Обобщение свойств и графиков функций $y=ax^2+n$ и $y=a(x-m)^2$
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут систематизировать свойства функций $y=ax^2+n$ и $y=a(x-m)^2$, научиться по формуле определять направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии и положение графика, а также применять эти признаки при решении не менее четырёх практических заданий формата ОГЭ.
- Образовательная задача: обобщить знания о влиянии параметров $a$, $m$ и $n$ на график квадратичной функции и закрепить алгоритм построения параболы.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать математические модели, выделять существенные признаки, исследовать график и аргументировать выбранный способ решения.
- Коммуникативная задача: формировать навыки парной и групповой работы, точного математического высказывания и взаимной проверки решения.
- Воспитательная задача: поддерживать уверенность в своих силах при подготовке к ОГЭ, формировать ответственное отношение к проверке результата и выбору стратегии решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения читать и преобразовывать графики функций при решении задач ОГЭ и прикладных задач.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять её, не снижая учебной мотивации.
- Развивают ответственность за индивидуальный вклад в результат парной и групповой работы.
- Оценивают собственный уровень владения материалом и определяют ближайший шаг для подготовки к экзамену.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, переводят её из одного представления в другое.
- Сравнивают функции $y=ax^2+n$ и $y=a(x-m)^2$, классифицируют их по положению вершины и направлению ветвей.
- Планируют решение задания, выбирают подходящий алгоритм и осуществляют самопроверку по критериям.
- Аргументируют выводы в паре и группе, используют математические термины и участвуют в взаимной проверке.
Предметные
- Знают координаты вершины и ось симметрии параболы для функций $y=ax^2+n$ и $y=a(x-m)^2$.
- Умеют определять направление ветвей и наибольшее или наименьшее значение функции по знаку коэффициента $a$.
- Умеют строить график по преобразованию графика $y=ax^2$, находить по графику параметры $a$, $m$, $n$.
- Умеют решать задания на чтение графика и сопоставление формулы с изображением параболы в формате ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый материал с личной целью успешной подготовки к ОГЭ.
- Осознают значение точности записи формулы и проверки координат вершины.
- Проявляют устойчивость при выполнении задания повышенной сложности.
- Оценивают собственное продвижение по итогам урока.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель обобщения и составляют последовательность действий при исследовании функции.
- Распределяют время между заданиями базового и повышенного уровня.
- Проверяют решение по графику, формуле и предложенному эталону.
- Находят и исправляют ошибку в определении вершины или направления ветвей.
Познавательные УУД
- Выделяют параметры функции и устанавливают их влияние на график.
- Строят математическую модель ситуации в виде функции.
- Сравнивают графики и выявляют инвариантные и изменяющиеся свойства.
- Используют таблицу, график, формулу и координатную плоскость как взаимосвязанные модели.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: аналитик, чертёжник, докладчик и проверяющий.
- Формулируют вопрос к решению партнёра и дают корректную аргументированную обратную связь.
- Согласовывают общий ответ, приводя математическое обоснование.
- Представляют результат исследования классу в краткой и понятной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с координатной плоскостью, графиком $y=ax^2$ и четырьмя параболами для сопоставления с формулами.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые — по одной на каждого ученика, повышающие — по одной на пару, исследовательские — по одной на группу из четырёх человек.
- Подготовить маршрутные листы групп с ролями аналитика, чертёжника, докладчика и проверяющего — по одному на группу.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывесить на доску памятку: для $y=a(x-m)^2$ вершина $(m;0)$, ось $x=m$; для $y=ax^2+n$ вершина $(0;n)$, ось $x=0$; знак $a$ определяет направление ветвей.
- Подготовить цветные маркеры, стикеры, линейки и листы А3 для групповой работы.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и набор графиков без подписей для исследовательского задания.
- Заранее разместить на доске критерии оценивания: правильность формулы, определение вершины, аргументация, аккуратность графика и самопроверка.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и показать связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две параболы, полученные из графика $y=x^2$. «Ребята, сегодня мы не будем долго слушать теорию. Наша задача — научиться быстро читать формулу и график так, как это требуется в заданиях ОГЭ. Посмотрите на экран: какие изменения произошли с исходной параболой?» | Рассматривают два графика, называют наблюдаемые изменения: «график сдвинулся вверх», «вершина переместилась вправо», «ветви направлены вверх». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд сформулируйте свой ответ самостоятельно, затем обсудите его с соседом. Нам важно не только назвать ответ, но и объяснить, какой параметр формулы за него отвечает. После обсуждения две пары представят аргумент.» | Записывают краткую гипотезу, обсуждают её в парах и формулируют: «параметр $n$ сдвигает график вверх или вниз, а параметр $m$ — вправо или влево». |
0 мин | Учитель фиксирует тему и цель на доске: «Сегодня мы обобщим свойства двух видов функций и потренируемся выбирать решение по формуле и графику.» | Записывают тему урока и цель в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одна формула может сразу сообщить положение вершины и направление ветвей. Теперь проверим, какие знания нужно вспомнить, чтобы уверенно работать с такими графиками.»
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания о функции $y=ax^2$, вершине параболы и преобразованиях графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске график $y=ax^2$ и задаёт вопросы эвристической беседы: «Что называют параболой? От чего зависит направление её ветвей? Где находится вершина графика $y=ax^2$? Как изменится график, если к значению функции прибавить положительное число?» Учитель кратко фиксирует ответы в таблице на доске. | Отвечают фронтально: «Парабола — график квадратичной функции»; «при $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз»; «вершина имеет координаты $(0;0)$»; «при добавлении положительного числа график сдвигается вверх». |
3 мин | Учитель проводит устный мини-тренинг «Верно — неверно»: «Для функции $y=2x^2-5$ вершина имеет координаты $(0;-5)$. Для функции $y=-3(x-4)^2$ ось симметрии задаётся уравнением $x=4$. Если $a<0$, функция имеет наименьшее значение.» После каждого ответа просит назвать признак. | Поднимают карточки «верно» или «неверно», исправляют утверждение: «последнее неверно, при $a<0$ функция имеет наибольшее значение в вершине». |
Запись в тетрадях
- Для $y=ax^2+n$: вершина $(0;n)$, ось симметрии $x=0$.
- Для $y=a(x-m)^2$: вершина $(m;0)$, ось симметрии $x=m$.
- При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили признаки, которые позволяют читать формулу. Если в задании смешаны разные записи и графики, важно действовать по алгоритму, а не угадывать. Сейчас сформулируем этот алгоритм и проверим его исследованием.»
Этап 3. Постановка проблемы и планирование работы (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм анализа функции и распределить исследовательские роли.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет две записи: $y=3x^2-4$ и $y=-2(x-5)^2$. «Представьте, что на ОГЭ нужно за несколько секунд выбрать правильный график. Какие вопросы следует задать формуле? Запишите их сначала самостоятельно, затем сравните с партнёром. Я приму только такой алгоритм, который можно применить к любой из этих функций.» | Составляют в парах алгоритм: «найти знак $a$, определить вершину, назвать ось симметрии, определить область значений и сопоставить с графиком». |
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и распределяет роли. «Каждая группа получит набор формул и графиков. Аналитик отвечает за параметры, чертёжник — за координатную плоскость, докладчик — за объяснение, проверяющий — за контроль по памятке. В конце группа должна доказать соответствие, а не только назвать букву ответа.» | Распределяют роли, получают маршрутные листы, уточняют критерии результата и записывают общий план исследования. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас есть общий алгоритм и распределены обязанности. Теперь группы проверят его на конкретных формулах, а затем мы сравним способы рассуждения.»
Этап 4. Исследовательская групповая работа (10 мин)
Цель этапа: обобщить влияние параметров на график через исследование и практическое сопоставление формул с изображениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам листы А3. «На листе представлены формулы $y=2x^2+3$, $y=-x^2-2$, $y=3(x-2)^2$, $y=-2(x+1)^2$ и четыре графика без подписей. Для каждой формулы заполните строку: знак $a$, вершина, ось симметрии, направление ветвей, соответствующий график. Не приступайте к чертежу, пока не объясните параметры.» | Читают задание, распределяют формулы между участниками, заполняют исследовательскую таблицу. |
5 мин | Учитель перемещается между группами и задаёт наводящие вопросы: «Почему у функции $y=-2(x+1)^2$ абсцисса вершины равна $-1$, а не $1$? Как по формуле $y=2x^2+3$ доказать, что вершина находится выше начала координат? Как проверить, что выбранный график имеет нужную ось симметрии?» Учитель не сообщает ответ, а просит показать признак. | Обсуждают и аргументируют: «$x+1=x-(-1)$, поэтому вершина $(-1;0)$»; «свободный член $3$ даёт вершину $(0;3)$»; «ось симметрии должна проходить через вершину». |
3 мин | Учитель просит группы прикрепить листы к доске и проводит краткую защиту. «Докладчик каждой группы назовёт одну формулу и объяснит выбор графика двумя признаками. Остальные группы используют приём взаимной проверки: отмечают плюс за правильную вершину и плюс за правильное направление ветвей.» | Докладчики защищают по одному примеру, остальные группы сверяют решения, задают уточняющие вопросы и исправляют обнаруженные ошибки на листе. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: 1) определить знак $a$; 2) найти вершину; 3) провести ось симметрии; 4) определить область значений; 5) сопоставить формулу с графиком по двум или более признакам.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Исследование показало, что для выбора графика достаточно не строить его полностью: знак коэффициента и координаты вершины уже резко сужают выбор. Теперь применим этот способ к типовым заданиям и проговорим каждый шаг.»
Этап 5. Первичное закрепление. Парная работа (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм анализа формулы и чтения графика в заданиях базового и среднего уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с двумя заданиями. «Задание 1: для функции $y=-4(x-3)^2$ назовите координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей. Задание 2: определите, какая из функций $y=2x^2-1$, $y=2(x-1)^2$, $y=-2x^2+1$ может иметь вершину $(0;-1)$. Работайте с обязательным проговариванием признака.» | Решают в парах: «для первой функции вершина $(3;0)$, ось $x=3$, ветви вниз»; «вершина $(0;-1)$ у функции $y=2x^2-1$». |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверяющая пара подчёркивает вершину одной линией, ось симметрии двумя линиями и пишет рядом короткое обоснование. Если есть ошибка, задайте вопрос, а не просто зачеркните ответ.» | Проверяют решения по памятке, пишут обоснование, формулируют вопрос к ошибочному ответу и исправляют его после обсуждения. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на доске: «Некоторые записывают вершину функции $y=2(x-4)^2$ как $(0;4)$. Посмотрите на скобки: какое число нужно представить в виде $x-m$? Объясните соседу.» | Отвечают: «$x-4$ уже имеет вид $x-m$, поэтому вершина $(4;0)$; число 4 не является ординатой вершины». |
Эталон решения
Для функции $y=-4(x-3)^2$: запись имеет вид $y=a(x-m)^2$, поэтому $a=-4$, $m=3$. Вершина $V(3;0)$, ось симметрии $x=3$. Так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. Для функции $y=2x^2-1$: это вид $y=ax^2+n$, поэтому вершина $V(0;-1)$, ось симметрии $x=0$, ветви направлены вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В паре мы отработали быстрый анализ формулы и увидели, что ошибка чаще всего появляется при чтении скобок. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно применяет алгоритм без подсказки партнёра.»
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение материала и предоставить каждому ученику задание посильного, но развивающего уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: «Выполните обязательный базовый блок. Если справились раньше и уверены в ответах, переходите к повышающему, а затем к дополнительному исследовательскому. Выбор уровня — не соревнование, а способ честно определить ближайшую учебную цель.» | Выбирают карточку уровня, записывают фамилию и начинают индивидуальную работу. |
5 мин | Учитель предлагает базовое задание: «Для функций $y=3x^2-2$ и $y=-2(x+1)^2$ укажите вершину, ось симметрии, направление ветвей и область значений. Для одной функции сделайте схематичный рисунок.» Повышающий вариант: «Определите формулу параболы с вершиной $(2;0)$, ветвями вверх и проходящей через точку $(3;4)$.» | Индивидуально решают выбранный блок. В базовом варианте получают $V(0;-2)$ и $V(-1;0)$, определяют оси и области значений. В повышающем варианте подставляют точку: $4=a(3-2)^2$, получают $a=4$, формулу $y=4(x-2)^2$. |
2 мин | Учитель демонстрирует эталон на экране и предлагает самопроверку: «Сверьте не только конечный ответ, но и каждый признак. Поставьте плюс за вершину, ось, направление ветвей и область значений. Одну ошибку аккуратно исправьте другим цветом.» | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают количество правильных признаков, исправляют ошибки и отмечают уровень самостоятельности. |
2 мин | Учитель предлагает дополнительное задание сильным ученикам: «Сравните графики $y=2(x-3)^2$ и $y=2(x+1)^2$. Назовите общее свойство и различие. Объясните, как изменится первый график при замене 3 на $-2$.» | Формулируют: «ветви и ширина одинаковы, вершины имеют разные абсциссы; график переместится влево к вершине $(-2;0)$». |
Эталон решения
Для $y=3x^2-2$: $a=3>0$, вершина $V(0;-2)$, ось $x=0$, область значений $y\geq -2$. Для $y=-2(x+1)^2$: $x+1=x-(-1)$, поэтому вершина $V(-1;0)$, ось $x=-1$, $a=-2<0$, область значений $y\leq 0$. В повышенном задании $4=a(3-2)^2$, следовательно, $a=4$, и функция имеет вид $y=4(x-2)^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие признаки уже стали устойчивыми, а какие требуют дополнительной тренировки. Ошибка не является неудачей: она указывает, какой шаг алгоритма нужно повторить. Завершим урок оценкой своего продвижения и ответим на исходный вопрос.»
Этап 7. Рефлексия, межпредметная связь и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, связать математическую модель с практической областью и определить дальнейшую траекторию подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает схему траектории движения тела, приближённо описываемой параболой. «В физике и инженерных задачах параболическая модель помогает описывать траекторию. Сегодня мы не вычисляем физические параметры, но читаем важную информацию: вершина соответствует наивысшей или наинизшей точке, а знак $a$ показывает направление изгиба. Какой математический признак помогает определить максимум или минимум?» | Формулируют межпредметный вывод: «при $a>0$ вершина задаёт минимум, при $a<0$ — максимум»; связывают график с траекторией движения. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и просит заполнить билет на выход: «Зелёный — я самостоятельно нахожу вершину и ось; жёлтый — справляюсь с подсказкой; красный — мне нужно повторить чтение скобок. На билете допишите: какой признак быстрее всего помогает выбрать график и какое задание осталось трудным?» | Поднимают карточку цвета, заполняют билет: например, «быстрее всего определить знак $a$ и вершину», «трудно находить параметр $a$ по точке графика». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: «Выберите уровень осознанно. Перед уходом ответьте устно на два контрольных вопроса: где находится вершина $y=5x^2-7$ и какова ось симметрии $y=-3(x+2)^2$?» | Отвечают: «вершина $(0;-7)$»; «ось симметрии $x=-2$». Записывают домашнее задание и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы систематизировали свойства двух видов парабол и научились выбирать график по формуле без полного построения. На следующем уроке продолжим работу с квадратичной функцией и применим эти признаки при решении более сложных задач.»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все базовые задания и не менее одного задания повышенного уровня; правильно определены вершины, оси симметрии, направления ветвей и области значений, приведены обоснования.
- «4» — верно выполнены все базовые задания, допущена не более одной ошибки в повышенном задании или оформлении, общий алгоритм применён правильно.
- «3» — верно выполнена основная часть базовых заданий, определены не менее двух из четырёх ключевых характеристик каждой функции, но требуется исправление одной существенной ошибки.
- Ниже «3» — не определены устойчиво вершина и ось симметрии; ученику назначается повторная тренировка по базовым карточкам с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак позволяет быстрее всего сопоставить формулу с графиком? | Выявление осознанного выбора алгоритма, а не механического угадывания. |
Что изменилось в графике при переходе от $y=ax^2$ к $y=ax^2+n$ или $y=a(x-m)^2$? | Проверка понимания влияния параметров $m$ и $n$. |
На каком шаге решения вы допустили или могли допустить ошибку? | Выявление точек затруднения в чтении скобок, определении вершины и области значений. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки и осознанного планирования подготовки к ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы увидели, что график параболы можно быстро прочитать по нескольким признакам: знаку коэффициента, координатам вершины и оси симметрии. Самая частая ошибка возникает при чтении выражения $x-m$: если в скобках стоит $x+1$, то $m=-1$. Проверяйте себя по формуле, графику и области значений. Выберите домашний уровень честно, чтобы тренировка была полезной. На следующем уроке мы продолжим применять эти свойства при решении задач повышенной сложности.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 заданий на определение вершины, оси симметрии, направления ветвей и области значений функций видов $y=ax^2+n$ и $y=a(x-m)^2$; построить схематично график для двух функций. | Закрепляет чтение параметров и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знак числа в скобках и координаты вершины. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сопоставление формулы и графика, а также 2 задачи на восстановление формулы параболы по вершине, направлению ветвей и одной точке графика. | Развивает переход от графика к формуле и подготовку к заданиям ОГЭ; проверить обоснование найденного коэффициента $a$. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать две параболы с одинаковым коэффициентом $a$ и разными значениями $m$ или $n$: описать общее и различия, построить эскизы и составить короткое объяснение для одноклассника. | Формирует исследовательское мышление и умение объяснять влияние параметров; при проверке оценить точность сравнения и использование математических терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Каковы вершина и ось симметрии функции $y=4x^2-6$? Каковы вершина и направление ветвей функции $y=-2(x-3)^2$? Как по формуле определить, есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение?»
