Числовая последовательность: способы задания и применение в заданиях ОГЭ
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать числовую последовательность, находить её члены по формуле или рекуррентному правилу и применять эти умения при решении не менее трёх учебных и экзаменационных заданий.
- Сформировать представление о числовой последовательности как функции, заданной на натуральных числах, и различать способы её задания: перечислением, формулой общего члена и рекуррентно.
- Научить находить отдельные члены последовательности по формуле общего члена и составлять первые члены по заданному правилу.
- Развивать умение читать математическую информацию, работать в паре, проверять вычисления и аргументировать выбор способа решения.
- Формировать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ и уверенность в том, что сложное задание можно разделить на последовательные шаги.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность последовательностей для описания изменений во времени, в финансах, информатике и естественных науках.
- Проявляют готовность спокойно разбирать экзаменационное задание по алгоритму, не подменяя решение угадыванием.
- Оценивают собственный прогресс и понимают, какие действия необходимо дополнительно потренировать.
- Развивают ответственное отношение к совместной работе и взаимной проверке результата.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и текста задания, переводят её в математическую запись.
- Планируют решение по алгоритму: определить способ задания, подставить номер члена, вычислить и проверить результат.
- Сравнивают два решения, находят вычислительную ошибку и формулируют исправленный вывод.
- Участвуют в парном обсуждении, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Используют цифровую таблицу или калькулятор только для проверки, сохраняя математическую запись решения.
Предметные
- Знать определение числовой последовательности и обозначение её членов $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$.
- Уметь определять первые члены последовательности, заданной формулой общего члена.
- Уметь находить значение $a_n$ при заданном натуральном $n$.
- Уметь распознавать рекуррентное задание последовательности и продолжать последовательность по правилу.
- Уметь решать типичные задания ОГЭ на вычисление члена числовой последовательности и проверять ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно решать задания на последовательности.
- Осознают связь математической модели с реальными процессами, изменяющимися по шагам.
- Преодолевают тревожность через использование понятного алгоритма решения.
- Оценивают собственную готовность к выполнению аналогичного задания ОГЭ.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока по результату, который можно проверить.
- Планируют порядок действий при вычислении члена последовательности.
- Осуществляют самопроверку подстановкой и сравнением с эталоном.
- Находят причину ошибки: неверно определён номер члена, ошибка в знаке или вычислении.
- Корректируют решение после взаимной проверки в паре.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные из формулы и условия задачи.
- Сравнивают задание перечислением, формулой общего члена и рекуррентным правилом.
- Устанавливают закономерность между номером члена и его значением.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью таблицы значений последовательности.
- Применяют анализ и проверку при выборе правильного ответа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют вопрос к условию и объясняют партнёру каждый шаг решения.
- Слушают альтернативное решение и корректно указывают на расхождение.
- Используют математические термины: «член последовательности», «номер члена», «формула общего члена».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением числовой последовательности, обозначениями $a_n$ и алгоритмом нахождения члена.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе, с заданиями трёх уровней.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с тремя заданиями: базовым, повышающим и заданием в формате ОГЭ.
- Распечатать эталон решения для самопроверки: по одному экземпляру на ученика или вывести его на экран после выполнения работы.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии и выхода из класса.
- Вывести на экран таблицу «Номер члена — значение члена» и жизненный пример изменения суммы накоплений по месяцам.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 6 минут для коротких этапов и карточки с инструкцией физкультминутки.
- Организовать свободное пространство у парт для двухминутной физкультминутки без спортивного оборудования.
- Проверить готовность доски, маркеров, проекторa и электронного калькулятора для демонстрации проверки, если используется ИКТ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Колонка 4 |
|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобится спокойная, последовательная работа: мы будем двигаться от простого наблюдения к заданию формата ОГЭ." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. | |
2 мин | Учитель показывает на экране ряд: 1000, 1100, 1200, 1300, ... и говорит: "Представьте, что это сумма ежемесячного пополнения накопительного счёта. Каждый месяц появляется новое значение. Как описать весь ряд одним математическим объектом? Сегодня мы узнаем, как работать с такими рядами и не теряться в экзаменационном задании." | Наблюдают за рядом, предполагают: "Это значения по месяцам", "У каждого числа есть свой номер", формулируют тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что ряд чисел может описывать изменение величины по шагам. Теперь вспомним, какие математические обозначения помогут нам точно указать каждый элемент этого ряда."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки подстановки, чтения формул и выявить готовность к новой теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $f(x)=2x+1$, затем обращается к классу: "Если вместо $x$ подставить 1, 2 и 3, какие значения получатся? Работайте по цепочке: сначала каждый считает самостоятельно, затем сравнивает результат с соседом." | Вычисляют $f(1)=3$, $f(2)=5$, $f(3)=7$, сверяют ответы с соседом. |
2 мин | Учитель раздаёт карточку с рядом 4, 7, 10, 13, ... и спрашивает: "Что меняется от числа к числу? Можно ли продолжить ряд? Обязательно объясните, какое действие выполняете." | В парах продолжают ряд: 16, 19, 22; формулируют: "Каждый следующий член на 3 больше предыдущего". |
2 мин | Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Назовите два вопроса, которые нужно задать о любом ряде чисел, чтобы описать его математически." Выслушивает 2–3 пары. | Обсуждают вопросы и предлагают: "Какой номер у числа? Как найти число с заданным номером?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем подставлять значения и видеть закономерность. Затруднение возникает, когда нужно дать название всему ряду и найти не только следующий, но и любой член. Поставим эту задачу точно."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и алгоритм её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $a_1=5$, $a_2=8$, $a_3=11$, ... и задаёт проблемный вопрос: "Как найти, например, $a_{20}$, не выписывая все двадцать чисел? Какие данные нам нужны?" | Предлагают: "Нужно знать закономерность", "Можно вывести формулу", замечают, что последовательность имеет номер каждого элемента. |
2 мин | Учитель подводит к цели: "Запишите тему: «Числовая последовательность». Сформулируйте цель урока одним предложением, используя слова «узнать», «научиться», «проверять»." | Записывают тему и формулируют цель: "Узнать способы задания последовательности, научиться находить её члены и проверять решение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена. Сначала введём язык последовательностей, затем разберём формулу общего члена и после этого применим алгоритм к заданиям, похожим на задания ОГЭ."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать понятие числовой последовательности и способы её задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Числовая последовательность — это функция, заданная на натуральных числах. Её значения называют членами последовательности и обозначают $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$. Индекс показывает номер члена, а не умножение. Посмотрите на запись $a_4=17$: как её прочитать?" | Записывают определение, отвечают: "$a_4$ — четвёртый член последовательности, его значение равно 17". |
3 мин | Учитель показывает три способа задания: "Последовательность можно задать перечислением: 2, 4, 6, 8, ...; формулой общего члена: $a_n=2n$; рекуррентно: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2$. Сравните записи и объясните, что в каждой из них сообщается." | В парах сравнивают записи и объясняют: перечисление показывает первые значения, формула позволяет найти любой член, рекуррентное правило связывает следующий член с предыдущим. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Пусть $a_n=3n-1$. Найдём первые три члена: подставим последовательно $n=1,2,3$. Затем найдём $a_7$. Записываем каждую подстановку, чтобы не потерять индекс." | Записывают: $a_1=3\cdot1-1=2$, $a_2=3\cdot2-1=5$, $a_3=3\cdot3-1=8$, $a_7=3\cdot7-1=20$. Формулируют алгоритм. |
Запись в тетрадях
- Числовая последовательность — функция, заданная на натуральных числах; её значения называют членами последовательности.
- Обозначение: $a_n$ — член последовательности с номером $n$.
- Алгоритм: определить номер нужного члена; подставить его в формулу; выполнить вычисления; проверить знак и результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть точный язык и алгоритм. Следующий шаг — проговорить его вслух на коротких заданиях, чтобы действие стало уверенным и автоматичным."
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и восстановить внимание перед вычислительной работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Выполним короткую физкультминутку «Последовательность». На счёт 1–2 поднимаем руки, на 3–4 опускаем; затем делаем четыре плавных наклона вправо и влево. Вспоминаем: каждое действие выполняется по порядку, как члены последовательности. Работаем без резких движений." | Встают, выполняют движения по счёту, делают вращение плечами и возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и готовы применять алгоритм уже в экзаменационном формате."
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметный контекст (8 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление членов последовательности и увидеть применение понятия в информатике и финансовой грамотности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "Дана последовательность $a_n=5n-2$. Найдите $a_1$, $a_4$ и $a_{10}$. Один ученик решает, второй проверяет правильность индекса и вычислений; затем поменяйтесь ролями." | Решают в парах: $a_1=3$, $a_4=18$, $a_{10}=48$; проверяющий отмечает подстановку номера. |
3 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу: "В программе значение переменной на каждом шаге задаётся формулой $b_n=2n+6$. Какое значение получит переменная на пятом и двенадцатом шаге? Объясните, почему номер шага играет роль индекса." | Вычисляют $b_5=16$, $b_{12}=30$, объясняют связь с нумерацией шагов алгоритма. |
2 мин | Учитель задаёт финансовый контекст: "Ежемесячное пополнение копилки описывается формулой $c_n=500+100n$, где $n$ — номер месяца. Сколько рублей внесено в третий месяц по этой модели? Не путайте сумму пополнения и номер месяца." | Находят $c_3=800$ рублей, проговаривают: "Подставили номер месяца 3 в формулу". |
Эталон решения
Для $a_n=5n-2$: $a_1=5\cdot1-2=3$; $a_4=5\cdot4-2=18$; $a_{10}=5\cdot10-2=48$. Для $b_n=2n+6$: $b_5=2\cdot5+6=16$, $b_{12}=2\cdot12+6=30$. Для $c_n=500+100n$: $c_3=500+100\cdot3=800$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили один и тот же алгоритм к математическому, информационному и финансовому контексту. Теперь каждый выполнит работу самостоятельно, чтобы проверить личную готовность."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала и подготовить ученика к типичному заданию ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и говорит: "Решайте самостоятельно, запись должна содержать формулу, подстановку и ответ. Задание 1: дана последовательность $a_n=4n-3$, найдите $a_6$. Задание 2: вычислите первые четыре члена последовательности $b_n=n^2-2$. Задание 3: последовательность задана рекуррентно: $c_1=4$, $c_{n+1}=c_n+3$. Найдите $c_4$. Сначала выполните обязательный минимум, затем переходите к следующему уровню." | Решают индивидуально: $a_6=21$; $b_1=-1$, $b_2=2$, $b_3=7$, $b_4=14$; $c_2=7$, $c_3=10$, $c_4=13$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и способ. Если ошибка есть, подчеркните место её появления: индекс, знак, арифметика или применение рекуррентного правила. Исправьте решение другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки, исправляют их и ставят знак самооценки: «+», «±» или «–». |
Эталон решения
$a_6=4\cdot6-3=21$. Далее: $b_1=1^2-2=-1$, $b_2=2^2-2=2$, $b_3=3^2-2=7$, $b_4=4^2-2=14$. Для рекуррентной последовательности: $c_2=4+3=7$, $c_3=7+3=10$, $c_4=10+3=13$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что основная трудность обычно связана не с формулой, а с вниманием к индексу. Завершим урок осмыслением результата и зафиксируем следующий шаг подготовки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели, снизить тревожность перед ОГЭ и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и говорит: "Выберите цвет: зелёный — могу найти член по формуле и объяснить способ; жёлтый — понимаю алгоритм, но иногда ошибаюсь; красный — нужна дополнительная помощь. На обороте запишите один вопрос, который ещё остался." | Выбирают стикер, записывают самооценку и вопрос, прикрепляют стикеры к доске в соответствующую колонку. |
2 мин | Учитель объясняет задание: "Обязательный уровень выполняют все. Повышающий выбирают те, кто хочет закрепить материал, дополнительный — по желанию. Перед выходом ответьте: что показывает индекс $n$ и чем формула общего члена отличается от перечисления?" | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "Индекс показывает номер члена", "Формула позволяет находить любой член по его номеру". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания, корректно записаны подстановки, различены формула общего члена и рекуррентное правило, решение можно проверить по записи.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, в третьем допущена одна вычислительная или техническая ошибка, общий алгоритм выбран правильно.
- «3» — выполнено обязательное задание на нахождение члена последовательности, но имеются ошибки в вычислениях или неполная запись решения; ученик может исправить ошибку после подсказки.
- «2» — ученик не смог применить алгоритм даже после повторного объяснения и не различает номер члена и его значение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое $a_n$ и какую информацию сообщает индекс $n$? | Проверка осознания основного понятия и математической записи. |
Какой порядок действий помогает найти член последовательности по формуле? | Выявление сформированности алгоритма решения. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение: индекс, знак, формула или вычисление? | Выявление конкретных точек затруднения для коррекции. |
Какой цвет стикера вы выбрали и какое действие поможет перейти на следующий уровень? | Формирование навыка самооценки и индивидуальной учебной цели. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за рядом чисел математическую модель — числовую последовательность. Главное правило: индекс показывает номер члена, а формула позволяет найти его значение; эти два понятия нельзя смешивать. Ошибка в одном индексе меняет весь ответ, поэтому подстановку нужно записывать внимательно. Вы уже умеете решать базовые задания, похожие на задания ОГЭ. На следующем уроке мы продолжим работу с последовательностями и рассмотрим более сложные закономерности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на нахождение $a_n$ по формуле общего члена и составить первые четыре члена двух заданных последовательностей. | Закрепляет подстановку номера в формулу; при проверке смотреть на индексы, знаки и наличие промежуточных вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: продолжить две последовательности, заданные рекуррентно, и найти указанный дальний член последовательности по формуле. | Закрепляет различение способов задания и перенос алгоритма на новые коэффициенты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о накоплениях, температуре или шагах алгоритма, описать ситуацию последовательностью, указать формулу и найти два её члена. | Развивает моделирование и создание математического текста; при проверке смотреть на смысл индекса и соответствие формулы условию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют числовой последовательностью?», «Как обозначают член с номером $n$?», «Как найти $a_8$, если дана формула $a_n$?», «Чем рекуррентное задание отличается от задания формулой общего члена?»
