Приближённые вычисления и правила округления
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться округлять натуральные и десятичные числа до заданного разряда, записывать результат с помощью знака приближённого равенства и применять правило округления при решении учебных и практических задач с точностью не менее 80%.
- Образовательная задача: сформулировать и применить правило округления чисел до указанного разряда.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись числа, выделять значащую цифру и выбирать способ приближённого вычисления.
- Метапредметная задача: учиться моделировать алгоритм округления в виде схемы и проверять результат по условию задачи.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений и уверенность при выполнении заданий, аналогичных заданиям ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность точных и приближённых вычислений при работе с измерениями, деньгами и данными.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять её без отказа от выполнения задания.
- Понимают, что владение базовым алгоритмом округления снижает тревожность при решении заданий ОГЭ.
- Проявляют ответственное отношение к записи ответа и указанию требуемой точности.
Метапредметные
- Извлекают из условия задачи информацию о разряде, до которого требуется округлить число.
- Строят и используют модель алгоритма округления в виде последовательности действий.
- Сравнивают точное и приближённое значения, формулируют вывод о влиянии округления на результат.
- Работают в паре, аргументируют выбор цифры и осуществляют взаимопроверку по критериям.
- Применяют навык к практическому контексту и к заданиям, близким к формату ОГЭ.
Предметные
- Знать правило округления натуральных и десятичных чисел.
- Уметь определять сохраняемый разряд и следующую за ним цифру.
- Уметь округлять числа до единиц, десятков, сотен, десятых и сотых.
- Уметь записывать приближённое значение с использованием знака $\approx$ и объяснять полученный результат.
- Владеть алгоритмом самопроверки округления и применять его в текстовых задачах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучаемого алгоритма для повседневных вычислений и экзаменационной подготовки.
- Формируют положительную учебную мотивацию через достижение проверяемого результата.
- Оценивают собственную готовность применять правило округления самостоятельно.
- Принимают ситуацию ошибки как возможность уточнить способ действия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы по условию задания и определяют требуемый разряд округления.
- Планируют действия по алгоритму: найти разряд, посмотреть на следующую цифру, изменить или сохранить цифру.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по модели алгоритма.
- Сравнивают ответ с эталоном, находят причину ошибки и корректируют запись.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют значимую информацию в записи десятичного числа и в тексте задачи.
- Классифицируют примеры по разряду округления и по значению следующей цифры.
- Моделируют правило округления с помощью блок-схемы или пошаговой схемы.
- Анализируют ошибочные решения и устанавливают, на каком шаге нарушен алгоритм.
- Переносят алгоритм на новый практический контекст.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в парах и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о сохраняемом разряде и следующей цифре.
- Аргументируют ответ фразой: «Округляем до ..., следующая цифра ..., поэтому ...».
- Осуществляют взаимопроверку по критериям без подмены проверки исправлением работы товарища.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с числами $17{,}386$, $0{,}947$, $1256{,}49$ и заданиями на округление до указанного разряда.
- Составить наглядную модель алгоритма: «Определи разряд — подчеркни сохраняемую цифру — посмотри на следующую цифру — оставь или увеличь — отбрось остальные цифры».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для парной работы — по одной карточке на пару.
- Подготовить лист самооценки с четырьмя утверждениями «Я могу...», по одному на каждого ученика.
- Подготовить таблицу критериев взаимопроверки и вывести её на доску.
- Организовать опору на учебник: заранее выбрать фрагмент с определением приближённого значения и правилом округления, без привязки к номеру страницы.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для демонстрации схемы и практической задачи; при отсутствии оборудования использовать записи на доске.
- Разместить на доске памятку: если следующая цифра $0,1,2,3,4$ — сохраняем цифру; если $5,6,7,8,9$ — увеличиваем её на единицу.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для быстрой обратной связи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость округления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится внимательность к каждой цифре, потому что одна цифра может изменить ответ. Покажите зелёную карточку, если готовы работать, и жёлтую, если вам нужно ещё несколько секунд." | Проверяют принадлежности, поднимают карточку выбранного цвета, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске запись: «Стоимость покупки — 1 997,6 рубля. В чеке указано примерно 2 000 рублей». Учитель спрашивает: "Почему в одном случае записано точное число, а в другом — приближённое? Всегда ли приближённое значение означает ошибку? Где такая запись может быть удобнее?" | Обсуждают ситуацию, высказывают предположения: «Число заменили более простым», «приближённое значение достаточно для быстрой оценки», «важно знать, до какого разряда округлили». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы выясним, как получать приближённое значение по понятному правилу, как не потерять нужную точность и как проверять себя. Этот навык встречается и в практических расчётах, и в заданиях ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о разрядах числа и десятичной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает число $47{,}386$ и говорит: "Назовите по очереди цифру единиц, десятых, сотых и тысячных. Не называйте всё число — нам важно увидеть место каждой цифры. Какая цифра стоит непосредственно справа от сотых?" | Отвечают: «4 — единицы, 3 — десятые, 8 — сотые, 6 — тысячные; справа от сотых стоит 6». |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Самостоятельно определите, до какого разряда записано каждое число: $25$, $25{,}4$, $25{,}40$, $25{,}406$. Затем сравните ответы с соседом и объясните, какую информацию добавляют цифры после запятой." | Сначала записывают ответы индивидуально, затем обсуждают в парах и формулируют вывод: «Каждая позиция после запятой соответствует своему разряду; нули справа после запятой могут сохранять указание на точность записи». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что для округления нужно точно видеть разряды числа. Теперь проверим, что происходит, когда требуется заменить точное число более короткой записью."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемное задание: "Попробуйте без правила округлить число $63{,}749$ до десятых. Запишите ответ и объясните, почему выбрали именно его. Теперь сравните варианты: $63{,}7$, $63{,}8$, $64$. Как определить единственный правильный ответ?" | Записывают возможные ответы, обсуждают их в парах, обнаруживают затруднение: «Нужно знать, на какую цифру смотреть после десятых». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой разряд мы сохраняем? Какая цифра помогает принять решение? Что нужно сделать с оставшимися цифрами? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют: «Научиться округлять числа до заданного разряда по значению следующей цифры и проверять результат». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в вычислении, а в выборе правила действия. Сейчас мы построим это правило как модель, а затем проверим его на разных числах."
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования (9 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать алгоритм округления через наблюдение, обсуждение и построение модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске число $63{,}749$ и говорит: "Округлим его до десятых. Подчеркнём цифру десятых — это 7. Теперь посмотрим на соседнюю цифру справа — 4. Если следующая цифра меньше 5, сохраняем подчёркнутую цифру. Остальные цифры заменяем нулями или отбрасываем после запятой. Получаем $63{,}7$. Запишем: $63{,}749\approx63{,}7$." | Подчёркивают цифру десятых, называют следующую цифру, проговаривают алгоритм и записывают пример в тетрадь. |
3 мин | Учитель разбирает второй случай: "Теперь округлим $18{,}576$ до сотых. Сохраняем цифру 7 в разряде сотых, смотрим на следующую цифру 6. Она не меньше 5, поэтому увеличиваем 7 на единицу: получаем 8. Ответ: $18{,}576\approx18{,}58$. Обратите внимание: знак равенства здесь заменён знаком приближённого равенства." | Называют сохраняемый разряд и следующую цифру, объясняют переход $7$ в $8$, записывают результат и знак $\approx$. |
3 мин | Учитель предлагает построить модель алгоритма: "Составьте в тетради короткую схему из пяти шагов. Я буду задавать вопросы, а вы будете дополнять модель: что определяем первым, какую цифру выделяем второй, с чем сравниваем третьей, что делаем при цифрах от 0 до 4 и что делаем при цифрах от 5 до 9?" Учитель фиксирует на доске итоговую схему. | Составляют модель: «1. Определить разряд округления. 2. Найти сохраняемую цифру. 3. Посмотреть на следующую цифру. 4. При 0–4 сохранить цифру. 5. При 5–9 увеличить её на 1 и отбросить остальные цифры». |
Запись в тетрадях
Округление — замена числа близким числом с меньшим количеством значащих цифр. Чтобы округлить число до некоторого разряда, оставляют цифру этого разряда и смотрят на следующую цифру: если она равна $0,1,2,3$ или $4$, цифра сохраняется; если она равна $5,6,7,8$ или $9$, цифра увеличивается на единицу. Остальные цифры отбрасывают. Результат записывают со знаком $\approx$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Модель готова: сначала определяем разряд, затем смотрим на одну цифру справа и только после этого изменяем запись. Теперь применим алгоритм вместе и проговорим каждый шаг вслух."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм округления в совместной работе с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает работу в парах: "На карточке три числа: $8{,}436$, $72{,}51$, $349{,}8$. Округлите их соответственно до десятых, единиц и десятков. В каждой записи обязательно подчеркните сохраняемую цифру и обведите следующую. Один ученик решает, второй проговаривает алгоритм, затем поменяйтесь ролями." | В парах решают три задания, подчёркивают сохраняемую цифру, обводят следующую, проговаривают: «Округляем до ..., следующая цифра ..., поэтому ...». |
2 мин | Учитель организует проверку по эталону на доске: "$8{,}436\approx8{,}4$; $72{,}51\approx73$; $349{,}8\approx350$". Спрашивает: "Почему во втором примере исчезла десятичная часть? Почему в третьем ответ оканчивается нулём?" | Сверяют записи, исправляют ошибки, объясняют: «Округление до единиц убирает десятичную часть», «при округлении до десятков единицы заменяются нулём». |
2 мин | Учитель раздаёт карточки с ошибочными решениями: «$4{,}268\approx4{,}2$, потому что после десятых стоит 6»; «$589\approx580$, потому что округляем до десятков»; «$0{,}995\approx0{,}99$, потому что следующая цифра 5 не изменяет число». Учитель просит найти ошибку и составить исправленный вариант. | Находят ошибки в выборе следующей цифры или в изменении сохраняемой цифры, записывают исправления: $4{,}268\approx4{,}3$, $589\approx590$, $0{,}995\approx1{,}00$. |
Эталон решения
Для $4{,}268$ при округлении до десятых сохраняем цифру 2, следующая цифра 6, поэтому увеличиваем 2 до 3: $4{,}268\approx4{,}3$. Для $589$ при округлении до десятков сохраняем цифру 8, следующая цифра 9, поэтому получаем 9 десятков: $589\approx590$. Для $0{,}995$ при округлении до сотых сохраняем цифру 9, следующая цифра 5, поэтому возникает перенос: $0{,}99$ увеличивается до $1{,}00$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что большинство ошибок связано не с вычислениями, а с тем, какую цифру нужно рассматривать следующей. Перед самостоятельной работой ещё раз проверьте эту часть модели."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и применить его в заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Сейчас каждый выполняет обязательный базовый блок. Если справились раньше, переходите к повышенному, а затем к дополнительному заданию. Выберите не самый лёгкий вариант, а тот, который позволит честно проверить ваше понимание. На доске остаётся модель алгоритма." | Получают карточки, выбирают уровень после выполнения обязательной части, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель предлагает базовый блок: "Округлите $14{,}67$ до десятых, $305{,}4$ до единиц, $7826$ до сотен. В каждом примере укажите сохраняемую и следующую цифры." Для повышенного уровня: "Округлите $0{,}0487$ до тысячных, $19{,}995$ до сотых и решите задачу: длина маршрута $47{,}86$ км. Запишите расстояние с точностью до десятых километра." | Индивидуально решают задания, выделяют разряды, записывают промежуточные рассуждения. Базовые ответы: $14{,}7$, $305$, $7800$. Повышенные ответы: $0{,}049$, $20{,}00$, $47{,}9$ км. |
2 мин | Учитель предлагает дополнительное задание: "Объясните, какое из двух приближений точнее для числа $6{,}374$: $6{,}4$ или $6{,}37$. Обоснуйте ответ сравнением разрядов и величин отклонений." | Решают задачу повышенной сложности, формулируют: «$6{,}37$ точнее, потому что сохранено больше знаков после запятой; отклонение меньше». |
2 мин | Учитель выводит эталон ответов и проводит самопроверку: "Поставьте плюс за каждый правильный результат и отдельный плюс за объяснение алгоритма. Если ошибка есть, не стирайте её сразу: подчеркните шаг, на котором она возникла, и исправьте другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают результат, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки, какой шаг вызвал затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к разным разрядам и к практическим данным. Осталось связать вычисление с реальной ситуацией и убедиться, что округление не меняет смысл ответа."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить правило в практической задаче, оценить достижение цели и сформулировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "Для поездки рассчитали расход топлива $6{,}48$ л на каждые $100$ км. Как можно записать этот расход с точностью до десятых? До сотых? Какую запись выбрать, если нужно указать более точное значение? Объясните свой выбор." | Записывают: $6{,}48\approx6{,}5$ л с точностью до десятых; до сотых число не изменяется — $6{,}48$. Объясняют, что запись до сотых сохраняет больше информации. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете самостоятельно округлить число до любого указанного разряда; жёлтую — если правило понятно, но нужна тренировка; красную — если пока трудно определить следующую цифру. Заполните два пункта листа: «Сегодня я научился...» и «Мне нужно повторить...»." | Показывают карточку, заполняют лист самооценки, формулируют: «Я научился определять следующую цифру», «Мне нужно повторить округление с переносом через 9». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы перед выходом: "До какого разряда округляем число $27{,}364$, если нужен ответ $27{,}4$? Какая цифра определила результат? Какой знак ставим между точным и приближённым значением?" Затем сообщает домашнее задание и благодарит за работу. | Отвечают: «До десятых; цифра 6; знак $\approx$». Записывают домашнее задание, сдают лист самооценки или выходной билет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы построили и применили модель округления: определили разряд, посмотрели на следующую цифру и выбрали действие. Важно не забывать знак приближённого равенства и сохранять требуемую точность. На следующем уроке мы продолжим работу с приближёнными вычислениями и оценкой результата."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания обязательного блока, правильно округлены числа повышенного блока, в каждой записи определены сохраняемый разряд и следующая цифра, допущенные ошибки самостоятельно исправлены.
- «4» — верно выполнены не менее 80% заданий, алгоритм применён правильно, но допущена одна ошибка в записи разряда, переносе через 9 или оформлении знака $\approx$.
- «3» — верно выполнены не менее 50% обязательных заданий, ученик понимает правило при опоре на модель, но допускает ошибки в определении следующей цифры или в замене отброшенных разрядов нулями.
- Результат ниже отметки «3» — ученик пока не различает сохраняемый разряд и следующую цифру; требуется индивидуальная отработка по пошаговой модели.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о правиле округления? | Выявление осознания основного алгоритма и ключевой роли следующей цифры. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым сложным? | Выявление точек затруднения: выбор разряда, анализ следующей цифры или перенос через 9. |
Как вы проверяете, что округлили число до нужного разряда? | Проверка сформированности самоконтроля и умения использовать модель. |
В какой практической ситуации полезно приближённое значение? | Осмысление функциональной значимости темы и поддержка учебной мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять точное число близким приближённым значением по строгому правилу. Самая частая ошибка — смотреть не на следующую цифру, а на последнюю цифру записи или забывать, до какого разряда нужно округлить. Если вы каждый раз будете проговаривать шаги модели, количество ошибок уменьшится. Этот алгоритм пригодится и в практических расчётах, и при выполнении заданий ОГЭ. На следующем уроке мы продолжим оценивать точность полученных результатов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на округление натуральных и десятичных чисел до единиц, десятков, сотен, десятых и сотых; в каждом примере указать сохраняемый разряд и следующую цифру. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор разряда, знак $\approx$ и перенос при цифре 5 или больше. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи с длиной, массой, временем или стоимостью, где требуется округлить ответ до указанной точности; одну задачу оформить с пояснением выбора разряда. | Формирует перенос алгоритма в реальный контекст; проверить соответствие точности ответа условию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 2 собственных примера с ошибочным округлением, объяснить ошибку и дать правильное решение; отдельно разобрать случай переноса через 9, например при округлении числа вида $19{,}995$. | Развивает анализ, аргументацию и создание математической модели; проверить полноту объяснения и корректность записи. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какую цифру называют следующей при округлении? Что делаем, если она равна 4? Что делаем, если она равна 5? Какой знак используем для приближённого значения? Почему $349{,}8\approx350$, а не $349$?»
