Построение и анализ графиков функций. Алгоритм исследования функций
Цели и задачи
- Цель: к концу урока систематизировать алгоритм исследования квадратичной функции и применить его к построению графика функции $y=x^2-6x+5$, определению значений функции, нулей, промежутков знакопостоянства, монотонности и множества значений.
- Закрепить умения находить область определения функций, определять чётность и нечётность по формуле и анализировать основные свойства функции по её графику.
- Развивать умение последовательно выполнять математическое исследование, выделять существенные данные и проверять полученный результат по графику.
- Формировать навыки фронтальной работы у доски и самопроверки по алгоритму.
- Поддерживать уверенность учащихся через разбор доступных типовых примеров.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую значимость последовательного алгоритма исследования функции для успешного выполнения учебных заданий.
- Проявляет готовность спокойно проверять решение и исправлять ошибки, не воспринимая затруднение как неудачу.
- Формирует ответственное отношение к записи математического решения и аргументации ответа.
- Развивает положительную мотивацию к повторению алгебраического материала.
Метапредметные
- Умеет извлекать информацию из формулы и графика функции, сопоставляя аналитическое и графическое представления.
- Планирует решение по предложенному алгоритму и контролирует последовательность выполненных действий.
- Формулирует краткий математический вывод по результатам исследования.
- Участвует во фронтальном обсуждении, сравнивает свой ответ с ответом у доски и обосновывает исправления.
Предметные
- Знать способы нахождения области определения целой, дробно-рациональной и коренной функций.
- Уметь определять чётность и нечётность функции по равенству $f(-x)=f(x)$ или $f(-x)=-f(x)$ с учётом области определения.
- Уметь строить график функции $y=x^2-6x+5$ по координатам вершины и нулям.
- Уметь находить по формуле и графику значения функции, нули, промежутки знакопостоянства, промежуток возрастания и множество значений.
- Уметь находить параметр $a$, если наименьшее значение функции $y=x^2+2x+a$ задано.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать смысл изучения свойств функций для решения практических и экзаменационных задач.
- Оценивать собственную готовность выполнить аналогичное задание самостоятельно.
- Проявлять настойчивость при проверке вычислений и построении графика.
- Выбирать корректный способ исправления обнаруженной ошибки.
Регулятивные УУД
- Принимать учебную цель и удерживать её в течение урока.
- Планировать исследование функции по пунктам алгоритма.
- Проверять координаты вершины, нули и значения функции подстановкой.
- Оценивать полноту решения по контрольному списку и корректировать запись.
Познавательные УУД
- Выделять ограничения переменной в формулах дробной и коренной функций.
- Сравнивать функцию и её значение при противоположном аргументе.
- Исследовать квадратичную функцию в общем виде y=ax²+bx+c по её коэффициентам, дискриминанту и графику.
- Строить математическую модель свойства функции и делать вывод по графику.
Коммуникативные УУД
- Слушать объяснение решения у доски и фиксировать существенные шаги.
- Формулировать ответы полными математическими фразами.
- Задавать уточняющие вопросы о промежутках знакопостоянства и монотонности.
- Корректно сравнивать собственное решение с решением одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску, мел или маркеры, линейку и координатную сетку для построения параболы без презентации.
- Заранее разделить доску на три зоны: алгоритм исследования, фронтальные задания, итоговая проверка.
- Написать на доске памятку: область определения; чётность; коэффициенты a, b, c; нули; знак функции; возрастание и убывание; множество значений.
- Подготовить один экземпляр листа с заданиями из источника для работы учителя у доски; учащимся распечатанные листы не выдавать.
- Подготовить отдельные карточки с формулами дробной и коренной функций для устного разбора ограничений.
- Приготовить линейку и несколько запасных листов в клетку для учащихся, строящих график у доски.
- Подготовить контрольный список самопроверки: коэффициенты, нули, значение при заданном аргументе, решение уравнения, знак функции, монотонность, множество значений.
- Учебники можно использовать только как вспомогательный материал; номера и формулировки заданий на уроке берутся из приложенного источника и предъявляются учителем на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и показать, что исследование функции выполняется по понятному алгоритму, а не методом случайного перебора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня лист с заданиями находится у меня, поэтому все условия и решения будем фиксировать на доске и в тетрадях. Наша задача — спокойно собрать в одну систему уже известные способы исследования функций." | Проверяют готовность, кладут перед собой тетради, ручки и линейки. |
2 мин | Учитель записывает тему на доске и обращается к классу: "Поднимите руки те, кто встречал задания о графике, нулях функции или промежутках возрастания. Сегодня мы разберём именно такую последовательность действий. Если идти по алгоритму, большое задание распадается на короткие понятные шаги." | Записывают тему, отвечают: "Да, такие задания встречаются", формулируют ожидание: "Нужно вспомнить порядок исследования функции". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили практическую цель урока. Сначала вспомним базовые ограничения и свойства функций, затем построим график и по нему выполним полное исследование."
Этап 2. Актуализация знаний: область определения и чётность (6 мин)
Цель этапа: повторить способы нахождения области определения и проверки чётности или нечётности функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает или записывает на доске три формулы из задания №1: "$y=x^4+6x-2$", "$y=\frac{1}{6x^2-5x-1}$", "$y=\sqrt{4x+1}$". Учитель говорит: "Работаем фронтально. Для первой функции ограничений нет. Во второй знаменатель не может быть равен нулю. В третьей выражение под корнем должно быть неотрицательным. Назовите ограничения и область определения каждой функции." | Переписывают формулы в тетрадь и записывают решения: для первой функции $D(y)=\mathbb R$; для второй исключают корни уравнения $6x^2-5x-1=0$; для третьей решают неравенство $4x+1\geq 0$ и получают $x\geq -\frac14$. |
3 мин | Учитель переходит к заданию №2: "$f(x)=5x^4-3x^2$, $f(x)=-\frac{2}{x^3}$, $f(x)=\sqrt{6-x}$. Проверим чётность. Подставьте вместо $x$ число $-x$ и сравните результат с исходной функцией. Не забывайте сначала проверить симметричность области определения относительно нуля." | Переписывают формулы, вычисляют и формулируют ответы: "$5x^4-3x^2$ — чётная функция"; "$-\frac{2}{x^3}$ — нечётная функция"; "$\sqrt{6-x}$ — ни чётная, ни нечётная, поскольку область определения не симметрична относительно нуля". |
Запись в тетрадях
- Для дробно-рациональной функции знаменатель не равен нулю.
- Для коренной функции подкоренное выражение неотрицательно.
- Функция чётная, если $f(-x)=f(x)$; функция нечётная, если $f(-x)=-f(x)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как быстро определить область допустимых значений и вид симметрии функции. Теперь применим эти навыки к главному заданию урока — полному исследованию квадратичной функции по её графику."
Этап 3. Постановка проблемы и алгоритма исследования (4 мин)
Цель этапа: выделить последовательность действий, которая позволит не пропустить свойства функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель пишет функцию y=x²−6x+5 и спрашивает: «Если я просто построю параболу, смогу ли сразу ответить на все вопросы задания? Какие характеристики нужно найти, чтобы исследование было полным?» | Называют пункты: область определения, коэффициенты, нули, значение функции, решение уравнения по графику, знакопостоянство, возрастание и убывание, множество значений. |
2 мин | Учитель фиксирует общий алгоритм без специальных формул: «Сначала определяем область определения и рассматриваем коэффициенты a, b, c. Затем находим нули, строим график по нескольким точкам и исследуем его положение и направление изменения. В конце проверяем все ответы по формуле и графику». | Записывают алгоритм, задают вопросы о связи коэффициентов, нулей и свойств графика. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть. Сейчас по этим шагам построим одну параболу и получим все ответы из задания №3, не выполняя лишних действий."
Этап 4. Построение графика и открытие свойств функции (10 мин)
Цель этапа: фронтально построить график функции $y=x^2-6x+5$ и связать элементы графика с её свойствами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает функцию y=x²−6x+5 и предлагает исследовать её в общем виде: «Определим коэффициенты a=1, b=−6, c=5. Найдём нули решением уравнения x²−6x+5=0: (x−1)(x−5)=0. По знаку коэффициента a устанавливаем, что ветви направлены вверх. Для построения возьмём нули, точку пересечения с осью Oy и симметричные точки». | Записывают коэффициенты, находят нули x=1 и x=5, отмечают точки (1;0), (5;0), (0;5) и дополнительные точки, делают вывод о направлении ветвей. |
3 мин | Учитель строит график по найденным точкам и оси симметрии, полученной из симметрии корней: середина отрезка между нулями равна 3. Затем отмечает значение функции в этой точке: y(3)=−4. | Строят график в тетрадях, отмечают точки (0;5), (2;−3), (3;−4), (4;−3), (6;5), проводят ось симметрии x=3. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы по готовому графику: «Где график расположен ниже оси Ox? Где выше? На каком промежутке функция убывает и на каком возрастает? Какое наименьшее значение видно по графику?» | Формулируют: функция отрицательна при 1<x<5, положительна при x<1 и x>5, убывает на (−∞;3], возрастает на [3;+∞), наименьшее значение равно −4. |
Запись в тетрадях
Записать: коэффициенты квадратного трёхчлена a=1, b=−6, c=5; нули x₁=1, x₂=5; ось симметрии проходит через середину нулей, x=3; значение в точке оси симметрии равно y(3)=−4; D(y)=ℝ; E(y)=[−4;+∞). График — парабола с ветвями вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "График построен, и теперь его элементы сразу дают основные свойства функции. Переходим к точечным вопросам задания: научимся читать с графика конкретные значения и проверять их вычислением."
Этап 5. Первичное закрепление по заданию №3 (9 мин)
Цель этапа: закрепить чтение графика и связать каждый ответ с конкретным способом рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель пишет: "Пункт а): найдите значение функции при $x=0{,}5$. Сначала подставляем число в формулу, затем при необходимости сверяем положение точки с графиком: $y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5$. Выполните вычисление устно по шагам." | Вычисляют: $y=0{,}25-3+5=2{,}25$. Записывают ответ $f(0{,}5)=2{,}25$, находят на графике точку с абсциссой $0{,}5$ и ординатой примерно $2{,}25$. |
3 мин | Учитель формулирует пункт б): "Найдите значения $x$, при которых $y=-1$. Это горизонтальная прямая $y=-1$. На доске проведём её мысленно: сколько пересечений с параболой? Решите уравнение $x^2-6x+5=-1$ и сравните с графиком." | Решают: $x^2-6x+6=0$, $D=36-24=12$, $x=\frac{6\pm\sqrt{12}}2=3\pm\sqrt3$. Формулируют ответ: $x=3-\sqrt3$ и $x=3+\sqrt3$, примерно $1{,}27$ и $4{,}73$. |
3 мин | Учитель просит завершить исследование: "Назовите нули, промежутки знакопостоянства, промежутки убывания и возрастания, множество значений. Ответ проговариваем полными фразами и сверяем с памяткой." | Фронтально называют и записывают: нули $1$ и $5$; $y>0$ на $(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$; $y<0$ на $(1;5)$; функция убывает на $(-\infty;3]$ и возрастает на $[3;+\infty)$; $E(y)=[-4;+\infty)$. |
Эталон решения
$f(0{,}5)=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25$. Для $y=-1$: $x^2-6x+5=-1$, $x^2-6x+6=0$, $D=12$, поэтому $x=\frac{6\pm\sqrt{12}}2=3\pm\sqrt3$. Так как ветви параболы направлены вверх, ниже оси $Ox$ график находится между нулями, а наименьшее значение достигается в вершине.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один график отвечает сразу на несколько вопросов, но каждый ответ нужно связывать с точным признаком: пересечение с осью, положение выше или ниже оси, направление ветвей и вершина. Теперь проверим, сможете ли вы самостоятельно восстановить этот алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание алгоритма на коротких заданиях, которые учитель последовательно записывает на доске.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель говорит: "Выполните самостоятельно короткую проверку. Запишите только необходимые действия. 1) Для функции $y=\sqrt{4x+1}$ найдите область определения. 2) Определите, является ли функция $f(x)=5x^4-3x^2$ чётной или нечётной. 3) Для функции $y=x^2+2x+a$ найдите $a$, если её наименьшее значение равно $-25$. Сначала решайте сами, вопросы пока отмечайте знаком вопроса." | Решают индивидуально: $x\geq-\frac14$; $f(-x)=f(x)$, функция чётная; $y=(x+1)^2+a-1$, минимум равен $a-1$, поэтому $a-1=-25$ и $a=-24$. |
3 мин | Учитель записывает эталон на доске: "Проверьте не только ответ, но и ход. В первом задании должно быть неравенство под корнем, во втором — сравнение $f(-x)$ с $f(x)$, в третьем — выделение полного квадрата. Отметьте в тетради количество верных решений." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают место ошибки, ставят себе отметку: три верных решения — полный результат, два — нужно повторить один алгоритм, одно — обратиться за разбором. |
Эталон решения
1) 4x+1≥0, поэтому x≥−1/4. 2) f(−x)=5(−x)⁴−3(−x)²=5x⁴−3x²=f(x), следовательно, функция чётная. 3) Для функции y=x²+2x+a рассматриваем общий вид и находим значение в вершине по исследованию графика: минимум достигается при x=−1 и равен a−1. По условию a−1=−25, откуда a=−24.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная проверка показала, что базовые алгоритмы можно применять без сложных преобразований. Осталось зафиксировать, какие шаги уже стали уверенными, а какие нужно повторить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, снять тревожность перед типовыми заданиями и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Светофор": "Покажите пальцами или отметьте в тетради цвет. Зелёный — могу построить и исследовать параболу; жёлтый — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в вычислениях; красный — нужна помощь с отдельным шагом. Назовите один пункт, который сегодня стал понятнее." | Показывают выбранный цвет, формулируют: "Теперь понимаю, как находить нули", "Нужно повторить множество значений", "Умею выделять полный квадрат". |
3 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что показывает вершина параболы, как найти нули и как определить промежуток, где функция отрицательна? Важно не угадывать ответ по рисунку, а связывать его с формулой или свойством графика." | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "Вершина даёт экстремальное значение", "Нули находятся при $y=0$", "Знак функции читается по положению графика относительно оси $Ox$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы повторили полный алгоритм исследования функции и применили его к графику параболы. На следующем уроке продолжим решать задания, где свойства функции нужно будет использовать для выбора ответа и аргументации решения."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все три задания самостоятельной проверки, записаны основные преобразования, корректно указаны область определения, чётность и параметр $a$.
- "4" — верно выполнены два задания из трёх, а в третьем допущена одна вычислительная или оформительская ошибка при правильном способе решения.
- "3" — верно выполнено одно задание или в двух заданиях выбран правильный алгоритм, но допущены существенные ошибки в вычислениях.
- Результаты построения графика оцениваются дополнительно: учитываются вершина, нули, направление ветвей, ось симметрии и указание множества значений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более понятного вы сегодня узнали об исследовании функции? | Выявление осознания алгоритма и связи между формулой и графиком. |
Какой шаг исследования параболы оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения: вершина, нули, знакопостоянство или монотонность. |
Что нужно проверить в своей записи перед сдачей задания? | Формирование навыка самоконтроля и предупреждение типичных ошибок. |
Насколько уверенно вы выполните аналогичное задание: уверенно, с подсказкой или пока затрудняетесь? | Субъективная оценка готовности и планирование индивидуальной помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы собрали в единую систему исследование функции: нашли область определения, построили параболу, определили нули, знакопостоянство, монотонность и множество значений. Запомните типичную ошибку: нельзя путать промежутки, где функция возрастает, с промежутками, где её значения положительны. Каждый вывод нужно связывать либо с формулой, либо с конкретным элементом графика. На следующем уроке продолжим тренировку типовых заданий и будем постепенно сокращать количество подсказок.",
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Повторить решение задания №3 из источника: построить график $y=x^2-6x+5$ и письменно указать значение при $x=0{,}5$, значения $x$ при $y=-1$, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и множество значений. | Закрепляет полный алгоритм исследования; при проверке смотреть на правильность вершины, нулей и интервалов. |
Средний (повышающий) | Выполнить задания №1 и №2 из источника для всех подпунктов: найти области определения трёх функций и определить чётность или нечётность трёх функций с обязательной записью проверки. | Закрепляет работу с ограничениями и равенством $f(-x)$; при проверке смотреть на обоснование, а не только на итоговый ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Выполнить задание №4 из источника: для функции $y=x^2+2x+a$ найти параметр $a$, если наименьшее значение равно $-25$, и дополнительно объяснить, при каком значении аргумента достигается минимум. | Развивает умение выделять полный квадрат и связывать параметр с координатами вершины; при проверке смотреть на преобразование формулы и вывод о минимуме. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти область определения функции с корнем?», «Как доказать, что функция чётная?», «Какие координаты имеет вершина графика $y=x^2-6x+5$?», «В каком случае функция $y=x^2-6x+5$ принимает отрицательные значения?»
Время | Дополнительное задание учителя | Ожидаемый результат учащихся |
|---|---|---|
10 мин | Для функций y=2x−4 и y=−x+2 найдите область определения, нули и координаты точек пересечения графика с осями координат. Сравните полученные графики. | Записывают D(y)=ℝ, находят нули и строят две прямые по двум точкам. |
12 мин | Исследуйте функцию y=−x²+4x+5 в общем виде: определите коэффициенты, нули, направление ветвей, ось симметрии по симметрии корней, множество значений, промежутки возрастания и убывания. | Решают уравнение нулей, получают корни −1 и 5, находят середину корней x=2, вычисляют y(2)=9 и оформляют основные свойства параболы. |
8 мин | Найдите значения параметра a, при которых функция y=x²−4x+a имеет два нуля, один нуль или не имеет нулей. Обоснуйте ответ через дискриминант. | Рассматривают дискриминант D=16−4a и получают соответствующие условия для параметра. |
10 мин | Проведите исследование функций y=(x−1)²−3, y=−(x+2)²+4 и y=x²+6x+5, предварительно записав их в общем виде и сопоставив с координатами вершин, направлением ветвей и множествами значений. | Раскрывают скобки, определяют коэффициенты, находят нули или исследуют график по точкам и объясняют связь коэффициента при квадрате с направлением ветвей. |
5 мин | Проведите взаимопроверку по доске: проверьте коэффициенты, нули, ось симметрии, направление ветвей и множество значений в одном из решений. | Находят и исправляют ошибки по контрольному списку. |
