Уравнения с одной переменной: равносильные преобразования и проверка корней
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать линейные уравнения и простейшие дробно-рациональные уравнения с одной переменной, обосновывать равносильность преобразований и проверять полученный корень.
- Научиться распознавать уравнение, его корень и область допустимых значений переменной.
- Освоить алгоритм решения уравнений с раскрытием скобок, приведением подобных слагаемых и переносом членов из одной части уравнения в другую.
- Развивать умение анализировать преобразования, находить типичные ошибки и аргументированно объяснять ход решения.
- Формировать ответственное отношение к математической записи и снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через работу по понятному алгоритму и самопроверку.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения решать уравнения для дальнейшего обучения и профессионального самоопределения.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять её без отказа от выполнения задания.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и оформлению математического решения.
- Оценивают собственную готовность к выполнению базового задания экзаменационного формата.
Метапредметные
- Формулируют цель работы и планируют последовательность преобразований уравнения.
- Извлекают информацию из записи уравнения, таблицы и интерактивного задания.
- Сравнивают два способа решения, выявляют ошибочный переход и объясняют причину ошибки.
- Работают в паре, аргументируют ответ и используют цифровой ресурс для самопроверки.
- Осуществляют пошаговый контроль и корректируют решение по эталону.
Предметные
- Знать понятия «уравнение», «корень уравнения», «равносильные уравнения», «область допустимых значений».
- Уметь решать линейные уравнения вида $ax+b=cx+d$ с проверкой корня.
- Уметь раскрывать скобки, переносить слагаемые и приводить подобные слагаемые.
- Уметь находить недопустимые значения переменной в простейших дробно-рациональных уравнениях.
- Уметь оформлять решение в формате, близком к базовым заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться решать уравнения без пропуска существенных шагов.
- Соотносят результат работы с требованиями к математической грамотности и экзаменационной подготовке.
- Проявляют настойчивость при поиске причины ошибки.
- Осознают значение самопроверки для уверенного выполнения заданий.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение уравнения по предложенному алгоритму.
- Проверяют корень подстановкой в исходное уравнение.
- Оценивают работу по критериям и вносят исправления.
- Фиксируют затруднение и выбирают способ его устранения.
Познавательные УУД
- Выделяют неизвестное, коэффициенты и ограничения на переменную.
- Устанавливают причинно-следственные связи между преобразованием и изменением множества корней.
- Сравнивают равносильные и неравносильные преобразования.
- Моделируют алгоритм решения в виде последовательности шагов.
- Используют экранную схему и математическую запись как источники информации.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру значение выполненного преобразования.
- Задают уточняющие вопросы о допустимости шага.
- Согласовывают общий ответ в паре и представляют его классу.
- Корректно обсуждают ошибочное решение, отделяя ошибку от личности ученика.
- Используют математические термины в устном объяснении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемным уравнением, алгоритмом решения, двумя вариантами ученических решений и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего 15–16 карточек, с заданиями трёх уровней.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика, с базовым и повышенным заданием.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Вывести на доску памятку: «ОДЗ — раскрыть скобки — перенести слагаемые — привести подобные — найти корень — проверить».
- Подготовить таймер на 2, 4 и 6 минут и интерактивный тест для мгновенной проверки двух ответов.
- Разместить на экране таблицу с форматом базового задания ОГЭ и напоминанием: «Ответ без проверки может быть ошибочным».
- Подготовить листы с межпредметным контекстом: расчёт стоимости поездки по формуле с неизвестным расстоянием.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки; подготовить слайд с короткой инструкцией для безопасных движений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую и экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора только для проверки вычислений. Сегодня мы будем не просто решать уравнения, а учиться видеть, какие преобразования сохраняют ответ. Это умение понадобится и в дальнейшей математике, и при выполнении базовых заданий ОГЭ." | Проверяют готовность к уроку, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране запись: $3(x-2)+5=2x+7$, и задаёт вопрос: "Представьте, что это фрагмент расчёта стоимости поездки или расхода материала. Как найти неизвестную величину? Почему одного быстрого ответа недостаточно?" Учитель фиксирует ответы и сообщает проблемный вопрос: "Как преобразовывать уравнение так, чтобы не потерять его корни?" | Рассматривают уравнение, предлагают ответы: "Нужно выразить неизвестную", "Нужно выполнить одинаковые действия с обеими частями", "Нужно проверить найденное значение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что уравнение — это не только вычислительный пример, а модель некоторой ситуации. Теперь вспомним, какие действия с выражениями уже умеем выполнять и где может возникнуть ошибка."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные навыки преобразования выражений и активизировать внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель запускает приём «Математический светофор»: "На экране четыре утверждения. Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если нужно уточнение, красную — если оно неверно. Первое: при переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется. Второе: $2(x+3)=2x+3$. Третье: корень уравнения — значение переменной, превращающее равенство в верное. Четвёртое: к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число." После каждого ответа просит краткое обоснование. | Поднимают карточки, объясняют: первое, третье и четвёртое утверждения верны; второе неверно, потому что $2(x+3)=2x+6$. Записывают исправленное равенство. |
1 мин | Учитель говорит: "Выполним короткую физкультминутку для переключения внимания. На слово «скобки» вытяните руки вперёд, на слово «перенос» поверните корпус вправо и влево, на слово «проверка» сделайте глубокий вдох и выдох. Движения выполняем спокойно, не касаясь соседей." | Выполняют движения по сигналу учителя, проговаривают ключевые слова. |
1 мин | Учитель демонстрирует два выражения и просит устно упростить: $4x+3x-5$ и $2(3x-1)$. "Назовите не только ответ, но и действие, которое выполняете." | Отвечают: "$7x-5$, привели подобные слагаемые"; "$6x-2$, раскрыли скобки". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили раскрытие скобок, перенос слагаемых и приведение подобных. Теперь проверим, достаточно ли этих действий, чтобы решить предложенное уравнение без потери корней."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм безопасного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает решить уравнение: $3(x-2)+5=2x+7$. "Работайте индивидуально одну минуту. Запишите все шаги, которые считаете необходимыми. Если возникло затруднение, подчеркните место, где оно появилось." | Индивидуально раскрывают скобки, переносят слагаемые, получают предполагаемый корень $x=8$ или фиксируют затруднение. |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните решения с соседом. Обсудите, какие преобразования были одинаковыми для обеих частей и почему результат можно считать правильным. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Сравнивают записи в парах, формулируют цель: "Научиться решать уравнения с одной переменной с помощью равносильных преобразований и проверять корень". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с одной формулой, а с последовательностью действий и контролем результата. Сначала построим общий алгоритм, затем применим его к заданиям, похожим на экзаменационные."
Этап 4. Открытие нового знания: алгоритм равносильных преобразований (9 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно зафиксировать алгоритм решения уравнения с одной переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске решение: "Рассмотрим уравнение $3(x-2)+5=2x+7$. Раскрываем скобки: $3x-6+5=2x+7$. Приводим подобные: $3x-1=2x+7$. Переносим содержащие переменную слагаемые в левую часть, числа — в правую: $3x-2x=7+1$. Получаем $x=8$. Каждый шаг должен быть понятен и обратим. Именно такие преобразования называют равносильными, если они сохраняют множество корней." | Записывают решение по шагам, подчёркивают действия «раскрыли скобки», «привели подобные», «перенесли», «проверили». |
3 мин | Учитель дополняет алгоритм: "Если в уравнении есть дроби со знаменателями, сначала определяем ОДЗ. Например, в уравнении $\frac{x+1}{x-2}=3$ значение $x=2$ недопустимо. Поэтому сначала записываем $x\ne2$, затем решаем уравнение и обязательно проверяем найденный корень в исходной записи." | Записывают ограничение $x\ne2$, объясняют, почему деление на ноль недопустимо, формулируют правило проверки. |
2 мин | Учитель просит класс завершить памятку: "Посмотрите на пять шагов на экране и добавьте шестой. Что мы делаем после нахождения корня? Почему нельзя сразу переходить к ответу?" | Дополняют алгоритм: «Проверяем корень подстановкой в исходное уравнение». Формулируют: «Проверка обнаруживает ошибку в преобразованиях или вычислениях». |
Запись в тетрадях
Алгоритм решения: 1) определить ОДЗ, если есть знаменатели; 2) раскрыть скобки; 3) привести подобные слагаемые; 4) перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую; 5) найти корень; 6) выполнить проверку в исходном уравнении.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм теперь перед нами. Но знание алгоритма становится умением только тогда, когда мы можем объяснить каждый шаг и заметить чужую ошибку. Переходим к парной работе."
Этап 5. Первичное закрепление в парах и межпредметное применение (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм при решении уравнения и применить его в жизненном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Решите уравнение $5(2x-1)-3x=4x+12$. Один ученик выполняет преобразования, второй после каждого шага задаёт вопрос: «Почему этот шаг допустим?» Затем поменяйтесь ролями. В конце выполните проверку." | В парах раскрывают скобки: $10x-5-3x=4x+12$; приводят подобные: $7x-5=4x+12$; получают $3x=17$, $x=\frac{17}{3}$; проверяют подстановкой. |
2 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу: "Расход топлива автомобиля описывается формулой $C=0{,}08s+2$, где $s$ — расстояние в сотнях километров, а $C$ — расход в литрах. При расходе $6$ литров найдите расстояние. Запишите уравнение и объясните смысл ответа." | Составляют $0{,}08s+2=6$, решают $0{,}08s=4$, $s=50$. Формулируют: «Автомобиль проехал 50 сотен километров, то есть 5000 км». После обсуждения обнаруживают, что такой результат нереалистичен для заданной модели и предлагают проверить единицы измерения. |
2 мин | Учитель корректирует модель: "Вернёмся к смыслу величин: пусть $s$ — расстояние в километрах, а формула имеет вид $C=0{,}08s+2$. При $C=6$ получаем $s=50$ км. Что изменилось? Почему важно читать условие, а не только выполнять вычисления?" | Исправляют интерпретацию, записывают ответ $50$ км, объясняют значение единиц и необходимость смысловой проверки. |
Эталон решения
$5(2x-1)-3x=4x+12$; $10x-5-3x=4x+12$; $7x-5=4x+12$; $7x-4x=12+5$; $3x=17$; $x=\frac{17}{3}$. Проверка: $5(2\cdot\frac{17}{3}-1)-3\cdot\frac{17}{3}=\frac{155}{3}$, правая часть $4\cdot\frac{17}{3}+12=\frac{104}{3}$; следовательно, в исходной записи карточки допущена ошибка в ожидаемом промежуточном равенстве, и ученики должны повторно проверить перенос. Корректное решение исходного уравнения: $10x-5-3x=4x+12$, $7x-5=4x+12$, $3x=17$, но проверка показывает несоответствие; значит, исходное уравнение имеет ошибку в условии карточки и подлежит замене учителем на $5(2x-1)-3x=4x+\frac{104}{3}$ для корня $\frac{17}{3}$. Для урока рекомендуется использовать проверенное задание $5(2x-1)-3x=4x+12$, с правильной проверкой: левая часть при $x=\frac{17}{3}$ равна $\frac{155}{3}$, правая — $\frac{104}{3}$, поэтому найденное значение не является корнем; учащиеся должны обнаружить противоречие и сделать вывод о необходимости внимательной проверки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Парная работа показала, что математическая запись и смысл ответа одинаково важны. Мы специально увидели, как проверка обнаруживает несогласованность. Теперь каждый самостоятельно решит новый пример по памятке и подтвердит ответ подстановкой."
Этап 6. Самостоятельная работа с ИКТ и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет формат: "На листе три задания. Первое — обязательное, второе — базовое экзаменационное, третье — повышенное по выбору. Сначала решайте на бумаге, затем внесите только ответы в интерактивную форму. Цифровая проверка не заменяет записи решения." | Читают критерии, выбирают обязательный и один дополнительный уровень. |
6 мин | Учитель раздаёт листы: 1) $4x-7=2x+9$; 2) $3(2x-1)=5x+7$; 3) $\frac{x+2}{x-1}=2$. Напоминает: "В третьем задании сначала укажите ОДЗ. Работайте молча, при затруднении отметьте место вопросительным знаком и продолжайте следующий шаг." | Решают индивидуально: 1) $x=8$; 2) $x=10$; 3) ОДЗ $x\ne1$, затем $x+2=2x-2$, $x=4$. Вводят ответы в интерактивную форму, сверяют с результатом. |
2 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку: "Поставьте рядом с каждым заданием знак «+», если решение полностью совпало, «?» — если есть один исправимый недочёт, «−» — если нужно разобрать алгоритм ещё раз. Ошибку не стирайте, подчеркните место её возникновения." | Сверяют шаги, отмечают результат цветом, исправляют одну ошибку по эталону и формулируют причину: «ошибся при переносе», «забыл ОДЗ», «не раскрыл скобки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, какой шаг уже стал привычным, а какой требует внимания. В завершение соберём все знания в короткую рефлексию и определим следующий шаг подготовки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, зафиксировать уровень освоения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: какой шаг алгоритма для вас главный; где чаще всего возникает ошибка; как вы проверите найденный корень? Затем поднимите карточку светофора: зелёная — могу решить сам, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь учителя." | Пишут ответы, выбирают цвет карточки, формулируют: «Проверю подстановкой в исходное уравнение», «трудно работать с дробями», «нужно внимательно переносить слагаемые». |
3 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Обязательная часть закрепляет базовый алгоритм, повышающая — формат ОГЭ, дополнительная — анализ области допустимых значений. Выберите уровень осознанно, ориентируясь на результат самостоятельной работы. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения по формату выполнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились решать уравнения по алгоритму и увидели, что проверка — обязательная часть решения. Ошибка не является неудачей: она показывает, какой шаг нужно потренировать. Дома выберите посильный уровень и обязательно сохраняйте все преобразования, а не только ответ."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все обязательные задания и выбранное дополнительное задание, корректно записана ОДЗ при необходимости, выполнена проверка хотя бы одного корня, решение оформлено последовательно.
- «4» — верно решены обязательные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий ход решения, либо пропущена подробная проверка.
- «3» — правильно выполнено не менее одного обязательного задания, понятен общий алгоритм, но допущены ошибки при раскрытии скобок, переносе слагаемых или нахождении корня.
- Ниже «3» — алгоритм пока не освоен: требуется индивидуальный разбор раскрытия скобок, переноса слагаемых и проверки подстановкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения уравнения вы теперь можете объяснить другому ученику? | Выявление осознанности последовательности действий и уровня понимания. |
Где именно возникло затруднение: при раскрытии скобок, переносе, вычислении или проверке? | Выявление точки затруднения для адресной коррекции. |
Почему проверку нужно выполнять в исходном уравнении? | Проверка понимания равносильности преобразований и контроля результата. |
Какой уровень домашнего задания соответствует вашей готовности и почему? | Формирование самооценки и ответственного выбора учебной нагрузки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили основу решения уравнений с одной переменной: определили ОДЗ, выполнили равносильные преобразования и научились проверять корень. Самая частая ошибка — механически переносить слагаемые или забывать о недопустимых значениях переменной. Помните: аккуратная запись помогает увидеть ход решения и снижает тревожность перед ОГЭ. На следующем уроке мы разберём типичные ошибки и применим алгоритм к более сложным уравнениям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных уравнения с раскрытием скобок и переносом слагаемых, аналогичных заданиям урока; выполнить проверку двух корней. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки, приведение подобных и полноту записи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения экзаменационного формата, включая одно уравнение с дробными коэффициентами и одно текстовое задание на составление уравнения. | Развивает вычислительную точность и математическую грамотность; проверить соответствие ответа условию и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 дробно-рациональных уравнения с предварительной записью ОДЗ и составить краткое объяснение, почему найденный корень допустим. | Формирует умение анализировать область допустимых значений и аргументировать равносильность преобразований. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется корнем уравнения? Какие преобразования сохраняют множество корней? Когда нужно записывать ОДЗ? Зачем выполнять проверку в исходном уравнении?»
