Чётность и нечётность функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять, является ли функция чётной, нечётной или функцией общего вида, используя область определения и равенство $f(-x)=f(x)$ или $f(-x)=-f(x)$, и применять алгоритм не менее чем к четырём функциям.
- Научиться формулировать определения чётной и нечётной функций и распознавать их графические признаки.
- Освоить алгоритм исследования функции на чётность и нечётность на конкретных примерах разной сложности.
- Развивать умение работать в парах, объяснять ход рассуждений и проверять решение по критериям.
- Снизить тревожность перед заданиями ОГЭ за счёт пошагового алгоритма и самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритмов исследования функций для успешного выполнения заданий ОГЭ.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять её, не воспринимая затруднение как неуспех.
- Развивают ответственное отношение к индивидуальному результату и результату работы пары.
- Формируют мотивацию к дальнейшему изучению функций как основы математической грамотности и профессионального самоопределения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формул, графиков и таблиц, сопоставляют разные способы представления функции.
- Планируют решение по предложенному алгоритму и контролируют каждый его шаг.
- Аргументируют вывод о чётности или нечётности функции, используя математические обозначения.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли и корректно оценивают решение одноклассника.
Предметные
- Знать определения чётной и нечётной функций.
- Уметь проверять симметричность области определения относительно нуля.
- Уметь вычислять $f(-x)$ и сравнивать его с $f(x)$ и $-f(x)$ для определения вида функции.
- Уметь распознавать чётность по графику относительно оси ординат и нечётность относительно начала координат.
- Уметь решать задания базового и повышенного уровня, аналогичные заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться применять алгоритм без пропуска существенных шагов.
- Осознают связь точности математической записи с достоверностью вывода.
- Проявляют положительное отношение к совместному поиску решения.
- Оценивают собственную готовность к выполнению аналогичного задания ОГЭ.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность проверки функции на чётность и нечётность.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят пропущенный шаг.
- Корректируют решение после обсуждения в паре и формулируют итоговый вывод.
Познавательные УУД
- Сравнивают выражения $f(-x)$, $f(x)$ и $-f(x)$.
- Выделяют существенные признаки чётной и нечётной функции.
- Строят логическую цепочку от области определения к итоговому выводу.
- Моделируют свойства функции с помощью формулы, таблицы и графика.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: исполнитель и проверяющий.
- Задают уточняющие вопросы о выборе знака и области определения.
- Аргументируют собственный вывод математическими равенствами.
- Принимают другой способ решения и корректно указывают на неточность.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определениями, графическими признаками и алгоритмом проверки.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: базового, повышающего и продвинутого — по одной карточке на пару.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточки «Светофор» или небольшие зелёные, жёлтые и красные карточки — по одной на ученика.
- Подготовить слайд с четырьмя функциями для мотивационного задания и слайд с эталоном решения.
- Разместить на доске таблицу сравнения: $f(-x)=f(x)$ — чётная, $f(-x)=-f(x)$ — нечётная.
- Подготовить маркеры, таймер и листы для записи ответов пар.
- Проверить, что на экране можно показать графики функций $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=x+1$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы для заданий ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для ответов. Сегодня мы будем не просто вспоминать свойства функций, а учиться быстро распознавать их вид по формуле и графику. Такой алгоритм часто помогает выполнить задание без лишних вычислений." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему после её объявления. |
2 мин | Учитель показывает на экране графики $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=x+1$ и говорит: "Посмотрите на три графика. Какие из них имеют симметрию? Как можно описать эту симметрию словами? Где такая проверка может пригодиться на экзамене? Сегодня нам нужно установить правило, которое позволит перейти от наблюдения к точному доказательству." Учитель принимает предположения и не сообщает ответ заранее. | Рассматривают графики, обсуждают их признаки, предполагают: "Первый симметричен относительно оси ординат, второй — относительно начала координат, третий не имеет такой симметрии". Формулируют ожидание: "Нужно научиться проверять это по формуле". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что график может подсказать ответ, но на экзамене важно уметь обосновать его формулой. Теперь выясним, какие знания о функции нужны для такой проверки."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия области определения, значения функции и подстановки противоположного аргумента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Блиц-опрос": "Что называют функцией? Что является аргументом? Как обозначают значение функции при аргументе $x$? Что нужно сделать, чтобы найти $f(-x)$? Запишите короткие ответы в тетради, затем сверим их." | Записывают определения и отвечают: "Функция сопоставляет каждому допустимому значению аргумента единственное значение"; "аргумент — независимая переменная"; "$f(-x)$ находят заменой каждого $x$ на $-x$". |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить для $f(x)=2x-3$: "Найдите $f(2)$, $f(-2)$ и выражение $f(-x)$. Обратите внимание, что знак меняется у всего аргумента, а не только у одного слагаемого." | Выполняют вычисления: $f(2)=1$, $f(-2)=-7$, $f(-x)=-2x-3$. Сравнивают результаты и объясняют замену. |
2 мин | Учитель показывает утверждения: «Если $f(-x)=f(x)$, функция чётная»; «Если $f(-x)=f(x)$, функция нечётная»; «Для проверки необходимо учитывать область определения». Просит применить приём "Верно — неверно" и обосновать один выбор. | Поднимают карточки, отмечают первое и третье утверждения как верные, второе — как неверное. Объясняют: "Для нечётной функции должно выполняться $f(-x)=-f(x)$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как находить $f(-x)$ и почему область определения важна. Сейчас применим эти знания к функции, для которой быстрый ответ не очевиден, и обнаружим место затруднения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость единого алгоритма и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске функции $f(x)=x^2-4$ и $g(x)=x^2+x$ и говорит: "Попробуйте без полного исследования определить, какая функция обладает симметрией. Можно ли ограничиться тем, что в формуле есть квадрат? А если в выражении появляются разные степени?" Учитель предлагает обсудить ответ в парах в течение одной минуты. | В парах сравнивают функции и формулируют предположения: "$x^2-4$ может быть чётной, потому что при замене $x$ на $-x$ выражение не меняется; $x^2+x$ — вероятно, ни чётная, ни нечётная". |
2 мин | Учитель фиксирует затруднение: "Нам недостаточно зрительного впечатления или отдельных признаков. Какой вопрос нужно решить сегодня? Сформулируйте цель урока так, чтобы её можно было проверить в конце." | Предлагают цель: "Научиться по алгоритму определять чётность и нечётность функции". Записывают цель и называют план: проверить область определения, найти $f(-x)$, сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$, сделать вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужен надёжный алгоритм, а не догадка по виду формулы. Перейдём к открытию этого алгоритма и проверим его на нескольких функциях."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести определения и алгоритм исследования функции на чётность и нечётность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Рассмотрим $f(x)=x^2$. Найдём $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$. Какой вывод можно сделать? Теперь рассмотрим $g(x)=x^3$: $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$. Чем отличаются эти два равенства?" На доске постепенно записывает определения. | Выводят: "$f(-x)=f(x)$ — признак чётной функции; $g(-x)=-g(x)$ — признак нечётной функции". Записывают определения в тетради. |
3 мин | Учитель показывает схему алгоритма: "Шаг 1 — найти область определения и проверить её симметрию относительно нуля. Шаг 2 — вычислить $f(-x)$. Шаг 3 — сравнить результат с $f(x)$ и $-f(x)$. Шаг 4 — сформулировать полный вывод: функция чётная, нечётная или ни чётная, ни нечётная. Пропуск первого шага может привести к ошибке." | Переносят алгоритм в тетрадь, задают уточняющие вопросы: "Нужно ли проверять оба условия?" Формулируют ответ: "Достаточно установить соответствие одному из признаков, но область определения должна быть симметричной". |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Исследуем $f(x)=x^2-4$. Область определения — все действительные числа, она симметрична. Найдём $f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$. Следовательно, функция чётная. Теперь применим тот же план к $g(x)=x^2+x$: $g(-x)=x^2-x$, что не равно ни $g(x)=x^2+x$, ни $-g(x)=-x^2-x$. Каков вывод?" | Следят за последовательностью, отвечают: "$f(x)=x^2-4$ — чётная; $g(x)=x^2+x$ — ни чётная, ни нечётная". Отмечают, что вывод подтверждается сравнением выражений, а не внешним видом. |
Запись в тетрадях
$f(x)$ называется чётной, если область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ выполняется $f(-x)=f(x)$. $f(x)$ называется нечётной, если область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ выполняется $f(-x)=-f(x)$. Алгоритм: область определения → $f(-x)$ → сравнение → вывод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили универсальный алгоритм и увидели три возможных результата. Теперь проверим его в парной работе: один участник будет выполнять преобразования, второй — контролировать каждый шаг и задавать вопросы."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через парную работу и дифференцированные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет правила приёма "Подумай — обсуди в паре — поделись": "В каждой паре распределите роли. Исполнитель записывает решение, проверяющий сверяет четыре шага алгоритма. Через четыре минуты поменяйтесь ролями. Выберите карточку по готовности: базовую, повышающую или продвинутую." | Распределяют роли, выбирают уровень карточки и записывают его на листе ответа. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки. На базовой: исследовать $f(x)=x^4-3x^2+1$ и $g(x)=2x+5$. На повышающей: исследовать $h(x)=\frac{1}{x}$ и $p(x)=x^3-2x$. На продвинутой: исследовать $q(x)=\frac{x}{x^2+1}$ и объяснить графический признак. Учитель напоминает: "Не пропускайте область определения. Для дробной функции сначала укажите, при каких $x$ знаменатель не равен нулю." | Выполняют выбранные задания в парах. Проверяющие отмечают в листе четыре шага. Формулируют выводы: $f$ чётная, $g$ ни чётная, ни нечётная, $h$ нечётная, $p$ нечётная, $q$ нечётная. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сверьте не только ответ, но и запись. Если нашли ошибку, не стирайте её сразу: обведите место и объясните партнёру, почему возникло расхождение. Две пары назовите свой пример и обоснуйте вывод у доски." | Обмениваются листами внутри пары, находят ошибки в знаках и области определения. Представители двух пар проговаривают решение: "Для $h(x)=1/x$ область определения симметрична, $h(-x)=-1/x=-h(x)$, поэтому функция нечётная". |
Эталон решения
Для $q(x)=\frac{x}{x^2+1}$: область определения — все действительные числа, так как $x^2+1>0$. $q(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=\frac{-x}{x^2+1}=-q(x)$. Следовательно, функция нечётная.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Парная проверка показала, что один и тот же алгоритм работает для многочленов и дробных функций. Особенно внимательно нужно следить за знаками и областью определения. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу без помощи партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на заданиях разной сложности и подготовить учащихся к формату ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите задания самостоятельно. Обязательный уровень: определить вид функций $y=x^6+2x^2-7$ и $y=3x-1$. Повышающий уровень: исследовать $y=\frac{x^2}{x^2+4}$. Продвинутый уровень: объяснить, почему функция $y=x^5+x$ нечётная без построения графика. Сначала выполните обязательное задание, затем выберите следующий уровень." | Индивидуально записывают область определения, вычисляют $f(-x)$, сравнивают выражения и формулируют вывод. Выполняют обязательное и выбранное дополнительное задание. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "$x^6+2x^2-7$ — чётная; $3x-1$ — ни чётная, ни нечётная; $\frac{x^2}{x^2+4}$ — чётная; $x^5+x$ — нечётная". Просит поставить отметку напротив каждого верного шага, а не только сверить итог. | Сверяют решения по шагам, отмечают совпадения, исправляют ошибки другим цветом и определяют, на каком этапе возникло затруднение. |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить вид функции; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если затрудняетесь уже на шаге области определения или подстановки." Кратко консультирует учеников с жёлтыми и красными карточками. | Показывают карточку, называют конкретное затруднение: "Путаю $-f(x)$ и $f(-x)$" или "забываю проверить знаменатель". Записывают рядом с решением способ исправления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя индивидуально и увидели, что ошибка обычно связана не со сложными вычислениями, а с пропуском шага или неверным знаком. Осталось связать формулу с графиком и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, оценить уровень самостоятельности и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутная рефлексия": "Закончите три фразы: «Теперь я умею…», «Самый важный шаг алгоритма…», «Мне нужно потренировать…». Затем ответьте на контрольный вопрос: функция удовлетворяет равенству $f(-x)=f(x)$, но её область определения несимметрична относительно нуля. Можно ли назвать её чётной?" | Заполняют три фразы и отвечают: "Нет, нельзя, потому что симметричность области определения — обязательное условие". Несколько учеников зачитывают ответы. |
1 мин | Учитель возвращается к начальным графикам: "Назовите графический признак чётной и нечётной функции. Почему график $y=x+1$ не относится ни к одному виду?" | Формулируют: "График чётной функции симметричен относительно оси ординат, нечётной — относительно начала координат"; "$y=x+1$ не имеет ни одной из этих симметрий". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Обязательный уровень закрепляет алгоритм, повышающий требует учесть область определения, дополнительный предлагает доказательство общего свойства. Выберите уровень честно: цель не в количестве, а в правильном рассуждении." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы и отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились отличать чётные, нечётные функции и функции общего вида по строгому алгоритму. Помните: сначала область определения, затем $f(-x)$, сравнение и только после этого вывод. На следующем уроке мы продолжим исследование свойств функций и будем использовать их при анализе графиков."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное дополнительное задания, указана область определения, корректно вычислено $f(-x)$, приведено сравнение и сформулирован полный вывод.
- «4» — правильно определён вид функций в большинстве заданий, но допущена одна неточность в записи области определения, преобразованиях или объяснении графического признака.
- «3» — выполнено обязательное задание с существенной помощью алгоритма, определён вид хотя бы одной функции, но допущены ошибки в вычислении $f(-x)$ или итоговом сравнении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о чётных и нечётных функциях? | Выявление осознания определений и графических признаков. |
Какой шаг алгоритма оказался самым важным или самым сложным? | Выявление точек затруднения в последовательности исследования. |
Чем отличаются равенства $f(-x)=f(x)$ и $f(-x)=-f(x)$? | Проверка понимания различий между чётностью и нечётностью. |
Какой уровень домашнего задания вы готовы выполнить самостоятельно? | Субъективная оценка готовности и подбор дифференцированной нагрузки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы заложили основу исследования функций по формуле и графику. Вы научились проверять область определения, находить $f(-x)$ и сравнивать его с $f(x)$ и $-f(x)$. Типичная ошибка — сразу смотреть на отдельные слагаемые и забывать о всей области определения, поэтому всегда пользуйтесь алгоритмом полностью. На следующем уроке мы применим эти свойства к преобразованию и анализу графиков.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на определение чётности, нечётности или отсутствия этих свойств для многочленов; в каждом решении записать область определения, $f(-x)$ и итоговый вывод. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на замену $x$ на $-x$ и правильную формулировку вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания с дробными функциями и функциями с ограниченной областью определения; отдельно проверить симметричность области определения относительно нуля. | Формирует устойчивое применение первого шага алгоритма; при проверке оценить, учтены ли запрещённые значения переменной. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать по определению, что функция $f(x)=x^5-3x^3+2x$ нечётная, и составить пример функции, которая не является ни чётной, ни нечётной, с объяснением. | Развивает доказательное и творческое мышление; при проверке смотреть на полноту преобразований и наличие контрпримера. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое равенство характеризует чётную функцию? Какое — нечётную? Почему нельзя пропускать проверку области определения? Какой графический признак помогает быстро предположить ответ?»
