Числа и выражения: классификация чисел и вычисление значений выражений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться классифицировать числа как натуральные, целые, рациональные или иррациональные и без ошибок вычислять значения числовых выражений, используя порядок действий и свойства операций, на уровне типовых заданий ОГЭ.
- Образовательная задача: систематизировать знания о числовых множествах и взаимосвязи между ними.
- Образовательная задача: повторить порядок выполнения действий, правила работы со степенями, корнями и дробями в числовых выражениях.
- Развивающая задача: формировать умение анализировать структуру выражения, выбирать рациональный способ вычисления и проверять результат.
- Коммуникативная и воспитательная задача: развивать математическую речь, взаимопомощь, ответственное отношение к подготовке к ОГЭ и спокойное отношение к проверочным заданиям.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость точного вычисления и проверки результата в учебных и жизненных ситуациях.
- Понимают, что систематическая работа с типовыми заданиями ОГЭ снижает тревожность и повышает уверенность.
- Проявляют готовность исправлять ошибки и обращаться за помощью при затруднении.
- Развивают ответственное отношение к результату индивидуальной и парной работы.
Метапредметные
- Анализируют состав числового выражения и устанавливают последовательность действий.
- Работают с математической информацией, представленной в виде чисел, символов, дробей и корней.
- Выбирают способ вычисления, аргументируют его и проверяют правдоподобие ответа.
- Сотрудничают в паре, используют критерии самопроверки и корректируют решение.
- Применяют алгоритм к заданиям, близким к формату ОГЭ.
Предметные
- Знать определения натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел и их взаимное расположение.
- Уметь определять принадлежность числа одному или нескольким числовым множествам.
- Уметь вычислять значения выражений со скобками, дробями, степенями и квадратными корнями.
- Уметь применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства для рационализации вычислений.
- Уметь находить и объяснять типичные ошибки в решении числовых выражений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучаемый материал с личной целью успешной подготовки к ОГЭ.
- Формируют смысл учебной деятельности через понимание роли точности и самоконтроля.
- Оценивают собственную готовность к решению числовых выражений.
- Принимают ситуацию ошибки как возможность уточнить алгоритм.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и планируют последовательность действий при вычислении выражения.
- Работают по алгоритму, фиксируя промежуточные результаты.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и выполняют коррекцию.
- Оценивают степень освоения материала по критериям и сигналам «светофора».
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по существенным признакам и устанавливают отношения включения множеств.
- Выделяют структуру числового выражения и моделируют порядок действий.
- Сравнивают два способа вычисления и выбирают более рациональный.
- Преобразуют выражение, используя свойства арифметических действий.
- Извлекают информацию из условия задания экзаменационного формата.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Обсуждают решение в паре и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют классификацию числа и выбор порядка действий.
- Корректно сообщают однокласснику об ошибке и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой числовых множеств: натуральные, целые, рациональные, действительные числа; отдельно отметить иррациональные числа.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задания на классификацию чисел, стандартные выражения, повышенное задание на рациональный способ вычисления; распечатать по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить мини-лист самопроверки с алгоритмом: определить порядок действий, выполнить действие в скобках, степени и корни, умножение и деление, сложение и вычитание, проверить знак и приблизительное значение.
- Подготовить четыре карточки на парту для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Распечатать билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать на доске задания: $-3$, $0$, $\frac{5}{7}$, $\sqrt{2}$, $0{,}25$, $\sqrt{49}$, $\pi$.
- Подготовить эталон решения для самостоятельной работы и критерии оценивания: правильность, соблюдение порядка действий, наличие промежуточных преобразований.
- Использовать материалы действующей рабочей программы, федеральной рабочей программы по математике и открытого банка заданий ОГЭ; конкретные номера заданий из учебника учитель выбирает по своей линии УМК.
- Подготовить доску, маркеры или мел, проектор при наличии, таймер на 3 минуты и цветные сигнальные карточки для самооценки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с типичными заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для записи. Сегодня мы будем работать с тем, что встречается практически в каждом экзаменационном варианте: числами и выражениями. Наша задача — не просто получить ответ, а научиться видеть структуру задания и спокойно проверять себя." | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $2+3\cdot4$ и спрашивает: "Какой ответ вы получите, если действовать слева направо? А какой — если вспомнить правило порядка действий? Почему экзаменационная ошибка здесь возникает не из-за сложной математики, а из-за невнимательности?" | Предлагают ответы $20$ и $14$, объясняют: "Сначала выполняется умножение, затем сложение". Формулируют ожидание: "Нужно научиться видеть порядок действий". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что даже короткое выражение требует алгоритма. Сначала проверим опорные знания о числах, а затем выясним, какое действие помогает избежать ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о числовых множествах и правилах вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала одну минуту работаем самостоятельно. Распределите числа $-3$, $0$, $\frac{5}{7}$, $\sqrt{2}$, $0{,}25$, $\sqrt{49}$, $\pi$ по известным множествам. Затем сравните классификацию с соседом и подготовьте одно объяснение." | Индивидуально отмечают принадлежность чисел, затем обсуждают различия в паре. Формулируют: "$-3$ — целое и рациональное; $\sqrt{2}$ и $\pi$ — иррациональные; $\sqrt{49}=7$ — натуральное, целое и рациональное". |
3 мин | Учитель собирает ответы: "Назовите самое маленькое множество, которому принадлежит каждое число. Что общего у рациональных чисел? Как можно представить $0{,}25$?" На доске фиксирует схему включения множеств. | Отвечают: "Рациональные числа представляются дробью $\frac{m}{n}$, где $n\ne0$"; преобразуют $0{,}25=\frac14$; уточняют, что одно число может принадлежать нескольким множествам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что числовые множества связаны включением, а десятичная запись не всегда сразу показывает вид числа. Теперь найдём, где именно в вычислении чаще всего появляется затруднение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи: $18-2\cdot(3+4)=4$ и $18-2\cdot(3+4)=4$ с неверным промежуточным переходом $18-2\cdot7=16\cdot7$. "Обе записи начинаются одинаково, но во второй нарушено правило. На каком шаге возникла ошибка? Какие ещё ошибки возможны при работе с корнями и дробями?" | Находят ошибку: после вычисления скобок нужно выполнить умножение, а не умножать результат предыдущего вычитания. Называют возможные ошибки: потеря знака, неправильное извлечение корня, пропуск скобок. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Сформулируйте цель так, чтобы её можно было проверить в конце урока. Какие шаги алгоритма нам понадобятся?" Записывает на доске цель и план: классифицировать числа, разобрать порядок действий, решить задания, проверить ответы. | Формулируют цель: "Научиться классифицировать числа и вычислять числовые выражения по алгоритму". Предлагают последовательность действий и записывают тему. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: ошибки возникают, когда мы не анализируем выражение до начала вычислений. Сейчас построим общий алгоритм и проверим его на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания и работа по алгоритму (9 мин)
Цель этапа: сформировать алгоритм анализа и вычисления числового выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на доске выражение $\frac{3}{4}+\sqrt{16}-2^2$. "Не начинаем считать сразу. Сначала читаем структуру: есть дробь, корень и степень, скобок нет. Выполняем степень и корень, затем сложение и вычитание. Запишем каждый промежуточный результат. Почему запись по шагам надёжнее устного счёта?" | Называют порядок действий и записывают: $\sqrt{16}=4$, $2^2=4$, затем $\frac34+4-4=\frac34$. Объясняют, что поэтапная запись помогает увидеть ошибку. |
3 мин | Учитель разбирает рациональный способ: "Рассмотрим $\frac{7}{12}+\frac{5}{18}$. Можно сразу приводить дроби к общему знаменателю. Найдите наименьший общий знаменатель и объясните, почему сокращать результат нужно в конце." | Находят общий знаменатель $36$, получают $\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$, проговаривают отсутствие сокращения. |
2 мин | Учитель формулирует памятку: "Первый шаг — определить вид числа и структуру выражения. Второй — расставить порядок действий. Третий — выполнять действия по шагам. Четвёртый — проверить знак, размер ответа и возможность сокращения. Отметьте в памятке шаг, который обычно пропускаете." | Записывают алгоритм, отмечают индивидуальную трудность, задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Алгоритм вычисления: 1) определить структуру выражения; 2) выполнить действия в скобках; 3) вычислить степени и корни; 4) выполнить умножение и деление; 5) выполнить сложение и вычитание; 6) проверить знак, сокращение и правдоподобие ответа. Числовые множества связаны так: натуральные числа входят в целые, целые — в рациональные, рациональные и иррациональные — в действительные.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм помогает превратить сложное на вид выражение в цепочку понятных шагов. Теперь применим его сначала вместе, проговаривая каждое действие, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления и классификации чисел с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парные карточки и говорит: "Выполните задание с приёмом ‘Подумай — обсуди в паре — поделись’. Решите выражение $5-\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{4}{3}-2\right)$, записывая промежуточные шаги. Один ученик считает, второй контролирует порядок действий, затем поменяйтесь ролями." | Вычисляют в парах: $\frac43-2=-\frac23$; $\frac32\cdot(-\frac23)=-1$; $5-(-1)=6$. Проверяют запись друг друга. |
2 мин | Учитель предлагает классифицировать числа $-\sqrt{25}$, $\frac{11}{4}$, $\sqrt{3}$, $1{,}2$ и просит назвать основания ответа. | Записывают: $-\sqrt{25}=-5$ — целое и рациональное; $\frac{11}{4}$ и $1{,}2$ — рациональные; $\sqrt3$ — иррациональное. Объясняют преобразования. |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку: "Поднимите зелёную карточку, если все шаги понятны, жёлтую — если нужна проверка знаков или дробей, красную — если алгоритм пока не складывается. Разберём один наиболее частый вопрос." | Показывают сигналы, называют затруднение: "При умножении отрицательной дроби забываю знак" или "Не знаю, когда извлекать корень". Исправляют запись по подсказке. |
Эталон решения
$5-\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{4}{3}-2\right)=5-\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=5-(-1)=6$. Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, затем вычитание отрицательного числа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили алгоритм на выражении со скобками и дробями и убедились, что промежуточная запись защищает от ошибки знака. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет применять этот алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение материала и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет инструкцию: "Работаем индивидуально. Выберите уровень: базовый — два задания, стандартный — три, повышенный — четыре. Сначала внимательно прочитайте, затем запишите решение по шагам. Если не знаете ответ, зафиксируйте место затруднения, а не оставляйте пустую строку." | Выбирают уровень с учётом самооценки, записывают номер выбранного варианта. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый вариант: классифицировать $0$, $-7$, $\frac{2}{9}$, $\sqrt{11}$ и вычислить $3+2\cdot5$. Стандартный: вычислить $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$ и $\sqrt{81}-2^3+\frac12$. Повышенный: вычислить $\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right)\cdot10+\sqrt{49}$ и объяснить рациональный способ. | Решают выбранные задания, соблюдают порядок действий, отмечают сомнительный шаг значком вопроса. |
3 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Проверьте не только конечный ответ, но и каждый переход. Если ошибка найдена, зачеркните только неверный шаг, исправьте его и подпишите причину: ‘нарушен порядок действий’, ‘ошибка знака’, ‘неверно классифицировано число’." | Сверяют решения, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных заданий и записывают причину ошибки. |
Эталон решения
$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$. $\sqrt{81}-2^3+\frac12=9-8+\frac12=1\frac12=\frac32$. $\left(\frac35-\frac12\right)\cdot10+\sqrt{49}=\frac1{10}\cdot10+7=8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала не только количество верных ответов, но и характер ошибок. Важно уметь назвать причину ошибки: это помогает исправлять способ действия, а не просто переписывать ответ. Завершим урок фиксацией того, что уже умеем и что нужно повторить."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, зафиксировать индивидуальные затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте кратко на два вопроса: какое действие выполняется раньше в выражении $4+3^2\cdot2$ и почему число $\sqrt5$ не является рациональным? Запишите также один шаг, который вы будете проверять особенно внимательно." | Пишут: "$3^2$, затем умножение, затем сложение"; "$\sqrt5$ нельзя представить в виде дроби двух целых чисел"; называют индивидуальный риск ошибки. |
1 мин | Учитель организует приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает вашу готовность: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь учителя." | Показывают карточку и формулируют личную учебную задачу. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и при желании добавьте следующий. В каждом решении сохраняйте промежуточные действия и выполняйте проверку знака и результата." | Записывают домашнее задание, уточняют требования к оформлению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали числовые множества с практическим вычислением выражений и отработали алгоритм, близкий к заданиям ОГЭ. На следующем уроке продолжим применять эти действия при преобразовании выражений и решении задач. Не стремитесь считать быстрее — сначала научитесь считать надёжно."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного стандартного уровня или не менее трёх заданий повышенного уровня; классификация чисел обоснована, порядок действий соблюдён, промежуточные вычисления записаны аккуратно.
- "4" — допущена одна вычислительная ошибка при в целом верном алгоритме либо правильно выполнены два задания стандартного уровня с небольшим недочётом в объяснении.
- "3" — правильно выполнены базовые задания на классификацию и порядок действий, но имеются ошибки при работе с дробями, степенями или корнями.
- Оценка может быть дополнена формирующим комментарием: отдельно отмечаются правильный выбор алгоритма, качество самопроверки и исправление ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или систематизированного вы сегодня узнали о числовых множествах? | Проверка осознания предметного результата и взаимосвязи множеств. |
Какой шаг алгоритма вычисления выражения вы теперь выполняете осознанно? | Выявление сформированности регулятивного действия и умения планировать решение. |
Какая ошибка встретилась у вас или могла возникнуть? | Диагностика типичных затруднений: знак, порядок действий, дроби, корни. |
Насколько спокойно вы сейчас готовы решать подобное задание ОГЭ? | Субъективная оценка уверенности и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что тема ‘Числа и выражения’ строится на понятном алгоритме: определить структуру, соблюдать порядок действий и проверить результат. Типичная ошибка — начинать вычисления сразу и пропускать промежуточную запись, особенно при отрицательных числах и дробях. Вы уже умеете находить такую ошибку и объяснять её причину. На следующем уроке мы продолжим работу с выражениями и будем выбирать наиболее рациональный способ преобразования."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 числовых выражения со скобками, дробями, степенями и квадратными корнями; классифицировать 6 предложенных чисел по числовым множествам. | Закрепляет базовый алгоритм и взаимосвязь числовых множеств; при проверке обратить внимание на порядок действий и запись промежуточных результатов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 выражений уровня типовых заданий ОГЭ, включая два выражения с отрицательными числами и одно выражение, где удобно применить свойства действий; каждое решение проверить оценкой знака и приблизительной величины. | Формирует устойчивый навык вычисления и самоконтроля; при проверке смотреть на обоснованность переходов и отсутствие ошибок знака. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных числовых выражения: одно с рациональным результатом и одно с иррациональным результатом, решить их и кратко объяснить выбор чисел и порядок действий. | Развивает умение создавать математический объект и анализировать результат; при проверке оценить корректность условия, решения и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как отличить рациональное число от иррационального? Какой порядок действий используется в выражении со скобками, степенью и корнем? Почему промежуточная запись помогает обнаружить ошибку? Как можно проверить правдоподобие полученного ответа?»
Методические ресурсы
- Федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов и планируемые результаты основного общего образования.
- Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования: требования к предметным и метапредметным результатам.
- Открытый банк заданий ОГЭ по математике ФИПИ для подбора аналогичных заданий без привязки к конкретному учебнику.
- Действующий учебник и рабочие материалы учителя: раздел о числах, числовых множествах и преобразовании выражений; конкретные страницы и номера заданий учитель выбирает по своей линии УМК.
- Презентация или интерактивная доска со схемой числовых множеств, алгоритмом порядка действий, карточками трёх уровней и эталоном самопроверки.
