Дробные рациональные уравнения: область допустимых значений и алгоритм решения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать дробные рациональные уравнения, содержащие переменную в знаменателе, находить область допустимых значений и выполнять проверку полученных корней.
- Сформировать представление о причинах появления посторонних корней при умножении уравнения на выражение с переменной.
- Научить применять алгоритм решения дробных рациональных уравнений к заданиям экзаменационного формата.
- Развивать умение анализировать условие, планировать последовательность действий, контролировать вычисления и аргументированно объяснять решение.
- Воспитывать ответственное отношение к проверке результата и уверенность при выполнении заданий ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость умения решать дробные рациональные уравнения.
- Понимают, что проверка ограничений является обязательной частью математического рассуждения.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ благодаря работе по понятному алгоритму.
- Проявляют настойчивость при поиске и исправлении вычислительной ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность решения уравнения.
- Извлекают информацию из записи уравнения, выделяют знаменатели и ограничения на переменную.
- Сравнивают способы решения и оценивают корректность полученного ответа.
- Взаимодействуют в парах, формулируют вопросы и аргументируют выбор допустимых преобразований.
Предметные
- Знать, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.
- Уметь находить область допустимых значений переменной в дробном рациональном уравнении.
- Уметь умножать обе части уравнения на общий знаменатель с учётом ОДЗ.
- Уметь решать полученное квадратное или линейное уравнение и отбрасывать недопустимые корни.
- Владеть полным алгоритмом решения и оформлять ответ с проверкой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый способ действий с подготовкой к ОГЭ и будущей профессиональной деятельностью.
- Формируют ответственное отношение к точности вычислений и математической записи.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм самостоятельно.
Регулятивные УУД
- Ставят цель: научиться решать уравнение с обязательной проверкой ОДЗ.
- Планируют четыре шага решения и соблюдают их порядок.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям правильности, полноты и аккуратности оформления.
Познавательные УУД
- Выделяют знаменатели и устанавливают ограничения на переменную.
- Моделируют решение в виде последовательности алгоритмических шагов.
- Анализируют появление посторонних корней после преобразований.
- Применяют известные способы решения линейных и квадратных уравнений.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему необходимо записывать ОДЗ.
- Задают уточняющие вопросы по этапам алгоритма.
- Сравнивают решения и аргументированно принимают исправления.
- Соблюдают правила сотрудничества при взаимопроверке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным уравнением $\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x}$ и вопросом о допустимых значениях переменной.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 15–20 экземпляров.
- Подготовить отдельные карточки с этапами алгоритма для работы в парах — по одной на парту.
- Вывести на доску памятку: ОДЗ → общий знаменатель → преобразование → решение → проверка → ответ.
- Подготовить эталон решения двух уравнений для самопроверки.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Освободить небольшой участок кабинета для физкультминутки без перемещения парт.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и маркеры двух цветов.
- Распечатать мини-лист самооценки: «Я умею найти ОДЗ», «Я умею выбрать общий знаменатель», «Я проверяю корни».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня мы разберём тип уравнений, который требует не только вычислений, но и внимательного контроля каждого шага." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x}$ и говорит: "Это уравнение выглядит коротким, но в нём есть скрытое условие. Какое значение нельзя подставлять вместо $x$? Почему подобные задания могут вызвать ошибки на ОГЭ? Сегодня мы выведем алгоритм, который поможет не терять баллы из-за пропущенной проверки." | Рассматривают запись, предполагают: "Нельзя брать $x=0$ и $x=2$, потому что знаменатель не может быть нулём". Формулируют ожидание: "Нужно научиться решать уравнение и проверять корни". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что основная опасность находится не только в вычислениях, но и в ограничениях на переменную. Сейчас вспомним необходимые правила и найдём место затруднения."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить правила действий с дробями, разложения на множители и решения квадратных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Математический светофор»: "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Первое: дробь существует при любом значении переменной. Второе: общий знаменатель двух дробей должен быть кратен каждому знаменателю. Третье: при умножении уравнения на выражение с переменной нужно учитывать, может ли оно быть равно нулю." | Поднимают карточки и объясняют: первое утверждение неверно, второе верно, третье верно. |
3 мин | Учитель записывает задания: $x^2-5x+6=0$, $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$ и спрашивает: "Какие действия вы выполните сначала? Как проверите корни квадратного уравнения?" | Решают краткие задания, называют разложение $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, вспоминают необходимость проверки найденных значений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разложение на множители и правило существования дроби. Теперь проверим, почему привычное механическое умножение иногда приводит к неверному ответу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость ОДЗ и совместно сформулировать алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемное уравнение: $\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}$ и говорит: "Можно ли сразу умножить обе части на $x-2$? Какое условие должно быть выполнено? Запишите индивидуально свою гипотезу, затем обсудите её в паре." | Сначала записывают гипотезу, затем обсуждают в парах: "Можно умножать при условии $x-2\ne0$, то есть $x\ne2$." |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: "Какие шаги должны войти в надёжный алгоритм, чтобы решение было полным?" Учитель объединяет предложения в схему. | Формулируют этапы: найти ОДЗ, привести к общему знаменателю, решить полученное уравнение, проверить корни, записать ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня каждый должен уметь пройти все пять шагов и объяснить, зачем нужен каждый из них. Перейдём к открытию нового способа на конкретном примере."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить алгоритм решения дробного рационального уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает уравнение $\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{5}{x(x-1)}$ и проговаривает: "Шаг первый — выписываем ограничения: $x-1\ne0$ и $x\ne0$, поэтому $x\ne1$ и $x\ne0$. Шаг второй — определяем общий знаменатель $x(x-1)$. Теперь умножаем обе части уравнения на него, но помним: это преобразование выполняется только при соблюдении ОДЗ." | Записывают уравнение и ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne1$. Называют общий знаменатель $x(x-1)$. |
3 мин | Учитель показывает преобразование: "$\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{5}{x(x-1)}$; после умножения получаем $2x+(x-1)=5$. Приведём подобные: $3x-1=5$, откуда $x=2$." Учитель подчёркивает: "Корень нельзя сразу записывать в ответ — сначала проверяем ОДЗ." | Переписывают преобразования, решают линейное уравнение и получают $x=2$. |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать алгоритм и записывает его на доске: "ОДЗ; общий знаменатель; умножение; решение; проверка; ответ. Сравните этот порядок с вашей гипотезой и назовите, какой шаг защищает от посторонних корней." | Фиксируют алгоритм, отвечают: "От посторонних корней защищает проверка по ОДЗ и подстановка в исходное уравнение." |
Запись в тетрадях
Алгоритм решения дробного рационального уравнения: 1) найти ОДЗ; 2) определить общий знаменатель; 3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель; 4) решить полученное уравнение; 5) проверить корни по ОДЗ и исходному уравнению; 6) записать ответ.
Эталон решения
$\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{5}{x(x-1)}$. ОДЗ: $x\ne1$, $x\ne0$. Умножаем на $x(x-1)$: $2x+(x-1)=5$. Получаем $3x=6$, значит, $x=2$. Число $2$ не нарушает ОДЗ. Ответ: $x=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не просто ответ, а обоснованную цепочку действий. Теперь проверим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка «Математический алгоритм» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить последовательность действий через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. На слово «ОДЗ» поднимите руки вверх, на слово «знаменатель» вытяните руки вперёд, на слово «решение» сделайте наклон, на слово «проверка» повернитесь к соседу и покажите большой палец. Повторим алгоритм в ритме: ОДЗ — знаменатель — решение — проверка — ответ." | Выполняют движения по команде, проговаривают этапы алгоритма, затем возвращаются на места. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже закрепился не только в записи, но и в памяти. Теперь применим его к заданиям разной сложности."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать поиск ОДЗ и выполнение преобразований с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: $\frac{4}{x+2}=\frac{2}{x-1}$. Инструкция: "Работайте в парах. Один ученик называет шаг и выполняет запись, второй проверяет порядок действий по памятке, затем поменяйтесь ролями. Обязательно запишите ОДЗ." | В парах находят ОДЗ: $x\ne-2$, $x\ne1$; составляют уравнение $4(x-1)=2(x+2)$ и получают $x=4$. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Сверьте не только ответ, но и три обязательные части оформления: ОДЗ, преобразование, проверку корня. Если нашли ошибку, используйте приём «Две звезды и пожелание»: назовите два верных шага и один шаг для исправления." | Проверяют записи партнёра, формулируют комментарии: "Верно найдена ОДЗ; правильно выбран общий знаменатель; нужно дописать проверку." |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}$. Задаёт вопрос: "Как разложить знаменатель справа и какие значения исключить?" | Разлагают $x^2-4=(x-2)(x+2)$, записывают $x\ne2$, $x\ne-2$, получают $2x=8$, $x=4$. |
Эталон решения
Для уравнения $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}$ ОДЗ: $x\ne2$, $x\ne-2$. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$, умножаем на $(x-2)(x+2)$: $(x+2)+(x-2)=8$. Получаем $2x=8$, $x=4$. Корень допустим. Ответ: $x=4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы убедились, что правильный ответ складывается из нескольких обязательных элементов. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет применять алгоритм без подсказки."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и научить выполнять самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: $\frac{3}{x}=\frac{6}{x+1}$. Средний вариант: $\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x}=\frac{5}{x(x-1)}$. Повышенный вариант: $\frac{x}{x-2}=\frac{4}{x-2}$. Инструкция: "Выберите уровень, который сможете выполнить качественно. На каждом решении должны быть ОДЗ, преобразование, корень и проверка. Выбор уровня не является оценкой ваших способностей: наша задача — увидеть следующий шаг развития." | Индивидуально решают выбранное уравнение. Для базового получают $x=1$ при ОДЗ $x\ne0$, $x\ne-1$; для среднего получают $x=2$; для повышенного получают $x=4$ при $x\ne2$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Проверьте работу по трём критериям: ОДЗ записана полностью, преобразования выполнены без потери множителей, корень проверен. Отметьте зелёным верные шаги, жёлтым — требующие исправления." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, ставят себе отметку за качество выполнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство ошибок можно обнаружить до сдачи работы, если не пропускать ОДЗ и проверку. Завершим урок осмыслением результата и планированием домашней практики."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать освоенные действия, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Лист самооценки»: "Закончите три фразы: «Я умею находить ОДЗ…», «Мне нужно потренироваться…», «Перед ответом я обязательно…». Затем поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку в зависимости от уверенности." | Заполняют лист самооценки, формулируют: "Я умею находить ограничения", "Мне нужно тренироваться приводить к общему знаменателю", "Я обязательно проверю корни". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Почему нельзя сразу сокращать выражение, если не записана ОДЗ? Какой корень называют посторонним? Какие два действия нельзя пропускать в оформлении?" | Отвечают: "Можно потерять ограничения"; "Корень, не входящий в ОДЗ или не удовлетворяющий исходному уравнению"; "ОДЗ и проверку". |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень по готовности, но базовый обязателен для всех. В тетради сохраняйте полный алгоритм, а не только ответ." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть скрытое условие дробного уравнения и превращать решение в контролируемый алгоритм. На следующем уроке мы продолжим работу с более сложными уравнениями и заданиями экзаменационного формата."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью и без ошибок решено выбранное уравнение, записана ОДЗ, корректно выполнено умножение на общий знаменатель, проведена проверка корня и оформлен ответ.
- «4» — решение в целом верное, но допущена одна неточность в оформлении или проверка выполнена неполно; ответ и основные преобразования правильны.
- «3» — найден общий ход решения и записана часть ОДЗ, но допущены вычислительные ошибки либо пропущена проверка, из-за чего оформление требует существенной коррекции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно записать до первого преобразования дробного уравнения? | Проверка понимания роли ОДЗ и предупреждение типичной ошибки. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым сложным? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему найденный корень нужно проверить в исходном уравнении? | Осознание причины появления посторонних корней. |
Насколько уверенно вы готовы решить подобное задание на ОГЭ? | Получение субъективной оценки готовности и уровня тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать дробные рациональные уравнения не методом догадки, а по строгому алгоритму. Главная ошибка, которую нужно предупреждать, — пропуск ОДЗ и проверки найденных корней. Если какой-то шаг пока вызывает затруднение, это не повод тревожиться: именно повторение последовательности действий делает решение уверенным. На следующем уроке мы усложним задания и потренируем применение алгоритма в формате ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 дробных рациональных уравнения с линейными знаменателями, в каждом обязательно записать ОДЗ, общий знаменатель, преобразование, проверку и ответ. | Закрепить базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полноту ОДЗ и отсутствие недопустимых корней. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения, в которых общий знаменатель раскладывается на множители и после освобождения от знаменателей получается линейное или квадратное уравнение. | Отработать разложение знаменателей и переход к стандартному уравнению; проверить правильность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить одно дробное рациональное уравнение с двумя исключаемыми значениями переменной, решить его и письменно объяснить, почему один из возможных корней отбрасывается. | Развить умение конструировать математическую модель и аргументировать проверку ОДЗ. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое ОДЗ дробного уравнения?», «Какие значения переменной нельзя допускать в знаменателе?», «Назовите полный порядок решения от записи ОДЗ до ответа».
