Практикум «Системы линейных неравенств»
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: за 45 минут научиться решать системы линейных неравенств с одной переменной, изображать пересечение решений на числовой прямой и выполнять не менее 4 из 5 тренировочных заданий без ошибок.
- Закрепить алгоритм решения системы линейных неравенств: решить каждое неравенство, изобразить множества решений и найти их пересечение.
- Отработать применение правил преобразования неравенств, включая смену знака при умножении или делении на отрицательное число.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения, проверять результат и аргументировать ответ.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через выполнение заданий экзаменационного типа и формирование уверенности в последовательном алгоритме действий.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение аккуратного пошагового решения для успешного выполнения заданий ОГЭ и дальнейшего обучения.
- Проявляют ответственность за индивидуальный результат и готовность исправлять ошибки.
- Формируют уверенность в возможности справиться с заданием при соблюдении алгоритма.
- Понимают связь математической грамотности с профессиональным самоопределением и решением практических задач.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при решении системы и соотносят результат с поставленной целью.
- Выделяют существенные данные, сравнивают множества решений и устанавливают их пересечение.
- Используют числовую прямую как математическую модель ответа.
- Осуществляют взаимопроверку, находят ошибку в готовом решении и объясняют способ её исправления.
- Работают с заданиями экзаменационного формата, соблюдая инструкцию и ограничение времени.
Предметные
- Знать алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной.
- Уметь решать линейные неравенства, включая неравенства с отрицательным коэффициентом при переменной.
- Уметь изображать решения неравенств на координатной прямой и записывать ответ в виде промежутка или объединения промежутков.
- Уметь находить пересечение решений двух неравенств и проверять принадлежность числа найденному множеству.
- Владеть навыком выполнения и проверки заданий, аналогичных базовым заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за соблюдение алгоритма и запись каждого преобразования.
- Соотносят результат практикума с личной целью подготовки к ОГЭ.
- Развивают положительное отношение к исправлению ошибок как к способу обучения.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют критерий успешного выполнения практикума.
- Планируют решение системы по этапам: преобразование, изображение, пересечение, запись ответа.
- Контролируют смену знака неравенства при делении на отрицательное число.
- Сверяют решение с эталоном, фиксируют ошибку и выполняют коррекцию.
- Оценивают собственный результат по количеству верно выполненных заданий.
Познавательные УУД
- Выполняют анализ структуры системы и выделяют отдельные неравенства.
- Применяют правила равносильных преобразований и моделируют решение на числовой прямой.
- Сравнивают интервалы и определяют их общую часть.
- Находят логическую ошибку в готовом решении и объясняют её причину.
- Используют математическую запись для краткого и точного представления результата.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в парах различия между объединением и пересечением множеств решений.
- Формулируют устное объяснение каждого шага решения.
- Задают уточняющие вопросы о знаке неравенства и границах промежутка.
- Осуществляют взаимопроверку по предложенным критериям.
- Корректно аргументируют согласие или несогласие с решением одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с алгоритмом решения системы и двумя образцами числовых прямых.
- Распечатать индивидуальные карточки базового уровня по одной на каждого ученика и карточки повышенного уровня по одной на пару.
- Подготовить карточки для взаимопроверки с эталонами пяти тренировочных заданий — по одной на пару.
- Разместить на доске памятку: «При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется».
- Подготовить лист самооценки с графами «решил самостоятельно», «нашёл ошибку», «нужна помощь».
- Подготовить таймер или часы для ограничения времени выполнения заданий ОГЭ-формата.
- Обеспечить каждого ученика тетрадью, линейкой, ручкой и цветным карандашом для изображения числовой прямой.
- Распечатать по одному комплекту заданий трёх уровней на каждого ученика или разместить задания на экране.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» в конце практикума.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу, обозначить связь темы с форматом ОГЭ и снять избыточное напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас не обычное объяснение новой темы, а практикум. Мы будем тренироваться решать системы линейных неравенств так, как это требуется в заданиях экзаменационного типа. Важно не торопиться и проверять каждый знак." | Готовят тетради, линейки и ручки, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске план урока: "Сначала мы быстро восстановим алгоритм, затем решим задания вместе, выполним самостоятельную работу и разберём типичные ошибки. Поднимите руку, кто испытывает напряжение перед заданиями ОГЭ. Это нормально: сегодня мы превратим сложное задание в последовательность понятных шагов." | Поднимают руки при необходимости, формулируют ожидание: "Хочу научиться не путать пересечение и объединение" или "Хочу не ошибаться со знаком". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам не нужно угадывать ответ. Мы будем действовать по алгоритму и проверять себя на каждом шаге. Начнём с тех знаний, которые уже должны быть у нас в рабочем инструменте."
Этап 2. Актуализация правил (6 мин)
Цель этапа: восстановить правила решения линейных неравенств и подготовить учащихся к выполнению системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске неравенства $3x-5>7$ и $-2x+4\leq 10$: "Решите первое неравенство устно по шагам. Что делаем сначала? Почему во втором примере знак изменится?" | Решают устно и в тетради: "Переносим свободный член, затем делим на коэффициент при переменной"; формулируют: "При делении на отрицательное число знак меняется". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Верно — неверно»: "Покажите большой палец вверх, если утверждение верно. При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак меняется. При делении на отрицательное число знак меняется. Точка, входящая в решение, изображается пустой." | Показывают сигналы, исправляют утверждения: первое неверно, второе верно, третье неверно для строгого неравенства. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если первое неравенство даёт $x>2$, а второе — $x\leq 5$, как найти решение системы? Какой знак действия между множествами используем?" | Отвечают: "Нужно найти общую часть, то есть пересечение"; изображают на мини-прямой промежуток $(2;5]$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили решение отдельного неравенства и главное правило о смене знака. Теперь проверим, умеем ли мы применять эти правила не по отдельности, а в системе."
Этап 3. Постановка практической задачи и алгоритма (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать последовательность действий, которая будет использоваться при решении всех заданий практикума.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает систему $\begin{cases}2x-3>5\x+1\leq 6\end{cases}$ и спрашивает: "Можно ли сразу назвать ответ, не решив оба неравенства? Какой порядок действий сделает решение надёжным?" | Предлагают порядок: "Решить первое неравенство, решить второе, изобразить оба решения на одной прямой, найти общую часть, записать ответ". |
2 мин | Учитель оформляет на доске памятку: "Шаг 1 — решить каждое неравенство. Шаг 2 — отметить решения на одной числовой прямой. Шаг 3 — взять пересечение. Шаг 4 — записать ответ и проверить пробным числом. Этот алгоритм станет нашим критерием самопроверки." | Переписывают алгоритм в тетрадь, задают вопросы, отмечают цветом шаг, на котором чаще всего ошибаются. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть. Сейчас выполним его вместе на конкретной системе, а затем вы попробуете решить аналогичное задание самостоятельно."
Этап 4. Совместное выполнение задания и разбор ошибки (8 мин)
Цель этапа: отработать полный алгоритм решения системы и научиться обнаруживать типичную ошибку со знаком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает систему: $\begin{cases}3x-2\geq 7\\-2x+6>0\end{cases}$ и говорит: "Решаем по первому шагу. Не перепрыгиваем через преобразования. Для первого неравенства перенесите число, затем разделите на положительный коэффициент. Для второго сначала перенесите 6, затем вспомните, что произойдёт при делении на отрицательное число." | Записывают: $3x\geq 9$, $x\geq 3$; $-2x>-6$, $x<3$. Проговаривают: "Знак поменялся, потому что делили на отрицательное число". |
2 мин | Учитель показывает две числовые прямые: "Отметим $x\geq3$ и $x<3$. У первой граница закрашенная, у второй — пустая. Что остаётся в пересечении?" | Изображают обе прямые, отвечают: "Общих точек нет, поэтому решение системы — пустое множество". |
2 мин | Учитель демонстрирует ошибочное решение: $-2x>-6$, значит $x>3$: "Найдите ошибку и объясните, почему ответ неверен. Какое число можно подставить для проверки?" | В парах находят ошибку, формулируют: "При делении на отрицательное число знак должен измениться на противоположный"; предлагают проверить число $4$ и убеждаются, что оно не подходит исходному второму неравенству. |
Эталон решения
$3x-2\geq7$; $3x\geq9$; $x\geq3$. Второе неравенство: $-2x+6>0$; $-2x>-6$; при делении на $-2$ знак меняется: $x<3$. Пересечение множеств $[3;+\infty)$ и $(-\infty;3)$ пусто. Ответ: решений нет, $\varnothing$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что даже правильно решённые по отдельности неравенства могут дать пустое пересечение. Особенно внимательно проверяем границы и знак при делении на отрицательное число. Теперь переходим к заданиям, где каждый из вас выполнит все шаги самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях разного типа через совместное объяснение и взаимный контроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с двумя системами: $\begin{cases}x-4<2\\2x+1\geq5\end{cases}$ и $\begin{cases}5-x\geq2\x+3<7\end{cases}$. "В паре один ученик решает первое неравенство, второй — второе, затем вместе строите числовую прямую и находите пересечение. Через три минуты поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, читают условия, уточняют порядок действий. |
4 мин | Учитель наблюдает, задаёт вопросы: "Почему в первой системе граница включается? Где вы показали это на прямой? В каком месте второй системы знак меняется? Объясните партнёру не только ответ, но и причину каждого преобразования." | Решают системы, строят числовые прямые, объясняют партнёру решение. Получают ответы: $[2;6)$ и $(2;3]$ соответственно. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сверьте решения с эталоном на карточке. Если обнаружили расхождение, не стирайте сразу ошибку: обведите её и подпишите причину — перенос, деление, граница или пересечение." | Сверяют ответы, отмечают ошибки цветным карандашом, формулируют причину исправления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проговорили алгоритм вслух и увидели, где возникает ошибка. Теперь проверим личную готовность: каждый решит задания без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на заданиях базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выполните три обязательных задания. Записывайте все преобразования, изображайте пересечение на прямой. После этого можно выбрать одно дополнительное задание. Работайте самостоятельно, время — восемь минут." | Получают карточки, читают инструкцию, выбирают порядок выполнения. |
8 мин | Учитель предлагает задания: 1) $\begin{cases}2x+1>7\x-3\leq4\end{cases}$; 2) $\begin{cases}4-x\geq1\\2x+2<10\end{cases}$; 3) $\begin{cases}3x-6\leq0\\-x+5<2\end{cases}$. Для закончивших раньше: $\begin{cases}2(x-1)>x+3\\3x-1\leq2x+4\end{cases}$. | Решают индивидуально, записывают промежуточные преобразования, строят числовые прямые. Ожидаемые ответы: 1) $(3;7]$; 2) $[-2;3)$; 3) $[2;+\infty)$; дополнительное: $(5;+\infty)\cap(-\infty;5]=\varnothing$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверяем не только конечный ответ. Поставьте плюс рядом с верно выполненным шагом и треугольник рядом с местом, которое нужно исправить. Самооценка должна показывать, что именно улучшать." | Сверяют решения по шагам, исправляют ошибки другим цветом, заполняют лист самооценки: количество верных заданий и тип допущенной ошибки. |
Эталон решения
1) $2x+1>7$, $2x>6$, $x>3$; $x-3\leq4$, $x\leq7$; ответ $(3;7]$. 2) $4-x\geq1$, $-x\geq-3$, $x\leq3$; $2x+2<10$, $x<4$; ответ $(-\infty;3]$. 3) $3x-6\leq0$, $x\leq2$; $-x+5<2$, $-x<-3$, $x>3$; пересечение пусто, ответ $\varnothing$. Дополнительное: $2x-2>x+3$, $x>5$; $3x-1\leq2x+4$, $x\leq5$; пересечение пусто.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала не только количество правильных ответов, но и характер ошибок. Если ошибка появилась в одном шаге, её можно исправить точечно. Осталось обобщить, как распознавать разные ситуации на числовой прямой."
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы проверки, оценить собственный результат и определить дальнейший шаг подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно решить систему и изобразить пересечение; жёлтую — если иногда путаете границы или знак; красную — если нужен разбор первого шага. Назовите одну конкретную трудность, а не просто слово «непонятно»." | Поднимают карточки, формулируют: "Мне нужно внимательнее менять знак при делении на отрицательное число" или "Я путаю включённую и невключённую границу". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что является решением системы? Что проверяем после преобразований? Как изображается решение $x\geq a$? Что означает пустое пересечение?" | Отвечают: "Общая часть решений всех неравенств"; "знак и принадлежность границ"; "закрашенная точка и луч вправо"; "система не имеет решений". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерий: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Обязательная часть нужна всем, повышающая — тем, кто выполнил базовую без ошибок, дополнительная — тем, кто хочет проверить себя на усложнённой записи." | Записывают выбранный уровень, отмечают личную цель на следующую тренировку. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 обязательных задания, корректно применены правила преобразования, правильно изображены границы и пересечения; решение дополнительного задания выполнено без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены 2 обязательных задания из 3, допущена одна исправленная вычислительная ошибка или неточность в записи промежутка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнено не менее 1 обязательного задания, ученик понимает общий алгоритм, но допускает ошибки в смене знака, изображении границ или нахождении пересечения.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость индивидуально разобрать один пример каждого типа и повторить правило смены знака при делении на отрицательное число.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения системы вы теперь выполняете уверенно? | Выявление освоенной части алгоритма и фиксация личного успеха. |
На каком шаге вы допустили или могли допустить ошибку? | Выявление точек затруднения: преобразование, знак, граница или пересечение. |
Как вы проверите, что найденный промежуток действительно является решением? | Проверка понимания подстановки и смысла пересечения множеств. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и ответственности за индивидуальную траекторию подготовки к ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы увидели, что система линейных неравенств решается не угадыванием, а последовательным алгоритмом: решить каждое неравенство, изобразить решения и найти их пересечение. Самая частая ошибка — забыть изменить знак при делении на отрицательное число или неверно обозначить границу промежутка. Если вы будете проговаривать каждый шаг и выполнять короткую проверку подстановкой, число ошибок будет уменьшаться. На следующем уроке мы продолжим тренировку и разберём задачи, в которых неравенства входят в текстовую ситуацию."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 системы линейных неравенств с одной переменной: две с положительным коэффициентом при переменной, одну с отрицательным коэффициентом и одну с пустым пересечением. Для каждой построить числовую прямую и записать ответ. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на смену знака, вид границ и правильность пересечения. |
Средний (повышающий) | Решить 5 систем, в которых требуется раскрыть скобки и привести подобные слагаемые; выполнить проверку одного выбранного ответа подстановкой подходящего числа. | Развивает применение алгоритма в усложнённой записи; проверить равносильность преобразований и обоснованность выбранного числа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные системы: одну с решением в виде ограниченного промежутка, вторую без решений. Решить их подробно и объяснить, почему получился именно такой результат. | Развивает создание математической модели и умение аргументировать вид множества решений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает решение системы? Когда знак неравенства меняется? Чем отличаются закрашенная и пустая точки? Как найти общую часть двух промежутков? Что нужно сделать, если пересечение оказалось пустым?»
