Свойства и график функции $y=\sqrt{x}$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить график функции $y=\sqrt{x}$ по опорным точкам и определять по формуле и графику область определения, область значений, нули, промежутки возрастания и значение функции в заданной точке.
- Сформировать представление о связи функции $y=\sqrt{x}$ с операцией извлечения арифметического квадратного корня.
- Научиться составлять таблицу значений и строить график функции по нескольким точкам, выбирая удобный масштаб.
- Развивать умение анализировать график, проверять ответ и аргументировать решение в паре.
- Показать практическую ценность темы для выполнения заданий ОГЭ и снизить тревожность через пошаговый алгоритм и задания разной сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что графическое представление функции помогает быстро проверять математические выводы и решать практические задачи.
- Проявляют уверенность при выполнении типовых заданий ОГЭ благодаря использованию алгоритма.
- Принимают необходимость аккуратной записи области допустимых значений и самопроверки результата.
- Развивают ответственное отношение к совместной работе и конструктивному обсуждению ошибок.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика и сопоставляют разные способы представления функции.
- Планируют последовательность построения графика и контролируют соответствие результата исходной формуле.
- Формулируют выводы на основе наблюдения за точками и формой графика.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор ответа.
Предметные
- Знать область определения и область значений функции $y=\sqrt{x}$.
- Уметь строить график функции по таблице значений и распознавать его по рисунку.
- Уметь определять нули функции, промежутки знакопостоянства и монотонность.
- Уметь находить значение функции и аргумент по графику в простых случаях.
- Владеть алгоритмом решения типовых заданий ОГЭ по графику функции $y=\sqrt{x}$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с подготовкой к ОГЭ.
- Осознают значение точности вычислений и графической культуры.
- Развивают готовность спокойно анализировать ошибку как источник дальнейшего действия.
- Проявляют интерес к применению функций для описания зависимостей.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения в построении графика.
- Планируют построение графика по алгоритму: область определения — таблица — точки — соединение.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют ошибочные записи.
- Оценивают степень освоения каждого умения по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции по её формуле.
- Сравнивают значения корня при разных неотрицательных аргументах.
- Строят таблицу, графическую модель и делают вывод о свойствах функции.
- Анализируют график и находят по нему координаты и характеристики функции.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре при построении и проверке графика.
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Задают партнёру вопросы о выборе точек и исправляют неточности без конфликта.
- Представляют классу аргументированный вывод по результатам работы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулой $y=\sqrt{x}$, координатной плоскостью и пустой таблицей значений.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать лист самооценки с пунктами: область определения, таблица, график, свойства, задание по графику — по одному листу на ученика.
- Подготовить карточки для парной проверки — по одной на каждую пару.
- Подготовить слайд или плакат с эталонными точками $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$ и алгоритмом построения.
- Подготовить маркеры двух цветов, стикеры и линейки; проверить наличие клетчатых тетрадей.
- На доске заранее оставить место для графика, выводов о свойствах и задания формата ОГЭ.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких практических заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не столько слушать теорию, сколько строить, проверять и читать график. Все действия будут разбиты на короткие шаги, поэтому даже сложное задание ОГЭ станет понятным." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске вопрос: "Можно ли по одному графику быстро понять, при каких значениях существует функция, где она возрастает и чему равна в заданной точке? Поднимите руки, кто встречал подобные вопросы в тренировочных вариантах ОГЭ. Сегодня мы построим график, который даст ответы на все эти вопросы." | Фиксируют тему, предполагают: "Да, если знать, как читать график"; называют графические задания ОГЭ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили практическую задачу урока. Теперь вспомним, какие знания о квадратном корне понадобятся для построения графика."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства арифметического квадратного корня и выявить затруднение при построении зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражения: $\sqrt{0}$, $\sqrt{1}$, $\sqrt{4}$, $\sqrt{9}$, $\sqrt{16}$ и говорит: "Решите устно, но объясняйте не только ответ, а связь между подкоренным выражением и результатом. Почему нельзя вычислить в действительных числах $\sqrt{-4}$?" | Вычисляют: "$0, 1, 2, 3, 4$"; формулируют: "Арифметический квадратный корень существует только при неотрицательном подкоренном выражении". |
3 мин | Учитель раздаёт карточку для приёма "Подумай — обсуди в паре — поделись": "В паре заполните таблицу для $y=\sqrt{x}$ при $x=0,1,4,9$. Один ученик вычисляет значения, второй проверяет и строит первые точки. Через две минуты сравним результаты." | Работают в парах, заполняют таблицу $x:0,1,4,9$; $y:0,1,2,3$, отмечают точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$. |
1 мин | Учитель спрашивает: "Что пока нельзя сделать по четырём точкам? Можно ли уже уверенно описать весь график?" | Отвечают: "Нельзя точно представить продолжение графика; нужно понять его форму и свойства". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем вычислять отдельные значения, но пока не знаем, как выглядит вся зависимость. Это и есть наше затруднение: по формуле нужно получить график и свойства функции."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную цель и алгоритм открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует эвристическую беседу: "Как мы можем исследовать функцию, если её формула уже дана? Сначала определим допустимые значения $x$, затем выберем удобные аргументы, вычислим $y$, нанесём точки и посмотрим на их расположение. Какие вопросы нужно задать графику?" | Предлагают план: "Найти область определения, построить точки, соединить их, определить область значений и возрастание". |
2 мин | Учитель фиксирует на доске цель: "К концу урока вы должны уметь построить график $y=\sqrt{x}$ и с его помощью ответить на вопросы формата ОГЭ. Запишите цель кратко: построить график и определить его основные свойства. Какие признаки покажут, что цель достигнута?" | Записывают цель; называют признаки: "График построен аккуратно, точки выбраны верно, свойства сформулированы и подтверждены графиком". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План исследования у нас есть. Теперь реализуем его на конкретной функции и зафиксируем результат в тетради."
Этап 4. Открытие нового знания и построение графика (10 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства функции $y=\sqrt{x}$ через практическое построение графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: "$y=\sqrt{x}$. Чтобы корень имел смысл, $x\geq0$. Возьмём удобные значения $x$, являющиеся квадратами целых чисел, и составим таблицу. Посмотрите на доску: $x=0,1,4,9,16$, тогда $y=0,1,2,3,4$. Почему удобно выбирать именно такие значения?" | Отвечают: "Квадратные корни вычисляются устно, точки легко нанести"; переносят таблицу в тетрадь. |
4 мин | Учитель показывает координатную плоскость и говорит: "Нанесите точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$, $(16;4)$. Соедините их плавной линией, но не проводите график влево от оси $Oy$: при отрицательных $x$ функция не определена. Посмотрите, как меняется $y$ при увеличении $x$." | Строят координатную плоскость и график; отмечают, что все точки расположены справа от оси $Oy$ и кривая поднимается. |
3 мин | Учитель направляет анализ: "Запишите выводы. Область определения задаётся условием подкоренного выражения. Какие значения принимает $y$? Есть ли нуль функции? Возрастает ли функция на всей области определения? Ответ подтверждайте графиком, а не только наблюдением по таблице." | Формулируют и записывают: "$D(y)=[0;+\infty)$; $E(y)=[0;+\infty)$; нуль функции $x=0$; функция возрастает на $[0;+\infty)$; отрицательных значений не принимает". |
Запись в тетрадях
Записать: $y=\sqrt{x}$; $D(y)=[0;+\infty)$; $E(y)=[0;+\infty)$; график проходит через точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$, $(16;4)$; функция возрастает на всей области определения, принимает только неотрицательные значения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили свойства, а получили их из формулы и графика. Теперь проверим, умеем ли применять этот алгоритм к конкретным вопросам."
Этап 5. Первичное закрепление: задания по графику (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение графика и формулировку свойств в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "По графику $y=\sqrt{x}$ ответьте на вопросы: 1) чему равно $y$ при $x=4$; 2) при каких $x$ функция принимает значение $3$; 3) имеет ли функция отрицательные значения; 4) на каком промежутке она возрастает? Сначала каждый решает самостоятельно, затем сравните ответы в паре." | Индивидуально записывают ответы: "$2$; $x=9$; нет; на $[0;+\infty)$"; сравнивают решения в паре. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверяйте не только ответы, но и наличие обоснования: ссылка на точку графика или свойство. Поставьте плюс за верный ответ и вопросительный знак там, где требуется уточнение." | Проверяют карточку другой пары, отмечают верные ответы и одну возможную неточность. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Некоторые могли написать, что область определения начинается с единицы, потому что первая удобная точка — $(1;1)$. Это неверно: точка $(0;0)$ также принадлежит графику. Почему?" | Исправляют запись; отвечают: "Потому что $\sqrt{0}=0$, поэтому $x=0$ входит в область определения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтение графика требует внимательности к начальной точке и направлениям осей. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно применяет алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение построения и анализа графика через задания трёх уровней сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть обязательная базовая часть и задания повышенной сложности. Выполните базовую часть все, затем выберите повышающий или дополнительный уровень. Работайте самостоятельно, но можно пользоваться алгоритмом на доске." | Выбирают уровень, подписывают карточку и приступают к работе. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: "Для $y=\sqrt{x}$ вычислите $y$ при $x=0,25,36$ и укажите область определения. Постройте график по пяти точкам." Повышающий уровень: "По графику определите $y$ при $x=1$ и $x=16$, а также все $x$, при которых $y=2$." Дополнительный уровень: "Сравните функции $y=\sqrt{x}$ и $y=x$ при $x=0,1,4$. Сделайте вывод о том, при каких из этих значений они совпадают." | Решают выбранные задания: получают $0,5,6$; указывают $x\geq0$; строят график; для повышенного уровня получают $1,4$ и $x=4$; для дополнительного сравнивают значения и формулируют вывод. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте себя по шагам. В базовом задании сначала ограничение $x\geq0$, затем таблица, затем точки и плавная линия. Ошибка в одной координате может изменить весь график, поэтому сверяйте каждую точку с формулой." | Сверяют решения, подчёркивают место ошибки, исправляют расчёты и отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
Для $x=0$ получаем $y=\sqrt{0}=0$; для $x=25$ — $y=\sqrt{25}=5$; для $x=36$ — $y=\sqrt{36}=6$. Область определения: $x\geq0$, то есть $D(y)=[0;+\infty)$. Для построения можно использовать точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$, $(16;4)$ и соединить их плавной возрастающей линией.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что один алгоритм работает для разных уровней задания. Осталось обобщить свойства и проверить, какой вопрос по теме всё ещё требует пояснения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и дать посильное разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите цвет: зелёный — могу построить график и назвать свойства; жёлтый — нужна тренировка; красный — требуется объяснение. Теперь закончите фразу: ‘Сегодня я научился…’" | Показывают карточку, формулируют: "Я научился строить график по таблице" или "Мне нужно повторить область определения". |
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: "Запишите на стикере ответ на вопрос: почему график $y=\sqrt{x}$ не имеет точек при $x<0$? Второй вопрос: чему равно $y$ при $x=9$? Передайте стикер при выходе." | Пишут: "При отрицательном $x$ арифметический квадратный корень не определён; $y=3$". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не количество, а правильное построение и объяснение каждого вывода." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, отмечают вопрос для повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы построили график $y=\sqrt{x}$ и научились читать его как инструмент решения задач. Проверьте дома, сможете ли вы без подсказки восстановить алгоритм и объяснить каждое свойство."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно определены область определения и область значений, составлена таблица, аккуратно построен график не менее чем по пяти точкам, правильно выполнены все вопросы карточки и приведено обоснование.
- "4" — правильно выполнены основные задания и построен график, но допущена одна неточность в вычислении, обозначении свойства или оформлении, исправленная после проверки.
- "3" — определена область определения и выполнена часть вычислений, однако график построен с двумя существенными неточностями или не завершён анализ свойств.
- Ниже базового уровня — отсутствует связь между формулой и графиком либо неверно указано условие существования квадратного корня; требуется повторная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции $y=\sqrt{x}$? | Выявление осознания основных свойств и отличия графика от уже изученных функций. |
Как определить область определения этой функции по формуле? | Проверка понимания связи между квадратным корнем и условием $x\geq0$. |
На каком шаге построения графика возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме: вычисления, масштаб, нанесение точек или соединение. |
Какой тип задания ОГЭ вы теперь готовы решать увереннее? | Оценка практической значимости изученного материала и субъективной уверенности ученика. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что график $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0;0)$, существует только при неотрицательных $x$ и возрастает на всей области определения. Типичная ошибка — забыть точку $(0;0)$ или попытаться продолжить график влево от оси $Oy$. Используйте алгоритм: ограничение, таблица, точки, график, свойства. На следующем уроке мы применим этот графический подход к преобразованиям и более сложным заданиям ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на вычисление значений $y=\sqrt{x}$ при неотрицательных $x$, определение области определения и построение графика по пяти точкам. | Закрепляет вычисление корней и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на условие $x\geq0$ и координаты точек. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания по чтению графика $y=\sqrt{x}$: найти значение функции по аргументу, аргумент по значению, нуль функции и промежуток возрастания. | Формирует навык анализа графика в формате ОГЭ; при проверке смотреть на точность чтения координат и полноту ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить сравнительную таблицу значений функций $y=\sqrt{x}$ и $y=x$ для пяти неотрицательных аргументов, построить оба графика на одной координатной плоскости и сформулировать два вывода. | Развивает анализ и моделирование; при проверке оценивать правильность таблицы, масштаба, точек пересечения и аргументации выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом: "При каких $x$ определена функция $y=\sqrt{x}$? Какова область значений? Через какую точку проходит её график? Как найти по графику значение функции при $x=9$?"
