Квадратичная функция вида $y=ax^2+c$: график и свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся смогут по формуле $y=ax^2+c$ и значениям коэффициентов $a$ и $c$ строить эскиз графика, определять направление ветвей, координаты вершины, область определения и область значений функции, а также объяснять влияние параметров на график.
- Образовательная задача: выявить связь графика $y=ax^2+c$ с графиком базовой функции $y=ax^2$ и сформулировать алгоритм его построения.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать таблицу значений, сравнивать графики, выдвигать и проверять гипотезы.
- Практическая задача: выполнить задания базового, повышенного и творческого уровней, включая задание, близкое к формату ОГЭ.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к математической записи, взаимопомощь при парной работе и уверенность в преодолении экзаменационных затруднений.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность анализа графиков для решения задач из ОГЭ и повседневных ситуаций.
- Проявляют готовность проверять результат и спокойно исправлять ошибки.
- Развивают учебную мотивацию через выбор уровня задания и творческой задачи.
- Осознают значение сотрудничества и корректного обсуждения математических решений.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из формулы, таблицы и графического изображения.
- Сравнивают объекты по заданным признакам и формулируют причинно-следственные связи.
- Планируют последовательность построения графика и осуществляют самопроверку по эталону.
- Используют математическую речь для объяснения влияния коэффициентов на свойства функции.
- Применяют цифровые средства или чертёжные инструменты для проверки гипотезы о виде графика.
Предметные
- Знают вид функции $y=ax^2+c$ при $a\ne0$ и связь её графика с параболой $y=ax^2$.
- Умеют определять координаты вершины $\left(0;c\right)$ и ось симметрии $x=0$.
- Умеют определять направление ветвей по знаку коэффициента $a$.
- Умеют находить область определения и область значений функции.
- Владеют алгоритмом построения графика по таблице значений и применения свойств функции при решении задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы на уроке и соотносят её с подготовкой к ОГЭ.
- Осознают ценность точности, последовательности и доказательности рассуждений.
- Проявляют устойчивость при выполнении задания повышенной сложности.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения себя с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе выявленного затруднения.
- Планируют построение графика по предложенному алгоритму.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют способ действия после взаимопроверки.
- Оценивают уровень освоения темы с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции по её формуле.
- Сравнивают графики $y=ax^2$ и $y=ax^2+c$.
- Устанавливают, что изменение $c$ задаёт вертикальный сдвиг графика.
- Строят математическую модель ситуации с использованием квадратичной функции.
- Проверяют гипотезы по таблице значений и графическому эскизу.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли чертёжника и проверяющего.
- Формулируют вопрос и уточняют рассуждение партнёра.
- Аргументируют выбор направления ветвей и координат вершины.
- Соблюдают правила конструктивной обратной связи.
- Представляют классу общее решение и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с графиками $y=x^2$, $y=x^2+3$, $y=x^2-2$, $y=-x^2+2$ и таблицей сравнения свойств.
- Распечатать карточки трёх уровней: базового, повышающего и творческого — по одной на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки и мини-билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной на парту; на каждой указать две функции и вопросы к ним.
- Подготовить цветные стикеры или карточки для приёма «Светофор» — по три цвета на ученика.
- Вывесить на доску шпаргалку-напоминание: вершина $\left(0;c\right)$, ось симметрии $x=0$, знак $a$ определяет направление ветвей.
- Подготовить линейки, карандаши, миллиметровую бумагу или координатные сетки — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить таймер на 3–5 минут и, при наличии оборудования, открыть динамическую модель графика с изменяемыми параметрами $a$ и $c$.
- Подготовить короткий межпредметный контекст: зависимость высоты тела от времени или профиль арки, описываемый квадратичной функцией.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент, мотивация и физкультминутка (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, связать тему с экзаменационной практикой и создать положительный эмоциональный настрой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране четыре графика: параболу вверх, параболу вниз и две параболы, смещённые вверх и вниз. «Ребята, сегодня мы разберём функцию, которая часто встречается в заданиях ОГЭ и помогает описывать движение, форму арок и изменение величин. Посмотрите на графики и предположите: какие изменения в формуле могли привести к такому смещению? Запишите свою гипотезу одним предложением». | Рассматривают графики, записывают гипотезу и предполагают: «Свободный член может поднимать или опускать график», «Знак коэффициента перед квадратом меняет направление ветвей». |
1 мин | Учитель организует приём «Светофор»: «Покажите цветом, насколько уверенно вы умеете читать график квадратичной функции: зелёный — уверенно, жёлтый — есть вопросы, красный — нужна помощь. Это не оценка, а стартовая диагностика». | Поднимают карточку выбранного цвета и фиксируют собственный стартовый уровень. |
1 мин | Учитель проводит короткую физкультминутку: «Встаньте. Если я называю свойство параболы, которое верно для $y=x^2$, поднимите руки вверх; если неверно — вытяните руки в стороны. Вершина в начале координат; ось симметрии — ось $y$; ветви направлены вниз». | Выполняют движения и отвечают: «Вершина в начале координат — вверх», «Ось симметрии — вверх», «Ветви вниз — в стороны, утверждение неверно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что небольшое изменение формулы меняет положение и вид графика. Теперь вспомним свойства базовой параболы и найдём, какое новое затруднение нужно преодолеть».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства функции $y=ax^2$ и зафиксировать необходимость нового способа построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с функциями $y=2x^2$, $y=-3x^2$, $y=0{,}5x^2$. «Работаем в парах. За две минуты заполните таблицу: знак $a$, направление ветвей, координаты вершины, ось симметрии. Один ученик вычисляет, второй проверяет, затем поменяйтесь ролями». | В парах заполняют таблицу и формулируют: «При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз; вершина имеет координаты $(0;0)$; ось симметрии $x=0$». |
2 мин | Учитель записывает на доске функции $y=x^2+3$ и $y=x^2-2$. «Попробуйте без построения назвать вершины. Затем объясните, какие значения $y$ получится получить при $x=0$». | Подставляют $x=0$, отвечают: «Вершина первой параболы $(0;3)$, второй — $(0;-2)$». |
1 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Достаточно ли только знать вершину, чтобы правильно построить график? Какие точки можно использовать для проверки формы?» | Отвечают: «Нужно знать направление ветвей и взять симметричные точки, например при $x=1$ и $x=-1$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Свойства базовой параболы нам известны, но для функции с добавлением $c$ нужен точный алгоритм. Сформулируем цель и план открытия этого алгоритма».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и спланировать исследование влияния параметров $a$ и $c$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель возвращает внимание к проблемному вопросу: «Как построить график $y=ax^2+c$, не подбирая множество точек? Какие свойства можно определить сразу по формуле?» | Формулируют затруднение: «Нужно установить роль $c$ и научиться быстро находить вершину, направление ветвей и область значений». |
2 мин | Учитель записывает на доске план: 1) сравнить формулы; 2) исследовать таблицу значений; 3) сформулировать свойства; 4) применить алгоритм к заданиям. «Выберите личную цель: научиться строить график, читать свойства или уверенно решать задания ОГЭ». | Записывают тему и один личный результат урока, принимают план работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План определён: сначала исследуем, затем сформулируем правило и проверим его на заданиях разной сложности».
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (10 мин)
Цель этапа: вывести правило построения графика и свойства функции $y=ax^2+c$ через исследование и объяснение реального контекста.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на экране таблицы для $y=x^2$, $y=x^2+2$ и $y=x^2-3$. «Сравните значения при одинаковых $x$. Что происходит с каждым значением? На сколько единиц переместился график? Обсудите в паре 30 секунд и сформулируйте вывод». | Сравнивают таблицы, обсуждают в парах и отвечают: «При добавлении $2$ все значения $y$ увеличились на 2, график сдвинулся вверх на 2; при вычитании 3 — вниз на 3». |
3 мин | Учитель обращается к межпредметному контексту: «Высота мяча в упрощённой модели задаётся формулой $h(t)=-t^2+4$. Что означает число $4$? Куда направлены ветви? В какой момент высота максимальна?» Учитель принимает ответы и связывает их с физикой движения. | Определяют: «Число 4 — высота в начальный момент и значение функции в вершине; ветви направлены вниз; максимум достигается при $t=0$ для данной модели». |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске правило: «График $y=ax^2+c$ получается из графика $y=ax^2$ вертикальным переносом на $c$ единиц. Вершина имеет координаты $(0;c)$, ось симметрии — $x=0$, при $a>0$ ветви вверх, при $a<0$ — вниз. Если $a>0$, область значений $y\ge c$; если $a<0$, $y\le c$». Учитель подчёркивает, что $a$ влияет на направление и ширину, а $c$ — на вертикальное положение. | Записывают правило, выделяют цветом роль коэффициентов $a$ и $c$, задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Записать: «Для $y=ax^2+c$: вершина $(0;c)$; ось симметрии $x=0$; при $a>0$ ветви вверх и $E(y)=[c;+\infty)$; при $a<0$ ветви вниз и $E(y)=(-\infty;c]$; $D(y)=\mathbb R$. График строится переносом графика $y=ax^2$ на $c$ единиц вдоль оси $Oy$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили, что свободный член отвечает за вертикальный перенос, а знак коэффициента $a$ — за направление ветвей. Теперь проверим правило на конкретных графиках и научимся проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм чтения формулы и построения эскиза графика через парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парные карточки. «Для функций $y=2x^2-1$ и $y=-x^2+3$ определите вершину, ось симметрии, направление ветвей и область значений. Запишите объяснение полными предложениями». | В парах записывают: для первой функции вершина $(0;-1)$, ветви вверх, $y\ge-1$; для второй вершина $(0;3)$, ветви вниз, $y\le3$. |
3 мин | Учитель предлагает построение: «Постройте на координатной сетке эскиз графика $y=x^2-2$, используя вершину и точки при $x=-2,-1,0,1,2$. Проверьте симметрию». | Строят таблицу: $y=2, -1, -2, -1, 2$, отмечают точки $(-2;2)$, $(-1;-1)$, $(0;-2)$, $(1;-1)$, $(2;2)$ и соединяют их плавной линией. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: «Проверьте наличие вершины, оси симметрии, правильного направления ветвей и симметричных точек. Поставьте партнёру две звезды и одно пожелание». | Сверяют построения, отмечают два достоинства и один конкретный совет, исправляют найденную неточность. |
Эталон решения
Для $y=x^2-2$: $a=1>0$, поэтому ветви направлены вверх; $c=-2$, вершина $(0;-2)$; ось симметрии $x=0$. Значения: при $x=-2$ и $x=2$ получаем $y=2$, при $x=-1$ и $x=1$ получаем $y=-1$, при $x=0$ получаем $y=-2$. Область определения $\mathbb R$, область значений $[-2;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает и для положительного, и для отрицательного свободного члена. Теперь каждый выполнит индивидуальную работу и выберет посильный уровень, чтобы проверить самостоятельность».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и дать возможность каждому ученику работать на доступном уровне сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «На карточке три уровня. Базовый обязателен для всех. Повышающий выбирают те, кто уверенно выполнил базовый. Творческий можно взять дополнительно. Ошибка — это указатель, что проверить, а не повод снижать оценку». | Выбирают карточку или последовательность уровней, записывают номер выбранного варианта. |
4 мин | Учитель предлагает базовые задания: «1) Для $y=-2x^2+5$ укажите вершину, направление ветвей и область значений. 2) Постройте эскиз $y=x^2+1$. 3) Укажите, какая из функций имеет вершину выше: $y=x^2-4$ или $y=x^2+2$». | Индивидуально решают задания, записывают обоснования и выполняют эскиз. |
3 мин | Учитель предлагает повышенное задание: «Сравните функции $y=3x^2-2$ и $y=\frac12x^2-2$. Что у них общее и чем различаются графики? Объясните без построения». | Формулируют: «Общая вершина $(0;-2)$ и ось $x=0$; обе ветви вверх; график с $a=3$ уже, а с $a=\frac12$ шире». |
2 мин | Учитель предлагает творческое задание: «Придумайте функцию вида $y=ax^2+c$, график которой имеет вершину $(0;-3)$ и ветви направлены вниз. Запишите два разных варианта и объясните, чем будут отличаться их графики». После выполнения выводит краткий эталон на экран. | Создают, например, $y=-x^2-3$ и $y=-2x^2-3$, объясняют: «Вершина и ось одинаковы, но вторая парабола уже». |
Эталон решения
Для $y=-2x^2+5$: $a=-2<0$, ветви направлены вниз; $c=5$, вершина $(0;5)$; ось симметрии $x=0$; область значений $(-\infty;5]$. Для сравнения $y=3x^2-2$ и $y=\frac12x^2-2$: одинаковы $c=-2$, вершина и ось симметрии; при большем $|a|$ график уже.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя на обязательном и выбранном уровне. Сейчас сверим ключевые ответы, а затем применим свойства функции к экзаменационному формату и увидим, как график помогает быстро выбрать верное утверждение».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, связать его с форматом ОГЭ, оценить достижение цели и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает задание в формате ОГЭ: «Для функции $y=-x^2+4$ выберите верные утверждения: 1) график имеет вершину $(0;4)$; 2) ветви направлены вверх; 3) область значений $y\le4$; 4) ось симметрии $x=4$. Обоснуйте выбор». | Отмечают утверждения 1 и 3, объясняют: «$c=4$ даёт вершину, $a<0$ означает ветви вниз, ось симметрии $x=0$». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «Закончите три фразы: “Сегодня я понял…”, “При построении графика важно не забыть…”, “Мне нужно потренировать…”. Затем отметьте себя в листе: могу уверенно, могу с подсказкой, пока затрудняюсь». | Письменно завершают фразы и заполняют лист самооценки. |
1 мин | Учитель выдаёт билет на выход: «Запишите одну функцию вида $y=ax^2+c$, укажите её вершину и направление ветвей. Ответ сдайте при выходе». Объявляет домашнее задание. | Записывают функцию, например $y=-3x^2+2$, указывают вершину $(0;2)$ и ветви вниз, сдают билет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились видеть в формуле положение вершины и направление ветвей, строить график и читать его свойства. Эти действия непосредственно нужны в заданиях ОГЭ. На следующем уроке мы продолжим применять графики квадратичных функций при решении уравнений и неравенств».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все базовые задания и задание повышенного уровня либо творческое задание; правильно указаны вершина, ось симметрии, направление ветвей и область значений, построение аккуратное.
- «4» — верно выполнены все базовые задания, допущена не более одной содержательной ошибки в повышенном или творческом задании; ход рассуждения в основном понятен.
- «3» — верно выполнены не менее двух базовых заданий, но допущены ошибки в определении области значений, вершины или направлении ветвей; после подсказки алгоритм применяется.
- Ниже базового уровня — результат требует доработки: ученик вместе с учителем повторяет роль коэффициентов $a$ и $c$ и выполняет одно аналогичное задание с опорой на шпаргалку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о роли коэффициента $c$ в функции $y=ax^2+c$? | Выявление понимания вертикального переноса графика. |
Как по формуле быстро определить вершину и направление ветвей? | Проверка освоения алгоритма чтения формулы. |
На каком шаге построения графика вы могли ошибиться? | Выявление точек затруднения и необходимости коррекции. |
Какой уровень задания вы выбрали и что поможет перейти на следующий? | Осознание индивидуального прогресса и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что в функции $y=ax^2+c$ коэффициент $c$ переносит параболу вверх или вниз, а знак $a$ определяет направление её ветвей. Не забывайте: вершина имеет координаты $(0;c)$, а ось симметрии задаётся уравнением $x=0$. Типичная ошибка — перепутать знак $a$ и знак области значений. На следующем уроке мы используем эти свойства для решения уравнений и неравенств, поэтому сохраните алгоритм в тетради и проверьте себя по билету на выход».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на определение вершины, оси симметрии, направления ветвей и области значений функций вида $y=ax^2+c$; построить два эскиза с таблицами значений. | Закрепляет чтение формулы и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на знак $a$ и координату $c$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на сравнение графиков функций с разными коэффициентами $a$ и $c$, включая объяснение, какая парабола выше, ниже, шире или уже. | Формирует умение анализировать влияние параметров и аргументировать ответ без полного построения. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-исследование: подобрать три функции вида $y=ax^2+c$, описывающие разные положения или ширину парабол, построить эскизы и составить к ним 4 вопроса в формате ОГЭ с ответами. | Развивает творческое мышление, математическую речь и умение конструировать задания по изученной теме. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какую роль играет коэффициент $c$? Как определить координаты вершины? Что показывает знак $a$? Как изменяется область значений при $a>0$ и при $a<0$?»
