Функция обратной пропорциональности $y = k/x$: свойства и график
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться определять свойства функции $y = k/x$ по формуле и коэффициенту $k$, строить её график по нескольким точкам и применять полученные знания при решении практических заданий формата ОГЭ.
- Сформировать представление о функции обратной пропорциональности, её области определения, области значений, нулях и расположении графика.
- Научиться составлять таблицу значений, строить гиперболу и определять её расположение по знаку коэффициента $k$.
- Развивать умение анализировать график, проверять решение подстановкой и аргументировать выбор ответа в парной работе.
- Формировать уверенность при выполнении заданий, связанных с функциями и графиками, встречающихся в школьном курсе и заданиях ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность функциональной зависимости для описания реальных процессов, например зависимости времени движения от скорости при постоянном расстоянии.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию графика и готовность преодолевать затруднения.
- Понимают, что проверка решения и анализ ошибки снижают риск случайных ошибок на экзамене.
- Развивают ответственное отношение к совместной работе и взаимопомощи.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, устанавливают связь между различными способами задания функции.
- Планируют последовательность построения графика и контролируют правильность выполнения по опорным признакам.
- Сравнивают графики при разных значениях коэффициента $k$ и формулируют выводы на основе наблюдений.
- Участвуют в парном обсуждении, задают уточняющие вопросы и аргументируют математические утверждения.
Предметные
- Знать определение функции обратной пропорциональности $y = k/x$, где $k \ne 0$.
- Уметь находить область определения и область значений функции, определять отсутствие нулей функции.
- Уметь строить график функции по таблице значений и называть его гиперболой.
- Уметь определять расположение ветвей гиперболы по знаку коэффициента $k$.
- Уметь решать задания на чтение графика и вычисление значения функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и оценивают собственную готовность к заданиям с графиками.
- Осознают смысл изучения функции обратной пропорциональности для дальнейшего изучения алгебры и подготовки к ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при исправлении ошибок в построении графика.
- Уважительно относятся к мнению партнёра и принимают необходимость проверки результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с графиком и составляют последовательность действий.
- Сверяют таблицу значений и построенный график с эталоном.
- Находят ошибку в вычислении или выборе точки и корректируют решение.
- Оценивают результат по предложенным критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции обратной пропорциональности.
- Сравнивают поведение функции при положительном и отрицательном коэффициенте.
- Моделируют график на координатной плоскости по таблице значений.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком $k$ и расположением ветвей гиперболы.
- Используют формулу, таблицу и график как взаимосвязанные источники информации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре при построении и проверке графика.
- Формулируют математические вопросы и отвечают на них полными предложениями.
- Аргументируют вывод о расположении ветвей гиперболы.
- Конструктивно указывают партнёру на неточность и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной ситуацией о зависимости времени движения от скорости при постоянном расстоянии и с изображениями двух гипербол.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, всего 15 комплектов, с заданиями на $y = 6/x$, $y = -6/x$ и заданиями повышенной сложности.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: минимальный, базовый и повышенный — по одной на каждого ученика.
- Подготовить координатные плоскости на клетчатой сетке по одной на каждого ученика и один увеличенный вариант для доски.
- Вывесить на доске памятку: «1. Выбрать значения $x$; 2. Найти $y$; 3. Нанести точки; 4. Провести ветви гиперболы; 5. Проверить расположение по знаку $k$».
- Записать на доске тему урока и формулы $y = k/x$, $x \ne 0$, $k \ne 0$.
- Подготовить маркеры двух цветов, карточки для приёма «Светофор» и листы для билета на выход.
- Обеспечить оборудование: компьютер, проектор или интерактивную доску, таймер на 3 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл новой зависимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране ситуацию: «Автомобиль должен пройти 120 км. Если скорость увеличивается, время в пути уменьшается. Подумайте, как связаны скорость и время. Сегодня нам важно не просто запомнить формулу, а научиться быстро узнавать её свойства и график — это типичная математическая модель и полезный навык для ОГЭ». | Готовят тетради и инструменты, читают условие, формулируют предположение: «При увеличении скорости время уменьшается». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какая формула может описывать такую зависимость. Не требуется сразу дать идеальную запись — важнее объяснить ход мысли». Учитель выслушивает 2–3 пары. | Сначала записывают предположение, затем обсуждают его в паре и предлагают варианты: «Произведение скорости и времени постоянно», «Время можно найти делением расстояния на скорость». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели зависимость, в которой увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой. Сейчас проверим, как такая зависимость записывается математически и какие свойства можно узнать ещё до построения графика».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о функции, координатах точки, области определения и построении графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске функции $y = 2x$, $y = x^2$, $y = 6/x$ и спрашивает: «Что общего у этих записей? Что означает буква $x$? Как получить координаты точки графика? Как проверить, принадлежит ли точка графику?» | Отвечают: «Это функции», «$x$ — независимая переменная», «координаты имеют вид $(x;y)$», «нужно подставить $x$ в формулу и сравнить полученное $y$ с координатой точки». |
3 мин | Учитель предлагает мини-задание: «Проверьте, принадлежит ли точка $A(2;3)$ графику $y = 6/x$. Затем назовите значение функции при $x = -3$. Работайте в тетради, на решение две минуты». Учитель просит одного ученика объяснить проверку. | Вычисляют $6/2 = 3$, делают вывод: «Точка $A$ принадлежит графику». Затем находят $y = 6/(-3) = -2$ и записывают точку $(-3;-2)$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Точка $(x_0;y_0)$ принадлежит графику функции, если после подстановки $x_0$ в формулу получается $y_0$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как проверять принадлежность точки графику и находить значение функции. Но пока не ответили на главный вопрос: чем функция $y = 6/x$ отличается от уже известных функций и почему значение $x = 0$ нельзя использовать».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать план открытия нового знания.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $y = 6/x$ и задаёт вопросы: «Можно ли подставить $x = 0$? Почему? Какие точки удобно взять для построения? Может ли график пересечь ось $Oy$? А ось $Ox$? Запишите свои гипотезы, затем обсудите их с партнёром». | Проверяют деление на ноль, формулируют: «$x = 0$ брать нельзя»; предполагают, что график не пересекает оси, потому что $y$ не равен нулю. |
2 мин | Учитель оформляет ответы в виде плана: «Нам нужно определить область определения и область значений, выяснить расположение ветвей, построить график и потренироваться решать задания разной сложности. Согласны с такой целью?» | Формулируют цель урока: «Научиться исследовать и строить график функции $y = k/x$». Записывают тему и цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Гипотезы сформулированы. Теперь проверим их не на словах, а через таблицу значений и несколько точных математических выводов».
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести основные свойства функции обратной пропорциональности и связать их со знаком коэффициента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданием: «Постройте таблицу значений для $y = 6/x$, используя $x = -6,-3,-2,-1,1,2,3,6$. Нанесите точки на координатную плоскость. Затем соедините точки плавными ветвями, не проводя их через оси». Учитель напоминает алгоритм на доске и запускает таймер. | В парах распределяют роли: один вычисляет значения, второй наносит точки; затем меняются для проверки. Получают точки $(-6;-1)$, $(-3;-2)$, $(-2;-3)$, $(-1;-6)$, $(1;6)$, $(2;3)$, $(3;2)$, $(6;1)$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы по построенному графику: «В каких координатных четвертях лежат ветви? Какие значения $x$ запрещены? Какие значения $y$ невозможны? Почему график не пересекает оси координат?» | Отвечают: «В первой и третьей четвертях», «$x = 0$ запрещено», «$y = 0$ невозможно», «при пересечении оси значение одной из координат стало бы нулём». |
3 мин | Учитель предлагает сравнить с функцией $y = -6/x$: «Не перестраивайте всё подробно. Определите знаки $x$ и $y$ для нескольких точек и предскажите, в каких четвертях окажется график. Объясните, почему». | Вычисляют, например, $y = -6/2 = -3$ и $y = -6/(-2) = 3$. Делают вывод: «При $k < 0$ ветви расположены во второй и четвёртой четвертях». |
Запись в тетрадях
Функция вида $y = k/x$, где $k \ne 0$, называется функцией обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Область определения: $x \ne 0$. Область значений: $y \ne 0$. Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях. Если $k < 0$, ветви расположены во второй и четвёртой четвертях. График не пересекает координатные оси.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли главное свойство: знак коэффициента $k$ сразу подсказывает четверти, в которых лежит гипербола. Теперь закрепим это правило на заданиях, где нужно не только построить график, но и объяснить свой ответ».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм исследования функции и закрепить распознавание графика в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки базового уровня: «Для функции $y = -8/x$ определите область определения и область значений, назовите четверти расположения графика и найдите значения функции при $x = 2$ и $x = -4$. Все ответы обоснуйте формулой». | В парах записывают: $x \ne 0$, $y \ne 0$; ветви во второй и четвёртой четвертях; $y(2) = -4$, $y(-4) = 2$. Один ученик вычисляет, второй проверяет. |
2 мин | Учитель предлагает задание на анализ: «Из четырёх описаний выберите верное для $y = 5/x$: график проходит через начало координат; ветви находятся в первой и третьей четвертях; функция принимает значение 0; график симметричен относительно начала координат». Просит назвать два аргумента. | Выбирают утверждение о первой и третьей четвертях и утверждение о симметрии относительно начала координат; объясняют выбор знаком произведения $xy = 5$ и точками $(1;5)$ и $(-1;-5)$. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по эталону на доске: «Обменяйтесь карточками. Поставьте знак “+” около верного ответа и коротко запишите одно пожелание, если обнаружили ошибку». | Проверяют решение партнёров, используют приём «Две звезды и пожелание», исправляют вычислительные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже умеете исследовать функцию по формуле и объяснять расположение графика. Далее каждый выполнит индивидуальное задание, чтобы понять, какой уровень освоения материала достигнут лично».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор уровня: «У вас три варианта. Минимальный уровень содержит задания на прямое применение правила, базовый — исследование и построение, повышенный — анализ графика и параметра. Выберите уровень, который позволит показать знания без лишнего стресса. При необходимости можно начать с минимального». | Выбирают карточку и записывают на ней фамилию и выбранный уровень. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Минимальный: для $y = 12/x$ найти $y$ при $x = 3$ и определить четверти. Базовый: построить график $y = -4/x$ по четырём точкам и описать свойства. Повышенный: точка $A(2;3)$ принадлежит графику $y = k/x$; найти $k$ и определить четверти графика. Учитель напоминает: «Записывайте вычисления, а не только ответ». | Индивидуально решают выбранный вариант. Для повышенного уровня находят $k = xy = 6$ и делают вывод о первой и третьей четвертях. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «Сначала проверьте формулу, затем область допустимых значений, вычисления и четверти. Отметьте зелёным то, что совпало, жёлтым — место сомнения». | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, ставят самооценку и формулируют, какой шаг алгоритма требует повторения. |
Эталон решения
Для повышенного задания: точка $A(2;3)$ принадлежит графику $y = k/x$, поэтому $3 = k/2$. Умножаем обе части на 2: $k = 6$. Получаем функцию $y = 6/x$. Так как $k > 0$, график расположен в первой и третьей четвертях. Точка $x = 0$ не входит в область определения, а значение $y = 0$ функция не принимает.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять самостоятельно. Осталось зафиксировать главное, проверить понимание и определить, что именно повторить дома».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, провести самооценку и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете по знаку $k$ определить четверти и построить график; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если осталось принципиальное затруднение». Затем просит закончить фразу: «Сегодня я научился…». | Показывают карточку, формулируют: «Сегодня я научился определять четверти по знаку $k$», «строить гиперболу по таблице», «находить коэффициент по точке графика». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Запишите два свойства функции $y = -3/x$ и ответьте, может ли её график проходить через точку $(0;5)$. Сдайте листок при выходе». | Записывают: область определения $x \ne 0$, области расположения — вторая и четвёртая четверти; точка $(0;5)$ не принадлежит графику, так как $x = 0$ недопустимо. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень и при желании добавьте повышенный или дополнительный. Важны не только ответы, но и таблица значений, формулировка свойств и аккуратный график». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились видеть в формуле $y = k/x$ область определения, знак коэффициента и будущий вид графика. Теперь вы можете не угадывать положение гиперболы, а обосновывать его вычислениями и свойствами».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все части выбранного задания, корректно определены область определения и четверти, вычисления записаны, график построен аккуратно с обозначением осей и точек.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, допущена одна неточность в вычислении или оформлении, но правило расположения гиперболы применено верно.
- «3» — выполнена основная часть задания на прямое применение формулы, но допущены ошибки в построении, области определения или объяснении расположения ветвей.
- Оценка может быть повышена, если ученик самостоятельно исправил ошибку по эталону и письменно объяснил причину затруднения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции $y = k/x$? | Выявление осознания определения и основных свойств функции. |
Как по знаку коэффициента $k$ определить четверти графика? | Проверка понимания связи между формулой и расположением гиперболы. |
На каком шаге построения графика возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме построения и вычисления. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня освоения и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы исследовали функцию обратной пропорциональности и убедились, что её график — гипербола. Главное правило состоит в том, что знак коэффициента $k$ определяет четверти расположения ветвей, а значения $x = 0$ и $y = 0$ невозможны. Типичная ошибка — строить график через начало координат или забывать о запрещённом значении $x$. На следующем уроке мы продолжим читать графики функций и решать задания, в которых формула и графическое изображение помогают друг другу».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на функцию $y = k/x$: определить область определения и область значений, найти значения функции для заданных двух-трёх значений $x$, определить четверти расположения графика по знаку $k$. | Закрепляет определение, вычисление значений и правило расположения гиперболы; при проверке смотреть на запись ограничений $x \ne 0$ и знак коэффициента. |
Средний (повышающий) | Построить на одной координатной плоскости графики $y = 6/x$ и $y = -6/x$ по таблицам минимум из четырёх точек, сравнить их и записать не менее трёх общих свойств и двух различий. | Развивает умение строить и сравнивать графики; при проверке смотреть на симметрию, четверти и отсутствие пересечения с осями. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 исследовательские задачи: найти коэффициент $k$ по заданной точке графика функции $y = k/x$ и определить возможные значения параметра по условию расположения графика в указанных четвертях. | Формирует анализ формулы и обратное применение свойства $k = xy$; при проверке смотреть на обоснование, а не только на числовой ответ. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему $x = 0$ не входит в область определения функции $y = k/x$? В каких четвертях расположена гипербола при $k < 0$? Может ли график функции обратной пропорциональности пересечь ось $Ox$? Как найти коэффициент $k$, если известна точка графика?»
