Целое уравнение и его корни
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать целое уравнение, определять возможное число его действительных и целых корней и выбирать способ решения — разложение на множители, группировку или замену переменной — при выполнении заданий рабочего листа.
- Сформировать представление о целом уравнении и его корнях, включая связь квадратного трёхчлена с его корнями и дискриминантом.
- Научить решать простейшие целые уравнения и уравнения, сводящиеся к произведению множителей, с обязательной проверкой найденных корней.
- Развивать умение анализировать вид уравнения, выбирать рациональный способ решения и объяснять, почему уравнение имеет один, два, несколько или не имеет действительных корней.
- Формировать уверенность при выполнении заданий алгебраического содержания, близких к заданиям ОГЭ, и привычку проверять ответ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение проверки и аккуратной записи решения для получения достоверного математического результата.
- Проявлять готовность преодолевать затруднение при выборе способа решения нестандартного уравнения.
- Понимать практическую ценность алгебраических методов для подготовки к ОГЭ и дальнейшего обучения.
- Развивать ответственное отношение к индивидуальному результату и корректной взаимопроверке.
Метапредметные
- Выделять существенные признаки целого уравнения и классифицировать уравнения по степени и числу корней.
- Планировать последовательность решения, выбирать подходящий метод и корректировать действия после проверки.
- Читать математическую запись, извлекать информацию из условия и рабочего листа, сопоставлять уравнение с множеством корней.
- Аргументированно объяснять решение партнёру, сравнивать разные способы и оценивать рациональность выбранного метода.
Предметные
- Знать, что целым уравнением называется уравнение, левая и правая части которого являются целыми рациональными выражениями.
- Уметь находить корни линейных и квадратных уравнений, определять число корней по дискриминанту.
- Уметь раскладывать многочлен на множители вынесением общего множителя и способом группировки.
- Уметь решать уравнения вида $x^3-4x=0$ и биквадратные уравнения заменой $t=x^2$.
- Уметь выбирать способ решения смешанного уравнения и записывать множество всех действительных корней.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать личную учебную цель: научиться уверенно распознавать тип уравнения и не терять корни при преобразованиях.
- Проявлять смыслообразование через связь нового материала с заданиями рабочего листа и форматом ОГЭ.
- Формировать самооценку на основе количества верно выполненных заданий и анализа допущенных ошибок.
- Сохранять спокойствие и работоспособность при встрече с уравнением непривычного вида.
Регулятивные УУД
- Формулировать цель урока по результатам анализа затруднения в задании с уравнениями.
- Составлять алгоритм действий: определить вид, выбрать метод, решить, проверить, записать ответ.
- Осуществлять самопроверку по эталону и находить причину ошибки в знаке, разложении или замене переменной.
- Оценивать степень освоения каждого способа решения и планировать повторение затруднительного шага.
Познавательные УУД
- Сравнивать уравнения $x^2-9=0$, $3x^2-4x+2=0$ и $x^4-10x^2+9=0$ по степени и способу решения.
- Устанавливать связь между разложением на множители и правилом произведения, равного нулю.
- Моделировать решение биквадратного уравнения заменой $t=x^2$ с последующим возвратом к переменной $x$.
- Анализировать дискриминант и делать вывод о числе действительных корней без полного решения уравнения.
Коммуникативные УУД
- Обсуждать в парах соответствие уравнения и его корней, приводя математическое обоснование.
- Формулировать уточняющие вопросы о выборе метода и корректно объяснять партнёру найденную ошибку.
- Согласовывать общий ответ группы и представлять последовательность преобразований классу.
- Участвовать во взаимопроверке по критериям, отделяя оценку решения от оценки личности ученика.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с заданиями 1–15 по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить два запасных экземпляра.
- Подготовить карточки для парной работы с уравнениями $x^2-7x+12=0$, $x^3-4x=0$ и $x^4-10x^2+9=0$.
- Вывести на доску или слайд проблемное уравнение $x^4-10x^2+9=0$ и вопрос: «Как выбрать способ решения?»
- Подготовить памятку-алгоритм: определить вид уравнения; разложить на множители или выполнить замену; решить; проверить; записать множество корней.
- Подготовить отдельный слайд с формулой дискриминанта $D=b^2-4ac$ и правилами для $D>0$, $D=0$, $D<0$.
- Распечатать по одному листу критериев самопроверки на каждого ученика и по одному эталону решения на парту.
- Подготовить маркеры, таймер на 3 минуты, стикеры трёх цветов и проектор или интерактивную доску.
- Разделить задания рабочего листа на уровни: базовые 1–5, повышающие 6–10, сложные 11–15.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать связь темы с заданиями рабочего листа и подготовкой к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и рабочего листа. Сегодня мы будем работать не с абстрактным набором формул, а с целой системой заданий: от простого линейного уравнения до уравнения четвёртой степени. Такие умения нужны и для уверенного выполнения заданий ОГЭ." | Проверяют готовность, кладут рабочий лист и тетрадь перед собой, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $x^4-10x^2+9=0$ и обращается к классу: "Посмотрите на запись. Не спешите решать. Какой вопрос возникает первым: какую формулу вспомнить или какой способ выбрать? Почему уравнение выглядит сложнее, чем $x^2-9=0$? Сегодня нам нужно научиться видеть структуру уравнения и выбирать путь решения." | Рассматривают запись, высказывают предположения: "Можно заменить $x^2$ на новую переменную", "Нужно попробовать разложить на множители", формулируют затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что трудность часто состоит не в вычислениях, а в выборе способа. Сейчас вспомним признаки и приёмы, которые уже умеем применять, а затем соберём из них алгоритм решения целых уравнений."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила решения линейных и квадратных уравнений, формулу дискриминанта и правило произведения, равного нулю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Решите самостоятельно два коротких уравнения: $x+9=14$ и $4x=28$. Через минуту сравните ответы с соседом. Обязательно проговорите, какое число является корнем и как выполнить проверку." | Решают: $x=5$ и $x=7$, в парах подставляют найденные числа в исходные уравнения, формулируют: "Корень — это значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство". |
2 мин | Учитель записывает на доске $x^2-9=0$ и спрашивает: "Как представить левую часть в виде произведения? Что следует из равенства произведения нулю? Сколько корней получим?" | Разлагают: $x^2-9=(x-3)(x+3)$; применяют правило произведения нулю; называют корни $x=3$ и $x=-3$. |
2 мин | Учитель показывает формулу и говорит: "Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ используем $D=b^2-4ac$. Напомните, как по знаку дискриминанта определить число действительных корней. Это понадобится в заданиях 4, 8, 9 и 10 рабочего листа." | Записывают и проговаривают: при $D>0$ два корня, при $D=0$ один корень, при $D<0$ действительных корней нет. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. $D=b^2-4ac$; $D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — действительных корней нет».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные правила у нас есть: корень проверяем подстановкой, произведение раскрываем или приравниваем множители к нулю, число корней квадратного уравнения определяем по дискриминанту. Теперь выясним, что объединяет все уравнения нашего листа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать понятие целого уравнения и построить план работы с заданиями рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран записи $x+3=5$, $x^2-7x+12=0$, $x^3-4x=0$ и спрашивает: "Что общего у этих уравнений? Какие операции с переменной здесь встречаются? А в записи $\frac{1}{x-2}=3$ было бы то же свойство?" Учитель подводит к определению: "Целым называется уравнение, левая и правая части которого являются целыми рациональными выражениями: в них нет деления на выражение с переменной." | Сравнивают записи, отвечают: "Встречаются сложение, умножение, степени, но нет переменной в знаменателе"; формулируют признаки целого уравнения. |
2 мин | Учитель предлагает закончить фразу: "Чтобы решить целое уравнение, мы сначала..., затем..., после этого..., а в конце..." и фиксирует ответы на доске. | Формулируют план: "Определить вид уравнения; выбрать метод; найти все корни; проверить; записать ответ". Записывают цель: «Научиться выбирать способ решения целого уравнения и находить все его действительные корни». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Мы будем двигаться от распознавания и простых корней к разложению на множители и замене переменной, постоянно проверяя, не потеряли ли корень."
Этап 4. Открытие нового знания: способы решения (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы разложения целого уравнения на множители и решения уравнения заменой переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает задание 7 рабочего листа: "Рассмотрим уравнение $x^2-7x+12=0$. Ищем два числа, произведение которых равно $12$, а сумма равна $-7$: это $-3$ и $-4$. Поэтому $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Теперь применяем правило произведения, равного нулю. Какие два простейших уравнения получаются?" | Находят разложение $(x-3)(x-4)=0$, записывают $x-3=0$ или $x-4=0$, получают $x=3$ и $x=4$, оформляют множество корней. |
3 мин | Учитель показывает пример из задания 11: "В уравнении $x^3-4x=0$ сначала выносим общий множитель: $x(x^2-4)=0$. Затем разлагаем разность квадратов: $x(x-2)(x+2)=0$. Обратите внимание: вынесенный множитель $x$ даёт отдельный корень, его нельзя потерять." | Записывают цепочку разложения, получают корни $x=0$, $x=2$, $x=-2$, проговаривают правило: каждый множитель может быть равен нулю. |
3 мин | Учитель переходит к замене: "В уравнении $x^4-10x^2+9=0$ положим $t=x^2$. Тогда получаем $t^2-10t+9=0$, откуда $t=1$ или $t=9$. Но переменная $t$ должна удовлетворять условию $t=x^2$, поэтому возвращаемся к $x$: $x^2=1$ или $x^2=9$. Какие корни получим?" | Выполняют замену $t=x^2$, решают квадратное уравнение, возвращаются к $x$, получают $x=-3,-1,1,3$, записывают условие возврата к исходной переменной. |
Эталон решения
$x^4-10x^2+9=0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2-10t+9=0$. Разложение: $(t-1)(t-9)=0$, поэтому $t=1$ или $t=9$. Возвращаемся к $x$: $x^2=1$, откуда $x=\pm1$; $x^2=9$, откуда $x=\pm3$. Ответ: $x\in\{-3;-1;1;3\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три рабочих маршрута: для простого уравнения используем преобразования, для произведения — разложение и правило нулевого произведения, для четвёртой степени с чётными степенями — замену $t=x^2$. Теперь применим маршруты к заданиям листа и проверим, насколько хорошо умеем распознавать метод."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор способа решения и применить его к заданиям рабочего листа 3, 7, 11 и 15.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах по приёму "Взаимный тренинг". Первый ученик называет способ решения и выполняет первый шаг, второй проверяет и продолжает. Затем поменяйтесь ролями. Начните с уравнения $x^2+2x-8=0$. Не просто называйте ответ, а записывайте разложение." | В парах раскладывают $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$, получают корни $x=-4$ и $x=2$, проверяют подстановкой. |
3 мин | Учитель предлагает второе уравнение: "$x^3-9x^2+20x=0$. Сначала обсудите, какой общий множитель можно вынести. Затем разложите квадратный трёхчлен и перечислите все корни. Я проверю не только ответ, но и сохранение корня, полученного из общего множителя." | Выносят $x$: $x(x^2-9x+20)=0$; раскладывают $x(x-4)(x-5)=0$; находят $x=0,4,5$. |
3 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "В уравнении $x^4-8x^2+16=0$ нельзя сразу считать, что корни равны $4$ и $-4$. Сначала вводим $t=x^2$. После решения уравнения относительно $t$ обязательно решаем каждое уравнение относительно $x$. Сверьте запись с соседом и поставьте стикер: зелёный — всё понятно, жёлтый — нужен вопрос." | Решают $(t-4)^2=0$, получают $t=4$, затем $x^2=4$ и $x=-2$ или $x=2$; прикрепляют зелёный или жёлтый стикер, формулируют вопрос при затруднении. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что одинаковое внешнее слово «уравнение» не означает одинаковый алгоритм. Сейчас каждый самостоятельно выполнит фрагмент рабочего листа и проверит, может ли без подсказки определить число и вид корней."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на заданиях рабочего листа разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель даёт инструкцию: "Выполните индивидуально задания 1, 4, 5, 8 и 15 рабочего листа. Если базовые задания выполнены уверенно, переходите к заданию 12 или 14. В каждом ответе укажите не только корни, но и способ рассуждения там, где это требуется. Время — семь минут." | Отмечают выбранный уровень, самостоятельно решают задания, не сравнивают записи до сигнала учителя. |
6 мин | Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы: "Какой признак помогает выбрать ответ в задании 5? Что показывает дискриминант в задании 8? В задании 15 попробуйте сначала определить, какие степени переменной встречаются." Учитель не сообщает готовый ответ, а возвращает к алгоритму. | Решают: в задании 1 находят уравнение $x^2=4$, для которого число 2 является корнем; в задании 4 определяют два корня $x=\pm3$; в задании 5 отмечают $2x-7=0$, поскольку его корень $\frac{7}{2}$ не является целым; для $3x^2-4x+2=0$ вычисляют $D=-8$ и делают вывод об отсутствии действительных корней. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте по шагам: определён ли вид уравнения, верно ли вычислены коэффициенты, не потеряны ли корни, совпадает ли итог с вопросом задания. Ошибку обозначьте условным знаком и рядом запишите, как её исправить. Это не наказание, а диагностика." | Сверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают количество верных ответов, формулируют личный вывод: "Мне нужно повторить дискриминант", «Я путаю корни при замене», или «Я уверенно выбираю разложение». |
Эталон решения
Для задания 8: $3x^2-4x+2=0$, $a=3$, $b=-4$, $c=2$. $D=(-4)^2-4\cdot3\cdot2=16-24=-8$. Так как $D<0$, уравнение действительных корней не имеет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг уже стал устойчивым, а какой ещё требует тренировки. Ошибка в вычислении или знаке исправляется проверкой, а ошибка в выборе метода — внимательным анализом вида уравнения. Завершим урок применением знаний к общей системе заданий и короткой рефлексией."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить освоение темы и дать разноуровневое задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить способ решения; жёлтую — если способ выбираете, но иногда ошибаетесь; красную — если пока нужна помощь. Теперь одним предложением закончите: «Чтобы решить целое уравнение, я сначала...»" | Показывают карточку, дополняют алгоритм: "смотрю на вид уравнения, выбираю метод, нахожу все корни, проверяю ответ". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите уровень, ориентируясь не на оценку, а на результат сегодняшней самопроверки. Обязательная часть должна быть выполнена всеми. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что такое корень; когда применяют замену $t=x^2$; почему нельзя терять общий множитель?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания, отвечают на контрольные вопросы, сдают стикер с одним затруднением или одним уверенно освоенным способом. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 5 предложенных заданий, в заданиях на решение записаны преобразования и все корни, корректно применены разложение на множители или замена переменной, выполнена проверка хотя бы одного сложного уравнения.
- «4» — верно выполнены 4 задания, допущена не более одной вычислительной ошибки, алгоритм решения выбран правильно, но есть неточность в оформлении или проверке.
- «3» — верно выполнены 3 задания базового уровня, ученик понимает смысл корня и число корней по дискриминанту, но допускает ошибки при разложении или возврате от $t$ к $x$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое корень целого уравнения и как проверить, что найденное число действительно является корнем? | Проверка осознания базового предметного понятия и необходимости подстановки. |
Как понять, что в уравнении стоит попробовать разложение на множители? | Выявление умения распознавать структуру многочлена и выбирать метод. |
Что было самым трудным: вынесение общего множителя, группировка, дискриминант или замена $t=x^2$? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Какие задания рабочего листа ты сможешь решить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка освоения темы и готовности к дальнейшей тренировке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что целое уравнение решается не одной универсальной формулой, а осознанным выбором метода. Мы научились раскладывать многочлены на множители, применять правило нулевого произведения, использовать дискриминант и замену $t=x^2$. Самая частая ошибка — потерять корень при вынесении общего множителя или забыть вернуться от $t$ к $x$. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения и потренируемся объяснять выбор метода в формате, близком к заданиям ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 уравнений по образцу заданий 3, 4, 5 и 8 рабочего листа: два линейных или квадратных, одно уравнение с разложением на множители и одно задание на определение числа действительных корней по дискриминанту. | Закрепляет базовый алгоритм, проверку корней и связь знака дискриминанта с количеством корней. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения по образцу заданий 7, 11 и 15: одно с вынесением общего множителя, одно с группировкой и два биквадратных уравнения заменой $t=x^2$. Для каждого указать выбранный метод. | Формирует умение распознавать структуру многочлена и не терять корни при преобразованиях. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2–3 смешанных уравнения по образцу заданий 12–15, включая задачу на связь корней квадратного уравнения со свободным членом и уравнение, для которого нужно сравнить два способа решения. | Развивает анализ, выбор рационального метода и подготовку к заданиям повышенной сложности. |
