверка сформированности регулятивного навыка применения алгоритма. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы построили полный алгоритм исследования функции и проверили его на нескольких квадратичных функциях. Главное — не перепутать нули функции с промежутками знакопостоянства и не забыть, что направление ветвей влияет на знак выражения. Если вы последовательно проходите все пункты, то даже незнакомое задание ОГЭ становится понятной цепочкой действий. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем больше работать с графическим представлением."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить исследование двух квадратичных функций: для каждой указать область определения, нули, промежутки знакопостоянства, вершину, промежутки возрастания и убывания, затем построить схематичный график. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность корней, знаков и записи промежутков. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания в формате ОГЭ на определение свойств квадратичной функции по формуле или графику; для каждого кратко обосновать выбранный ответ. | Тренирует чтение графика и перенос алгоритма в экзаменационный формат; проверить соответствие ответа формуле и направлению ветвей. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать функцию $y=\frac{x-2}{x+1}$ по доступным пунктам: область определения, нули, знакопостоянство и поведение на промежутках, затем описать отличие её графика от параболы. | Развивает умение переносить известный алгоритм на рациональную функцию; при проверке обратить внимание на исключённое значение $x=-1$ и знаки числителя и знаменателя. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют нулём функции? Как определить область определения квадратичной функции? Как направление ветвей параболы влияет на знакопостоянство? По какой формуле находят абсциссу вершины? Какие два промежутка указывают при описании монотонности функции?»
