Построение и сравнение графиков квадратичной функции и функции с модулем
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока обобщить алгоритмы построения графиков функций $y=ax^2+bx+c$ и $y=|f(x)|$, построить не менее двух графиков по заданным формулам, определить их ключевые свойства и выполнить задания экзаменационного типа с точностью не менее 70%.
- Образовательная задача: систематизировать способы нахождения вершины, оси симметрии, нулей функции и контрольных точек квадратичной параболы.
- Образовательная задача: закрепить правило построения графика $y=|f(x)|$ через отражение частей графика, расположенных ниже оси $Ox$.
- Развивающая задача: формировать умение выбирать рациональный способ решения, сравнивать графики и находить ошибки в готовых построениях.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за результат, спокойное отношение к заданиям ОГЭ и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графического способа решения и его связь с подготовкой к ОГЭ.
- Проявляют уверенность при выполнении заданий разной сложности и воспринимают ошибку как источник коррекции.
- Развивают навыки самооценки и ответственное отношение к индивидуальному результату.
- Понимают связь математической модели с задачами физики, экономики и информатики.
Метапредметные
- Составляют план построения графика и контролируют последовательность его выполнения.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и изображения графика.
- Сравнивают несколько способов решения и аргументируют выбор наиболее эффективного.
- Работают в паре, распределяют роли, формулируют и проверяют математические выводы.
Предметные
- Знать алгоритм построения графика квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$.
- Уметь находить координаты вершины $x_v=-\frac{b}{2a}$, значение $y_v=f(x_v)$ и ось симметрии.
- Уметь строить график $y=|f(x)|$, отражая относительно оси $Ox$ части графика, расположенные ниже оси.
- Уметь определять по графику промежутки знакопостоянства, нули функции и число решений уравнения.
- Уметь решать задания графического характера, близкие к формату ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную цель урока как подготовку к самостоятельному решению экзаменационных заданий.
- Сохраняют работоспособность при встрече с заданием повышенной сложности.
- Оценивают собственную готовность объяснить алгоритм построения другому ученику.
- Формируют привычку проверять ответ по смыслу и по графическому изображению.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и соотносят её с результатом диагностической работы.
- Планируют построение графика по формуле и выбирают необходимые контрольные точки.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют тему, требующую повторения.
Познавательные УУД
- Выделяют параметры квадратичной функции и связывают их с видом параболы.
- Преобразуют формулу и графическую информацию в таблицу или схему.
- Анализируют положение графика относительно осей координат.
- Моделируют отражение графика относительно оси $Ox$ при переходе к модулю.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям «строитель» и «эксперт».
- Задают уточняющие вопросы о вершине, оси симметрии и преобразовании графика.
- Аргументируют решение с использованием формулы, таблицы и рисунка.
- Корректно сообщают партнёру об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с координатной плоскостью, графиками $y=x^2$, $y=|x^2-4|$ и таблицей алгоритмов.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные карточки для парной проверки: 1 комплект на каждую пару с графиками, формулами и типичными ошибками.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: вершина, ось симметрии, нули, направление ветвей, отражение части графика ниже оси $Ox$.
- Подготовить линейки, карандаши, ластики и координатные сетки по одной на каждого ученика.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий.
- Подобрать короткий межпредметный пример: траектория тела описывается параболой, а расстояние от уровня отсчитывается как модуль величины.
- Заранее распределить пары с учётом возможности взаимопомощи, не снижая самостоятельность участников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и обозначить связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Сегодня мы не будем долго повторять теорию. Наша задача — быстро восстановить алгоритмы и применить их к нескольким графикам. Подготовьте тетради, линейки и карандаши; на доске вы видите координатную плоскость и две формулы." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает графики и говорит: "Представьте, что это задание ОГЭ. По рисунку нужно определить нули, промежутки знакопостоянства и число решений уравнения. Сегодня мы потренируем именно такие действия, а затем проверим себя в парах." | Рассматривают изображения, предполагают: "Первый график — парабола", "Второй получен с помощью модуля", называют возможные элементы графика. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что один график позволяет ответить сразу на несколько вопросов. Сначала восстановим опорные знания, а затем перейдём к построению и анализу."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать признаки квадратичной функции и правила чтения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Как выглядит график $y=ax^2+bx+c$? От чего зависит направление ветвей? Как найти абсциссу вершины? Что показывает пересечение с осью $Ox$?" Учитель фиксирует ответы в памятке на доске. | Отвечают: "График — парабола"; "При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз"; "$x_v=-\frac{b}{2a}$"; "Точки пересечения с $Ox$ — нули функции". |
3 мин | Учитель предлагает устно разобрать функцию $y=x^2-4x+3$: "Назовите $a$, $b$, $c$, найдите ось симметрии и нули без полного построения. Проверяйте вычисления вслух." | Называют $a=1$, $b=-4$, $c=3$; находят $x_v=2$; решают $x^2-4x+3=0$ и получают нули $1$ и $3$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают краткий алгоритм: 1) определить направление ветвей; 2) найти вершину и ось симметрии; 3) найти нули; 4) выбрать симметричные точки; 5) построить параболу и проверить положение графика.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили признаки параболы и увидели, что формула сразу даёт координаты важных точек. Теперь выясним, что меняется, если перед функцией появляется модуль."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать правило построения графика функции с модулем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует график $y=x^2-4$ и задаёт вопрос: "Как построить график $y=|x^2-4|$, не составляя новую таблицу из большого числа значений? Посмотрите, какие части исходной параболы находятся ниже оси $Ox$. Что произойдёт с их значениями после взятия модуля?" | Рассматривают график, обсуждают в парах 1 минуту, формулируют: "Отрицательные значения станут положительными", "Нижнюю часть нужно отразить вверх". |
2 мин | Учитель уточняет: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие действия нам понадобятся, чтобы решить практические задания?" Учитель записывает на доске согласованную цель и критерии успеха. | Формулируют цель: "Научиться строить и анализировать графики квадратичной функции и функции с модулем"; называют критерии: точная вершина, нули, отражение отрицательной части, проверка ответа. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема решается не новым сложным вычислением, а преобразованием уже известного графика. Сейчас проверим это правило на конкретном примере."
Этап 4. Обобщение алгоритма и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: систематизировать алгоритмы через практическое построение и показать применение графика в физике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске график $y=x^2-4$: "Найдём вершину: здесь $b=0$, поэтому вершина имеет координаты $(0;-4)$, ось симметрии — $x=0$. Нули получаем из $x^2-4=0$: $x=-2$ и $x=2$. Отметим также точки $(-1;-3)$ и $(1;-3)$. Теперь часть ниже оси $Ox$ отражаем вверх и получаем график $y=|x^2-4|$." | Записывают вычисления, отмечают точки на координатной сетке, проводят исходную параболу и отражённые дуги; формулируют: "Часть ниже оси $Ox$ меняет знак, часть выше остаётся без изменения". |
3 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь: "В физике траектория движения может быть задана параболой. Если нас интересует расстояние до уровня $Ox$, оно не бывает отрицательным и описывается модулем. Поэтому график с модулем помогает увидеть расстояние на каждом участке движения." | Объясняют, почему расстояние не может быть отрицательным, связывают знак функции с положением тела относительно условного уровня, отвечают: "Модуль оставляет только неотрицательные значения". |
Запись в тетрадях
Записывают правило: для построения $y=|f(x)|$ часть графика $y=f(x)$, расположенную выше или на оси $Ox$, оставляют без изменения, а часть ниже оси $Ox$ отражают симметрично относительно оси $Ox$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построения состоит из двух последовательных действий: сначала строим знакомый график $f(x)$, затем применяем к нему правило модуля. Переходим к самостоятельной проверке алгоритма в парах."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать построение графиков и взаимную проверку по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Ученик А строит график $y=x^2-2x-3$, ученик Б строит график $y=|x^2-2x-3|$. Затем обменяйтесь листами и проверьте друг друга по четырём признакам: вершина, нули, ось симметрии, преобразование модуля." | Распределяют роли, читают критерии проверки, задают уточняющие вопросы. |
5 мин | Учитель напоминает: "Не начинайте с произвольных точек. Сначала найдите вершину: $x_v=1$, затем значение $y_v=-4$, нули $-1$ и $3$. После этого определите, какую часть нужно отражать. Я прохожу по рядам и задаю вопросы, но не называю готовый ответ." | Строят графики, отмечают вершину $(1;-4)$, ось $x=1$, нули $-1$ и $3$, отражают участок ниже оси $Ox$; объясняют партнёру свои действия. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Поставьте плюс за каждый верный критерий. Если нашли ошибку, не исправляйте молча: напишите партнёру, на каком шаге возникло расхождение и как его проверить." | Проверяют четыре критерия, записывают 3–4 балла, формулируют взаимную рекомендацию: "Проверь координату вершины" или "Отражена только часть ниже оси". |
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-2x-3$: $a=1$, $b=-2$, поэтому $x_v=-\frac{-2}{2}=1$; $y_v=1-2-3=-4$. Вершина $(1;-4)$, ось симметрии $x=1$. Нули: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$, поэтому $x=-1$ и $x=3$. Для $y=|f(x)|$ участок параболы ниже оси $Ox$ на отрезке $[-1;3]$ отражается вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проверили не только рисунок, но и ход рассуждений. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно, чтобы увидеть собственный уровень готовности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами на заданиях трёх уровней сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть обязательный базовый уровень и задания повышенной сложности. Сначала решите базовое задание, затем выбирайте следующий уровень. Важно не количество, а точность алгоритма и проверка графика." | Выбирают карточку или уровень, записывают номер варианта, готовят координатную сетку. |
6 мин | Учитель предлагает задания: базовый — построить $y=x^2-4x+3$ и указать вершину и нули; повышающий — построить $y=|x^2-4x+3|$ и определить число решений уравнения $|x^2-4x+3|=2$; дополнительный — по графику объяснить число решений уравнения $|x^2-4x+3|=k$ при разных $k$. | Индивидуально находят вершину $(2;-1)$, нули $1$ и $3$, строят график; для модуля отражают часть ниже оси; проводят горизонтальную прямую $y=2$ и считают точки пересечения. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте сначала вычисления, затем рисунок. Для уравнения с модулем можно использовать два случая: $f(x)=2$ или $f(x)=-2$. Если ваш график даёт другой результат, найдите конкретный шаг ошибки." | Сверяют решение, исправляют ошибки другим цветом, отмечают в листе самооценки уровень: «могу сам», «нужна подсказка», «нужно повторить». |
Эталон решения
Для $f(x)=x^2-4x+3$: $x_v=2$, $y_v=-1$, вершина $(2;-1)$, ось $x=2$, нули $x=1$ и $x=3$. Уравнение $|f(x)|=2$ равносильно двум уравнениям: $x^2-4x+3=2$ и $x^2-4x+3=-2$. Первое даёт $x^2-4x+1=0$ — два корня; второе даёт $x^2-4x+5=0$, дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Всего два решения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, какой шаг уже выполняется уверенно, а какой требует повторения. Осталось зафиксировать результат, ответить на контрольные вопросы и выбрать домашний уровень."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и дать посильное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите одно правило построения $y=|f(x)|$, одну типичную ошибку и ответьте, сколько решений имеет уравнение $|x^2-4x+3|=2$. Это не контрольная отметка, а способ понять, что повторить." | Письменно формулируют правило, называют ошибку «отражают весь график вместо части ниже оси» и записывают: «два решения». |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёная карточка — строю сам, жёлтая — нужна проверка, красная — нужен разбор. Поднимите карточку и укажите в листе, какой именно шаг вызвал затруднение." | Поднимают карточку, фиксируют конкретное затруднение: вершина, нули, модуль или число пересечений. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и завершает: "Выберите уровень честно: обязательный выполняют все, следующий берут те, кто готов к дополнительной тренировке. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок и перейдём к графическому решению систем." | Записывают домашнее задание, задают вопросы, сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены базовое и повышенное задания, найдены вершина, ось симметрии и нули, графики построены аккуратно, правило модуля применено без ошибок, решение уравнения обосновано.
- "4" — правильно выполнено базовое задание и большая часть повышенного, допущена одна неточность в координатах или оформлении, но алгоритм построения понятен.
- "3" — найдены основные элементы параболы или выполнена часть базового задания, однако есть ошибки в вершине, нулях либо отражении графика с модулем.
- Ниже отметки «3» — решение не завершено или не различены исходный график и график функции с модулем; необходима индивидуальная коррекция алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг вы выполняете при построении графика $y=ax^2+bx+c$? | Проверка понимания алгоритма и предупреждение случайного выбора точек. |
Какую часть графика изменяет переход к $y=|f(x)|$? | Выявление понимания правила отражения относительно оси $Ox$. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения: вычисления, построение или анализ числа решений. |
Насколько уверенно вы готовы решать подобное задание ОГЭ? | Субъективная оценка освоения темы и снижение экзаменационной тревожности через осознанное планирование повторения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали построение параболы и научились получать график функции с модулем отражением части исходного графика. Самая частая ошибка — отражать весь график или неверно находить вершину, поэтому всегда проверяйте ось симметрии и положение нулей. Вы уже умеете использовать график для определения числа решений уравнения, что важно в заданиях ОГЭ. На следующем уроке мы разберём типичные ошибки и применим графический метод к системам и неравенствам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить 2 графика квадратичных функций вида $y=ax^2+bx+c$, для каждой указать вершину, ось симметрии и нули; одну из функций выбрать с двумя нулями. | Закрепляет алгоритм построения; при проверке обратить внимание на вычисление вершины и симметричность рисунка. |
Средний (повышающий) | Построить 2 графика вида $y=|ax^2+bx+c|$ и для каждого определить промежутки, где график совпадает с исходной параболой и где отражается. | Закрепляет преобразование графика модулем; проверить правильность определения участков ниже оси $Ox$. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 графических задания: определить число решений уравнения $|f(x)|=k$ при заданном $k$ и исследовать, как число решений меняется при другом значении $k$. | Развивает анализ графика и подготовку к заданиям повышенной сложности; проверить аргументацию через число точек пересечения. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как найти абсциссу вершины параболы? Что происходит с частью графика ниже оси $Ox$ при взятии модуля? Как по графику определить число решений уравнения? Какая ошибка в сегодняшней работе требует вашего первого повторения дома?"
