Графики и свойства некоторых видов функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать по формуле и графику функции $y=kx$, $y=kx^2$ и $y=\frac{k}{x}$, строить их по нескольким опорным точкам и определять основные свойства: область определения, область значений, нули, промежутки знакопостоянства и монотонность.
- Сформировать умение устанавливать связь между видом формулы, коэффициентом и расположением графика координатной плоскости.
- Развить навыки анализа графиков и выбора способа решения задания экзаменационного формата ОГЭ.
- Научить проверять построение по опорным точкам и обнаруживать типичные ошибки в координатах, знаках и области определения.
- Воспитывать ответственное отношение к самостоятельной проверке решения и уверенность в возможности успешного выполнения графических заданий ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения читать графики для решения учебных и экзаменационных задач.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ благодаря освоению понятного алгоритма анализа графика.
- Проявляют готовность к самооценке, исправлению ошибок и ответственному отношению к результату.
- Развивают мотивацию к дальнейшему изучению функций как инструмента описания зависимостей.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и графика, сопоставляя разные способы представления зависимости.
- Планируют последовательность построения графика и проверяют результат по критериям.
- Сравнивают графики функций, выделяют сходства и различия, формулируют выводы на основе наблюдений.
- Аргументируют ответ при работе в паре и используют математическую терминологию.
- Применяют алгоритм анализа графика к заданию, близкому к формату ОГЭ.
Предметные
- Знать основные виды функций $y=kx$, $y=kx^2$ и $y=\frac{k}{x}$ и особенности их графиков.
- Уметь строить графики функций по таблице значений и нескольким характерным точкам.
- Уметь определять по графику и формуле область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства и монотонность.
- Уметь распознавать график функции по её формуле и знаку коэффициента.
- Владеть алгоритмом выполнения графического задания экзаменационного типа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению графических заданий и формулируют учебную цель.
- Осознают значение аккуратности и проверки при построении графиков.
- Проявляют устойчивый интерес к применению функций для описания реальных зависимостей.
- Формируют позитивное отношение к самостоятельному преодолению затруднений.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют действия: определить вид функции, выбрать точки, построить график, исследовать свойства.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по эталону.
- Находят и исправляют ошибки в таблице значений и построении.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки графиков различных видов функций.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком коэффициента и расположением графика.
- Преобразуют информацию из формулы в таблицу и из таблицы в графическое представление.
- Сравнивают объекты по заданным признакам и классифицируют графики.
- Моделируют алгоритм исследования функции.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по распределённым ролям: вычислитель, чертёжник, докладчик, контролёр.
- Формулируют вопросы о свойствах функций и дают аргументированные ответы.
- Согласуют общий вариант решения и корректно обсуждают обнаруженные ошибки.
- Представляют классу выводы, используя математические термины.
- Осуществляют взаимопроверку по заранее объявленным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трёх координатных плоскостей с графиками функций $y=2x$, $y=x^2$ и $y=\frac{2}{x}$ без подписей формул.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые на распознавание графиков, стандартные на исследование свойств, повышенные на сопоставление формулы и графика — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить на каждую парту лист с таблицами значений для функций $y=2x$, $y=x^2$ и $y=\frac{2}{x}$, оставив отдельные клетки для самостоятельного заполнения.
- Распечатать мини-эталоны с признаками функций и алгоритмом исследования — по одному на ученика для самопроверки.
- Подготовить цветные карточки для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные — по одному комплекту на ученика.
- Записать на доске тему урока, координатные оси и памятку: «Формула → точки → график → свойства → проверка».
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску, маркеры, линейки и запасные листы в клетку.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной работы и самостоятельной проверки.
- Разместить на доске критерии построения: правильная таблица, верные координаты, характерная форма, указание свойств.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую значимость темы для решения заданий ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране три неподписанных графика: прямую, параболу и гиперболу. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём урок с небольшого расследования. Перед вами три графика, но формулы исчезли. Ваша задача — понять, какую информацию можно восстановить по форме графика и нескольким точкам. Поднимите руки те, кто встречал подобное задание в тренировочных вариантах ОГЭ». | Рассматривают три графика, поднимают руки, называют знакомые объекты: «Прямая», «Парабола», «Гипербола». Приводят предположения о возможных формулах. |
2 мин | Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: «Представьте, что на ОГЭ вам дают только формулу и несколько вариантов графика. Как быстро выбрать правильный вариант, не строя график полностью? Что обязательно нужно проверить? Сегодня мы выработаем такой алгоритм и испытаем его на трёх видах функций». | Обсуждают вопрос с соседом 30 секунд, затем формулируют предположения: «Нужно посмотреть на знак коэффициента», «Проверить несколько точек», «Определить, где график расположен». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что форма графика уже содержит важную информацию. Теперь проверим, какие знания о координатах и функциях помогут нам читать эти графики уверенно».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, значениях функции и свойствах, которые понадобятся для открытия нового способа анализа графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт короткую карточку и говорит: «Выполните три задания устно и запишите только ответы. Для функции $y=2x$ найдите значение $y$ при $x=-1$, $x=0$ и $x=2$. Для функции $y=x^2$ найдите значение при $x=-2$ и $x=2$. Объясните, что означает точка $(x;y)$ на графике». Учитель фиксирует ответы на доске. | Вычисляют и записывают: для $y=2x$ получают $-2$, $0$, $4$; для $y=x^2$ получают $4$ и $4$. Формулируют: «Точка $(x;y)$ показывает, что при данном значении аргумента функция принимает указанное значение». |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сравните точки с одинаковыми по модулю аргументами для функции $y=x^2$. Почему значения совпали? А что произойдёт с произведением $xy$ для функции $y=\frac{2}{x}$? Запишите один пример и объясните его соседу». | Самостоятельно записывают примеры, обсуждают в парах: «У квадратичной функции $(-2)^2=2^2$, поэтому значения одинаковы»; «Для $y=\frac{2}{x}$ произведение $xy$ равно 2, например $(-1)\cdot(-2)=2$ и $1\cdot2=2$.» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как получать координаты точек по формуле и как сравнивать значения функции. Но пока не ответили на главный вопрос: как по небольшому числу признаков быстро распознать весь график и его свойства?»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм изучения графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает формулы $y=-2x$, $y=-x^2$ и $y=\frac{-2}{x}$ и просит сопоставить их с тремя графиками на экране. «Попробуйте выбрать график только по формуле. Не стройте его полностью. Какой признак вы используете первым? Почему по одной точке иногда нельзя сделать надёжный вывод?» | Выбирают варианты, обсуждают знак коэффициента и предполагают: «Для $y=-2x$ прямая проходит через начало координат и убывает»; «Для $y=-x^2$ ветви параболы направлены вниз»; «Для отрицательного коэффициента в гиперболе ветви расположены во второй и четвёртой четвертях». |
2 мин | Учитель записывает на доске незавершённую схему: «Вид функции → характерный признак → свойства». «Сформулируйте цель урока. Какие свойства нам нужно научиться определять, чтобы ответить на экзаменационное задание полностью?» | Формулируют цель: «Научиться распознавать и строить графики некоторых функций и определять их свойства». Называют свойства: область определения, область значений, нули, знакопостоянство, возрастание и убывание. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: не просто вспомнить названия графиков, а научиться действовать по алгоритму. Сейчас мы сами обнаружим признаки трёх функций и занесём их в рабочую памятку».
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести основные признаки графиков функций $y=kx$, $y=kx^2$ и $y=\frac{k}{x}$ через исследование таблиц значений и готовых координатных плоскостей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует работу в парах и раздаёт таблицу для $y=2x$ и $y=-2x$. «Заполните таблицы для $x=-2,-1,0,1,2$. Отметьте точки на координатной плоскости и соедините их. Сравните графики. Что общего? Что изменилось при смене знака коэффициента? Какая функция возрастает, а какая убывает?» Учитель показывает на экране эталонную прямую. | Заполняют таблицы, строят две прямые, формулируют: «Обе прямые проходят через начало координат»; «При $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает»; «Область определения и область значений — все действительные числа». |
4 мин | Учитель предлагает исследовать $y=x^2$ и $y=-x^2$. «Запишите значения при $x=-2,-1,0,1,2$. Обратите внимание на симметрию точек относительно оси $Oy$. Куда направлены ветви при положительном и отрицательном коэффициенте? Где находится вершина?» | Заполняют таблицы и строят точки. Отвечают: «График $y=x^2$ — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх»; «График $y=-x^2$ имеет ветви, направленные вниз»; «Функция симметрична относительно оси $Oy$». |
3 мин | Учитель демонстрирует таблицы для $y=\frac{2}{x}$ и $y=\frac{-2}{x}$, отдельно подчёркивает запрет деления на ноль. «Назовите допустимые значения аргумента. В каких четвертях расположены ветви при положительном коэффициенте? Что меняется при отрицательном? Можно ли пересечь оси координат?» | Рассматривают пары точек, делают вывод: «$x=0$ не входит в область определения»; «При $k>0$ ветви расположены в первой и третьей четвертях, при $k<0$ — во второй и четвёртой»; «График не пересекает оси координат». |
Запись в тетрадях
- $y=kx$: график — прямая через начало координат; при $k>0$ возрастает, при $k<0$ убывает; $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=\mathbb{R}$.
- $y=kx^2$: график — парабола с вершиной в начале координат; при $k>0$ ветви направлены вверх, при $k<0$ — вниз; график симметричен относительно оси $Oy$.
- $y=\frac{k}{x}$: график — гипербола; $x\ne0$; при $k>0$ ветви в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV четвертях; оси координат являются асимптотами.
- Алгоритм: определить вид функции; учесть знак коэффициента; выбрать характерные точки; построить график; определить свойства и проверить результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили, что формула задаёт не случайный рисунок, а систему признаков. Теперь проверим, сможете ли вы применить эти признаки без моей подсказки».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание графиков и формулировку их свойств через взаимное объяснение в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с четырьмя описаниями и говорит: «Работаем в парах. Для каждого описания назовите возможную формулу и объясните выбор одним признаком. 1) График — прямая через начало координат, проходящая через точку $(1;3)$. 2) Парабола имеет вершину $(0;0)$ и направлена вниз. 3) Гипербола расположена в I и III четвертях. 4) График не определён при $x=0$». | В парах записывают ответы: «$y=3x$»; «$y=-kx^2$ при $k>0$, например $y=-x^2$»; «$y=\frac{k}{x}$ при $k>0$»; «$y=\frac{k}{x}$, где $k\ne0$». Объясняют выбор по форме и знаку коэффициента. |
2 мин | Учитель применяет приём «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если можете по формуле назвать форму графика, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если пока не получается. Сейчас разберём одну типичную ошибку: ученик утверждает, что график $y=\frac{2}{x}$ пересекает начало координат, потому что оси нарисованы на рисунке». | Показывают карточки, исправляют ошибку: «График не проходит через начало координат, поскольку при $x=0$ выражение не имеет смысла. Оси являются асимптотами». |
2 мин | Учитель просит две пары представить по одному ответу: «Говорите полным предложением: вид функции, признак, свойство. Остальные проверяют по памятке на доске». | Представляют ответы: «Функция $y=-2x$ задаёт прямую через начало координат; так как коэффициент отрицательный, она убывает на всей области определения». Одноклассники отмечают наличие формулы, признака и свойства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились объяснять выбор графика не по внешнему впечатлению, а по формуле и признакам. Теперь каждый самостоятельно выполнит небольшое задание в формате, близком к ОГЭ».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма построения и исследования функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень по своей готовности. Обязательный минимум: сопоставьте формулы $y=2x$, $y=-x^2$, $y=\frac{3}{x}$ с описаниями графиков и укажите по одному свойству каждой функции. Базовый уровень: постройте график $y=\frac{2}{x}$ по четырём точкам и укажите область определения и область значений. Повышенный уровень: сравните $y=x^2$ и $y=-x^2$, объяснив, какие свойства изменились». | Индивидуально выполняют выбранный вариант, записывают формулы, точки и свойства. При построении гиперболы используют точки $(1;2)$, $(2;1)$, $(-1;-2)$, $(-2;-1)$, не соединяют ветви с осями. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Проверьте сначала формулы и координаты, затем форму графика, затем свойства. За каждую найденную ошибку поставьте на полях условный знак и исправьте её. Не просто зачёркивайте ответ — объясните причину ошибки». | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают: «неверный знак коэффициента», «ошибка в вычислении», «не указана точка $x=0$ как запрещённая». |
2 мин | Учитель проводит самооценку: «Поставьте себе от 0 до 3 баллов: один балл за верное определение вида функции, один за правильные точки или сопоставление, один за свойства. Поднимите жёлтую карточку, если ошибка связана с конкретным шагом, и зелёную, если алгоритм понятен». | Подсчитывают баллы, формулируют личный результат: «Я уверенно определяю вид функции, но путаю область значений» или «Я умею строить график по точкам и объяснять его свойства». |
Эталон решения
Для функции $y=\frac{2}{x}$: 1) $x\ne0$, так как деление на ноль невозможно; 2) выбираем $x=1,2,-1,-2$; 3) вычисляем $y=2,1,-2,-1$; 4) отмечаем точки $(1;2)$, $(2;1)$, $(-1;-2)$, $(-2;-1)$; 5) проводим две плавные ветви гиперболы в I и III четвертях; 6) записываем $D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ и $E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$; 7) указываем, что функция не имеет нулей и не пересекает оси координат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какой шаг алгоритма уже стал привычным, а какой требует внимания. Осталось связать отдельные признаки в единую систему и ответить на проблемный вопрос начала урока».
Этап 7. Включение знаний в систему и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм анализа графиков, оценить достижение цели и снизить тревожность перед экзаменационными заданиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к трём графикам начала урока. «Теперь объясните, как за короткое время отличить их друг от друга. Назовите не менее двух признаков каждого. Какой порядок действий вы примените в задании ОГЭ, если даны формула и четыре рисунка?» | Формулируют: «Прямая проходит через начало координат; парабола имеет вершину и симметрию; гипербола не пересекает оси и имеет две ветви». Называют алгоритм: «Определить вид, знак коэффициента, характерные точки, расположение, свойства». |
2 мин | Учитель раздаёт мини-лист «Билет на выход»: «Закончите две фразы: “Сегодня я научился…” и “Перед проверочной мне нужно повторить…”. В конце выберите цвет: зелёный — могу объяснить другому, жёлтый — решу с памяткой, красный — нужна помощь». | Письменно заполняют билет на выход, выбирают цвет самооценки и сдают лист учителю. Называют конкретный затрудняющий шаг, например: «Мне нужно повторить свойства гиперболы». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают итоговую памятку: «Для распознавания графика сначала определяю вид функции, затем знак коэффициента, после этого проверяю характерные точки и свойства. График нельзя выбирать только по одному совпадению точки».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пункты выбранной карточки; формулы, координаты и свойства записаны без ошибок; график $y=\frac{2}{x}$ построен по точкам в правильных четвертях, ветви не пересекают оси.
- «4» — выполнено не менее 80% задания, допущена одна неточность в формулировке свойства или вычислении, но вид функции и общий характер графика определены верно.
- «3» — выполнено не менее половины задания; распознаны основные виды функций, но есть две ошибки в точках, знаках коэффициента или указании области определения.
- Ниже «3» — требуется дополнительная работа по алгоритму: определить вид функции, выбрать точки, построить график, назвать свойства и выполнить проверку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи формулы и формы графика? | Выявление осознания ключевой предметной связи. |
Какой шаг алгоритма помогает быстрее всего распознать график? | Проверка понимания последовательности действий. |
Какая ошибка сегодня оказалась наиболее вероятной: знак коэффициента, координаты или область определения? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Сможете ли вы объяснить однокласснику, почему график $y=\frac{k}{x}$ не пересекает оси? | Проверка глубины понимания и готовности к переносу знания. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что график функции можно читать как математический текст. Если определить вид функции, знак коэффициента и несколько характерных точек, выбор правильного графика становится последовательной задачей, а не угадыванием. Особенно внимательно проверяйте область определения: для функции $y=\frac{k}{x}$ значение $x=0$ недопустимо. На следующем уроке мы продолжим исследовать преобразования графиков и потренируемся решать задания, где график нужно сопоставить с формулой и свойствами.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на распознавание графиков функций $y=kx$, $y=kx^2$ и $y=\frac{k}{x}$ по формуле и знаку коэффициента; для каждого записать по два свойства. | Закрепляет различение видов графиков и контроль знака коэффициента; при проверке смотреть на полноту формулировок. |
Средний (повышающий) | Построить по таблицам значений графики функций $y=-3x$, $y=2x^2$ и $y=\frac{-4}{x}$, указать область определения, область значений, нули и промежутки монотонности там, где это возможно. | Формирует навык перехода от формулы к графику и исследованию свойств; при проверке обратить внимание на запрещённое значение $x=0$ и расположение ветвей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 задания экзаменационного типа: в первом сопоставить формулу с одним из четырёх графиков, во втором по графику определить знак коэффициента и два свойства функции; к каждому ответу дать краткое обоснование. | Развивает анализ, аргументацию и перенос алгоритма в новый контекст; при проверке оценивать не только ответ, но и объяснение признаков. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая функция задаёт прямую через начало координат? Как по знаку коэффициента определить направление ветвей параболы? Почему для функции $y=\frac{k}{x}$ нельзя брать $x=0$? Какие четыре шага вы выполните перед выбором графика на ОГЭ?»
