Графики функций: обобщение способов построения и чтения графиков
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока систематизировать способы построения и анализа графиков линейной, квадратичной, обратной пропорциональности, степенной и кусочной функций и применить их при решении не менее четырёх заданий формата ОГЭ с точностью не менее 75%.
- Обобщить признаки основных видов функций и алгоритмы чтения графика: нахождение нулей, промежутков знакопостоянства, наибольшего и наименьшего значений, областей определения и значений.
- Научиться выбирать наиболее рациональную модель функции по условию задачи, обосновывать выбор и проверять результат по графику.
- Развивать умение работать с информацией, математической моделью и цифровым графиком, аргументировать решение в паре и группе.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через работу по понятному алгоритму, самооценку и разбор типичных ошибок.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графиков функций для описания реальных процессов и профессионального самоопределения.
- Проявляют ответственное отношение к подготовке к ОГЭ и воспринимают ошибку как источник информации для коррекции.
- Оценивают собственный прогресс и выбирают посильный уровень задания.
- Развивают уверенность при публичном объяснении математического решения.
Метапредметные
- Составляют алгоритм анализа графика и используют его для решения учебной и практической задачи.
- Сравнивают математические модели, выделяют существенные признаки и устанавливают причинно-следственные связи.
- Работают с таблицами, координатной плоскостью, графическим редактором и текстом задания.
- Планируют совместную работу, распределяют роли, формулируют выводы и проверяют их по критериям.
Предметные
- Знать свойства и графики линейной функции $y=kx+b$, квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$, функции $y=\frac{k}{x}$ и степенной функции.
- Уметь определять по формуле и графику область определения, область значений, нули функции, промежутки монотонности и знакопостоянства.
- Уметь строить графики с помощью таблицы значений, преобразований и ключевых точек.
- Уметь решать графически уравнения и неравенства, интерпретировать точки пересечения графиков.
- Владеть алгоритмом выполнения задания с графиком формата ОГЭ и способом проверки ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с подготовкой к ОГЭ.
- Осознают значение точности, последовательности и самопроверки в математической деятельности.
- Проявляют готовность принимать конструктивную помощь партнёра.
- Оценивают эмоциональное состояние и используют рефлексию для снижения тревожности.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, планируют последовательность анализа графика.
- Контролируют соответствие построения условию и проверяют ответ подстановкой или чтением графика.
- Находят ошибку в готовом решении и предлагают способ её исправления.
- Оценивают работу по критериям и фиксируют следующий шаг подготовки.
Познавательные УУД
- Классифицируют графики по виду функции и характерным признакам.
- Моделируют зависимость величин формулой, таблицей и графиком.
- Извлекают информацию из координатной плоскости и цифровой визуализации.
- Сравнивают аналитический и графический способы решения, обосновывают рациональный выбор.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе и согласовывают общий алгоритм действий.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ математическими фактами.
- Представляют решение кратко, понятно и с использованием математической терминологии.
- Корректно оценивают решение партнёра по принципу «две сильные стороны и один совет».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, четырьмя графиками без подписей, алгоритмом чтения графика и заданиями формата ОГЭ.
- Распечатать карточки четырёх типов: классификация графиков, анализ графика, построение модели, задание с реальным контекстом — по одной на группу из 4 человек.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки и карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран памятку: «1. Область определения; 2. Область значений; 3. Нули; 4. Знак; 5. Монотонность; 6. Экстремумы».
- Подготовить ноутбук учителя, проектор или интерактивную доску и графический сервис для построения функций; заранее проверить работу без регистрации.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов, листы А3 и координатные сетки — по одному комплекту на группу.
- Разместить на доске критерии: правильность модели, точность графика, аргументация, проверка результата.
- Подготовить таймер и звуковой сигнал для смены этапов; использовать спокойный темп и интонационно-образовательную технологию: выделять голосом ключевые слова, делать паузы перед математическим выводом.
- Подготовить межпредметный контекст: таблицу зависимости расстояния от времени при постоянной скорости и таблицу изменения температуры в течение суток.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в обобщение темы, актуализировать практическую и экзаменационную значимость графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и интонационно выделяет ключевые слова: «Сегодня мы не начинаем новую тему, а собираем в единую систему всё, что умеем делать с графиками. Ваша задача — не угадать ответ, а увидеть закономерность, выбрать модель и доказать свой выбор». На экране появляется вопрос: «Что может рассказать график без единого предложения?» | Записывают дату и тему, формулируют предположения: «График показывает изменение величины», «по нему можно найти время, максимум, нули функции». |
2 мин | Учитель проводит приём «Прогноз»: «Поднимите зелёную карточку, если уверенно читаете график, жёлтую — если иногда путаете признаки, красную — если нужна помощь. Это не оценка, а стартовая диагностика». Затем сообщает: «Сегодня мы потренируем именно те действия, которые встречаются в ОГЭ». | Показывают карточку, формулируют личную цель: «научиться быстрее определять свойства», «не ошибаться в знаках», «проверять ответ по графику». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы определили, что график — это язык описания зависимости. Сейчас проверим, какие элементы этого языка уже уверенно читаем и где возникает затруднение».
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: восстановить признаки основных функций и алгоритм чтения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует четыре графика без названий и говорит: «Работаем фронтально. Посмотрите на форму, но не называйте её сразу. Какая графическая характеристика позволит отличить прямую, параболу и гиперболу? Какие точки или линии нужно проверить?» Учитель фиксирует на доске слова «форма», «симметрия», «асимптоты», «вершина», «наклон». | По очереди называют признаки: «Прямая имеет постоянный наклон», «у параболы есть вершина и ось симметрии», «гипербола приближается к координатным осям», «степенной график определяется показателем степени». |
3 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов проблемного диалога: «Что означает точка пересечения с осью $Ox$? Как по графику понять, где функция положительна? Можно ли найти область определения, если формула неизвестна? Как отличить максимум от минимума?» Учитель подчёркивает ответы голосом и записывает краткую памятку. | Отвечают: «Точка пересечения с $Ox$ — нуль функции», «выше оси $Ox$ функция положительна», «область определения — проекция графика на ось $Ox$», «максимум — самая высокая точка на рассматриваемом промежутке». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили отдельные признаки. Теперь поставим их в правильную последовательность, чтобы получить универсальный алгоритм, работающий даже в незнакомом задании».
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить проблему выбора модели и совместно сформулировать алгоритм анализа графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два графика, похожих на отрезке, и спрашивает: «Один график получен из линейной функции, другой — из квадратичной. На небольшом участке они могут выглядеть сходно. Как доказать, что модель выбрана верно? Что будет недостаточно — одного внешнего сходства?» | В парах обсуждают 30 секунд, затем формулируют: «Нужно проверить несколько точек», «сравнить изменение величины», «учесть условие и область определения». |
2 мин | Учитель подводит к цели: «Сегодня мы обобщим не только названия функций, но и способ действия: от условия — к модели, от модели — к графику, от графика — к выводу. Запишите цель: научиться выбирать и проверять графическую модель». На доске появляется алгоритм анализа. | Записывают цель и алгоритм, предлагают дополнение: «Нужно проверить ответ подстановкой или чтением координат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: похожий рисунок ещё не доказывает правильность модели. Сейчас группы проверят алгоритм на разных типах функций».
Этап 4. Обобщение способов построения и анализа. Групповая работа (10 мин)
Цель этапа: применить метод моделирования и систематизировать свойства функций в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и распределяет роли: аналитик, чертёжник, проверяющий, докладчик. «Каждая группа получает карточку и лист А3. Сначала определите модель, затем представьте её в трёх формах: формула, таблица или ключевые точки, график. В конце сформулируйте два свойства». | Распределяют роли, читают условие карточки, отмечают требуемый результат и критерии проверки. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Группа 1 анализирует $y=2x-3$; группа 2 — $y=x^2-4x+3$; группа 3 — $y=\frac{6}{x}$; группа 4 строит модель пути при постоянной скорости $s(t)=60t$ на промежутке $0\le t\le 3$. Учитель консультирует: «Не рисуйте график на глаз. Назовите опорные точки и объясните, почему они достаточны». | Строят графики на координатной сетке, отмечают нули, вершину или асимптоты, указывают область определения и значения. Группа 4 подписывает единицы измерения и объясняет смысл коэффициента 60. |
3 мин | Учитель организует краткие выступления и использует приём «Две звезды и пожелание»: «Назовите два точных элемента решения и один вопрос или рекомендацию». При необходимости демонстрирует построение в графическом сервисе и сопоставляет цифровой и бумажный графики. | Докладчики представляют результаты по 40 секунд; остальные фиксируют два верных наблюдения и один совет, задают вопросы: «Почему вершина имеет координаты $(2;-1)$?», «Почему $x=0$ исключается из области определения?» |
Запись в тетрадях
- Для $y=kx+b$: прямая; $k$ определяет наклон, $b$ — ординату точки пересечения с осью $Oy$.
- Для $y=ax^2+bx+c$: парабола; вершина имеет абсциссу $x_0=-\frac{b}{2a}$; знак $a$ определяет направление ветвей.
- Для $y=\frac{k}{x}$: гипербола; $x\ne0$, асимптоты — координатные оси.
- Универсальный алгоритм: область определения → область значений → нули → знак → монотонность → экстремумы → проверка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Группа может построить график, но математическое решение становится полноценным только тогда, когда каждый признак обоснован. Проверим это на коротких заданиях, где особенно легко допустить типичную ошибку».
Этап 5. Первичное закрепление. Парная работа (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм чтения графика и научиться обнаруживать ошибки в рассуждении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «На графике функции видно, что она пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $-2$ и $3$, возрастает на $(-\infty;1)$ и убывает на $(1;+\infty)$. Ученик утверждает: “Наибольшее значение функция принимает при $x=3$”. Согласны ли вы?» Учитель просит сначала подумать молча. | Каждый записывает решение: «Нет, $x=3$ — нуль функции, а не обязательно точка максимума». |
3 мин | Учитель предлагает обсудить в паре: «Сравните ответы, найдите доказательство по данным условия. Используйте формулу аргументации: “Позиция — потому что — следовательно”». | Обсуждают в парах, формулируют: «Не согласны, потому что при $x=3$ значение функции равно нулю, а максимум связан с изменением монотонности в точке $x=1$». |
2 мин | Учитель выводит на экран график и просит две пары представить ответ. «Какая ошибка наиболее типична на ОГЭ? Как её предупредить?» | Представляют аргумент, записывают совет: «Не путать абсциссу нуля с значением функции и всегда читать координаты точки полностью». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один и тот же график нужно читать строго по вопросу. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно использует алгоритм без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и ИКТ (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение обобщёнными способами решения и выполнить формативное оценивание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: «Выберите базовый или повышающий вариант. Сначала решайте самостоятельно, затем проверьте график в цифровом сервисе. Цифровой инструмент не заменяет рассуждение: сначала гипотеза на бумаге, потом проверка». | Выбирают вариант, записывают номер выбранного уровня и приступают к работе. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый вариант: для $y=x^2-6x+5$ найти нули и координаты вершины. Повышающий вариант: определить число решений уравнения $x^2-4x+1=2x-3$ графическим способом и проверить алгебраически. Учитель напоминает критерии: формула, последовательность, ответ. | Решают индивидуально. Для базового варианта получают нули $1$ и $5$, вершину $(3;-4)$. Для повышающего строят $y=x^2-4x+1$ и $y=2x-3$, находят точки пересечения или приводят уравнение к квадратному. |
3 мин | Учитель показывает эталон на экране и организует самопроверку: «Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно уточнить, красным — ошибку. Поднимите карточку цвета, соответствующего вашему результату». | Сверяют решение, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки и формулируют причину затруднения. |
Эталон решения
Для $y=x^2-6x+5$: нули находятся из уравнения $x^2-6x+5=0$. Разложим: $(x-1)(x-5)=0$, поэтому $x_1=1$, $x_2=5$. Абсцисса вершины $x_0=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$. Ордината вершины $y_0=3^2-6\cdot3+5=-4$. Вершина параболы — $(3;-4)$. Для уравнения графиков: $x^2-4x+1=2x-3$, значит $x^2-6x+4=0$; $D=36-16=20$, поэтому два решения $x=3\pm\sqrt5$. Это соответствует двум точкам пересечения графиков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала не только количество верных ответов, но и место возможной ошибки. Осталось связать графики с реальной ситуацией и объяснить, что именно означает математический результат».
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: интерпретировать график как математическую модель реального процесса и осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает таблицу движения: время $0$, $1$, $2$, $3$ часа; расстояние $0$, $60$, $120$, $180$ км. «С какой зависимостью мы имеем дело? Что означает коэффициент? Как изменится график, если скорость станет 80 км/ч?» Затем связывает задачу с физикой и географией: «График помогает описать движение и сравнить маршруты». | Определяют линейную модель $s=60t$, называют единицы измерения, строят отрезок графика на $0\le t\le3$, прогнозируют: «При 80 км/ч график будет круче». |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «Закончите три фразы: “Теперь я умею…”, “Мне нужно ещё потренировать…”, “При чтении графика я сначала…”». Затем просит показать светофор понимания. | Записывают три фразы, показывают цвет, называют конкретный следующий шаг: «повторю область определения», «потренирую точки пересечения», «сначала определю, что спрашивается». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы прошли путь от формы графика к математической модели и реальному смыслу. Завершим урок коротким ответом на вопрос: что поможет вам не потеряться в задании ОГЭ?»
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать итог и сообщить разноуровневое домашнее задание без увеличения времени урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель кратко сообщает: «Возьмите за основу сегодняшний алгоритм. Домашнее задание выбирается по уровню; цель не в количестве, а в осознанной проверке каждого шага». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения по формату выполнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, график или схема построены корректно, свойства функции названы с обоснованием, выполнена проверка результата.
- «4» — выполнено не менее 75% заданий, допущена одна неточность в построении или записи, но алгоритм и основные свойства поняты.
- «3» — выполнено не менее 50% заданий, распознана модель функции и определены хотя бы два её свойства, однако требуется коррекция вычислений или чтения графика.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более системного вы поняли о чтении графика? | Выявление осознания универсального алгоритма анализа. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным: модель, построение, чтение или проверка? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Какую типичную ошибку вы теперь сможете предупредить на ОГЭ? | Перенос знания в экзаменационную ситуацию и снижение тревожности. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Оценка самоэффективности и планирование индивидуальной работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы собрали в единую систему основные способы построения и чтения графиков функций. Особенно важно помнить: график нельзя оценивать только по внешнему виду — его нужно связывать с формулой, областью определения и условием задачи. Типичная ошибка — перепутать нуль функции с её значением или неверно прочитать координаты точки. Вы уже умеете проверять себя по алгоритму, поэтому задание ОГЭ становится последовательностью понятных действий. На следующем уроке мы продолжим тренировать графическое решение уравнений и неравенств.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на чтение графиков линейной и квадратичной функций: определить область определения и значений, нули, промежутки знакопостоянства и координаты вершины или точки пересечения. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полноту ответа и правильное чтение координат. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на графическое решение уравнений и неравенств, включая одну задачу с пересечением прямой и параболы; каждый ответ проверить подстановкой или вторым способом. | Развивает выбор способа решения и самоконтроль; проверить наличие чертежа, точек пересечения и интерпретации ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить математическую модель реального процесса: движение, изменение температуры или стоимость услуги; задать формулу, построить график на указанном промежутке и описать не менее пяти его свойств. | Формирует функциональную грамотность и навык создания модели; проверить реалистичность области определения, единицы измерения и обоснование вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что показывает абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$? Как определить область определения по рисунку? Чем проверяется правильность выбранной модели? Как по графику решить уравнение?»
