Система двух линейных уравнений с двумя переменными и её решение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать систему двух линейных уравнений с двумя переменными, понимать смысл её решения и решать простейшие системы графическим способом и способом подстановки, проверяя полученный результат.
- Сформировать представление о системе двух линейных уравнений с двумя переменными и записи её решения в виде пары чисел.
- Научить устанавливать, является ли заданная пара чисел решением системы, посредством подстановки в оба уравнения.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, работать в паре, объяснять ход рассуждений и находить ошибку в готовом решении.
- Показать связь систем уравнений с задачами ОГЭ, практическими ситуациями и применением математических моделей в информатике и естественных науках.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность систем уравнений для описания реальных ситуаций и решения задач ОГЭ.
- Формируют ответственное отношение к проверке результата и понимание того, что ошибка может быть обнаружена самоконтролем.
- Снижают тревожность перед экзаменационными заданиями через освоение понятного алгоритма действий.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и уважительно оценивают математическое рассуждение одноклассника.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно составляют план её решения.
- Извлекают информацию из условия практической задачи, переводят её на математический язык и интерпретируют результат.
- Используют таблицу, график и цифровой инструмент для представления зависимости.
- Осуществляют самопроверку по алгоритму, фиксируют затруднение и корректируют решение.
Предметные
- Знать определение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и понятие её решения.
- Уметь проверять, является ли пара чисел решением системы, подставляя её в каждое уравнение.
- Уметь выражать одну переменную через другую и применять способ подстановки в простейших системах.
- Уметь находить точку пересечения графиков линейных функций как графическое решение системы.
- Уметь записывать ответ и выполнять проверку полученной пары чисел.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения систем уравнений через связь с экзаменационными и практическими задачами.
- Проявляют познавательный интерес к поиску нескольких способов решения одной задачи.
- Осознают ценность точности, последовательности и доказательности математической записи.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность: распознать систему, выбрать способ, решить, проверить, записать ответ.
- Контролируют знаки, коэффициенты и соответствие найденной пары обоим уравнениям.
- Оценивают результат по критериям и исправляют обнаруженные ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки системы двух линейных уравнений.
- Сравнивают алгебраическую и графическую модели одной и той же системы.
- Преобразуют уравнение, выражая одну переменную через другую.
- Строят математическую модель практической ситуации и проверяют её адекватность.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и объясняют партнёру каждый шаг решения.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Аргументируют выбор способа решения и корректно указывают на ошибку.
- Сверяют собственный вывод с решениями одноклассников и задают уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с определением системы, графиками двух линейных функций и алгоритмом проверки пары чисел.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего 15 карточек, с тремя системами разного уровня.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней: по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Вывести на доску практическую задачу: «За 2 билета в кино и 3 напитка заплатили 860 рублей, а за 3 билета и 2 напитка — 940 рублей».
- Подготовить таблицу с критериями проверки: подстановка в первое уравнение, подстановка во второе уравнение, корректная запись ответа.
- Проверить работу интерактивной доски или проектора; при наличии компьютеров открыть динамический графический сервис для построения двух прямых.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и на 5 минут для самостоятельной работы.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки с движениями по координатным направлениям.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, показать практическую и экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем не просто преобразовывать выражения, а учиться находить неизвестные величины сразу из двух условий. Это умение встречается в заданиях ОГЭ и в практических расчётах." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
3 мин | Учитель показывает на доске задачу о билетах и напитках: "Как определить цену одного билета и одного напитка, если известны две разные покупки? Одного уравнения достаточно? Что изменится, если неизвестных две? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ в паре и поделитесь формулировкой." | В парах обсуждают ситуацию, формулируют: "Нужно составить два уравнения с двумя неизвестными"; называют возможные неизвестные и условия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели ситуацию, где одного уравнения недостаточно. Сейчас выясним, как записываются два связанных уравнения и что означает их общее решение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о линейном уравнении и координатах точки, необходимые для открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $2x+3=9$ и спрашивает: "Что называется корнем уравнения? Как проверяют найденное значение? Решите уравнение устно и объясните действие." | Отвечают: "Корень — значение переменной, превращающее равенство в верное"; решают $x=3$, выполняют проверку $2\cdot3+3=9$. |
2 мин | Учитель показывает уравнение $y=2x-1$: "Какие координаты имеет точка графика? Что означает принадлежность точки графику? Назовите две точки, которые удобно построить." | Называют условие $y=2x-1$ и предлагают точки $(0;-1)$ и $(1;1)$. |
2 мин | Учитель предъявляет пары $(2;3)$ и $(1;4)$ для уравнения $x+y=5$: "Какая пара подходит? Объясните, почему одной подстановки достаточно для одного уравнения." | Подставляют пары, устанавливают, что обе дают сумму 5, делают вывод о проверке равенства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить корень одного уравнения и проверять принадлежность точки его графику. Но теперь нам нужно, чтобы одна пара чисел одновременно удовлетворяла двум уравнениям."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: зафиксировать затруднение и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает систему: $\begin{cases}x+y=5\\2x-y=4\end{cases}$ и обращается к классу: "Можно ли назвать решением число 2? А пару $(3;2)$? Что должна выполнять пара чисел, чтобы стать решением системы?" | Понимают, что проверять нужно два равенства; отвечают: "Пара должна одновременно удовлетворять обоим уравнениям". |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала запишите индивидуально, что нам нужно научиться делать, затем объединитесь в пары и сформулируйте одну общую цель. В цели обязательно должны быть слова распознать, решить, проверить." | Формулируют цель: "Научиться решать систему двух линейных уравнений с двумя переменными и проверять найденную пару"; записывают её в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: найти общую пару для двух уравнений. Давайте откроем это знание через графическую модель и затем проверим его алгебраически."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести понятие решения системы и алгоритм решения способом подстановки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель преобразует систему к виду функций: $y=5-x$ и $y=2x-4$. На экране строит две прямые: "Посмотрите, каждая строка системы задаёт график. Какая точка принадлежит сразу двум графикам? Почему именно она является решением системы?" | Наблюдают пересечение прямых, называют точку $(3;2)$ и формулируют: "Её координаты удовлетворяют обоим уравнениям". |
4 мин | Учитель показывает способ подстановки: "Из первого уравнения выражаем $y=5-x$. Подставляем это выражение во второе: $2x-(5-x)=4$. Получаем $3x=9$, значит $x=3$, затем $y=2$. Не пропускайте этап проверки." | Записывают преобразования, проговаривают, какая переменная выражена и куда подставлена, получают $x=3$, $y=2$. |
3 мин | Учитель фиксирует на доске алгоритм: "Первое: выразить переменную. Второе: подставить. Третье: решить уравнение с одной переменной. Четвёртое: найти вторую переменную. Пятое: проверить пару в обоих уравнениях." Учитель просит объяснить, зачем нужны два равенства проверки. | Переписывают алгоритм, объясняют: "Проверка показывает, что ошибка не появилась при преобразованиях и пара подходит всей системе". |
Запись в тетрадях
Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, объединённые фигурной скобкой. Решение системы — пара значений переменных, которая одновременно обращает оба уравнения в верные равенства. Алгоритм способа подстановки: выразить переменную; подставить; решить полученное уравнение; найти вторую переменную; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что решение системы можно увидеть как точку пересечения графиков и найти вычислением. Теперь применим алгоритм вместе с партнёром и научимся замечать типичные ошибки."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм подстановки и проверку решения через парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "В каждой паре один ученик решает, второй выполняет роль проверяющего. Через три минуты поменяйтесь ролями. Проверяющий отмечает в алгоритме каждый выполненный шаг." | Получают карточки, распределяют роли, читают критерии проверки. |
3 мин | Учитель предлагает систему: $\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$ и напоминает: "Выберите уравнение, из которого проще выразить переменную. Записывайте каждое преобразование, а не только ответ." | Решают систему: выражают $y=7-x$, получают $x-(7-x)=1$, находят $x=4$, $y=3$, выполняют проверку. |
2 мин | Учитель даёт второй пример: $\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}$ и просит партнёра найти возможную ошибку в записи решения. | Решают или проверяют решение партнёра, объясняют: $y=8-2x$, затем $x-(8-2x)=1$, $3x=9$, $x=3$, $y=2$. |
1 мин | Учитель просит две пары озвучить по одному шагу и проводит краткую взаимопроверку по эталону на экране. | Сверяют записи, исправляют пропущенные действия, формулируют: "Ответ системы — пара чисел, а не одно значение". |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$: из первого уравнения $y=7-x$. Подставляем во второе: $x-(7-x)=1$. Тогда $2x-7=1$, $2x=8$, $x=4$. Находим $y=7-4=3$. Проверка: $4+3=7$, $4-3=1$. Ответ: $(4;3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы убедились, что аккуратная последовательность действий снижает количество ошибок. Сейчас сделаем короткую физкультминутку, а затем каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Физкультминутка и межпредметная связь с информатикой (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение и связать математический алгоритм с алгоритмическим мышлением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Представьте координатную плоскость: шаг вправо — увеличение $x$, шаг влево — уменьшение $x$, шаг вверх — увеличение $y$, шаг вниз — уменьшение $y$. Повторяйте движения по моим командам." | Выполняют безопасные шаги вправо, влево, вверх и вниз, проговаривают изменение координат. |
2 мин | Учитель показывает на экране псевдокод: «ввести систему → выразить переменную → подставить → решить → проверить». Спрашивает: "Почему это похоже на программу? Что произойдёт, если пропустить проверку?" | Отвечают: "Это последовательность команд"; объясняют, что без проверки ошибка перейдёт в итоговый ответ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм удобен не только в математике: его можно представить как программу с последовательными командами. Теперь проверим свои умения индивидуально."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение понятием и алгоритмом решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите систему способом подстановки и выполните проверку: $\begin{cases}x+y=9\\2x-y=3\end{cases}$. Затем определите, является ли пара $(2;7)$ решением системы $\begin{cases}x+y=9\\x-y=-5\end{cases}$. Работайте без консультаций, все шаги записывайте." | Самостоятельно решают первую систему: $x=4$, $y=5$; проверяют оба равенства. Во второй системе подставляют пару и устанавливают, что она является решением. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и ход решения. Поставьте знак «+» рядом с правильным шагом и обведите место затруднения. Ошибку исправьте другой ручкой." | Сверяют работу, исправляют ошибки, отмечают уровень уверенности зелёным, жёлтым или красным стикером. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже доступен. Осталось осмыслить, где он применяется и какой шаг требует наибольшей внимательности."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите одним предложением, что называется решением системы, и перечислите пять шагов способа подстановки. Дополните фразу: «Теперь я могу…», «Мне нужно потренировать…»." | Письменно формулируют определение, алгоритм и личный результат, сдают билет учителю. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает: "Выберите обязательный уровень, а желающие возьмут повышенный или дополнительный. Важно не количество примеров, а запись всех шагов и проверка в обоих уравнениях." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, поднимают стикер соответствующего цвета. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе системы или задание индивидуального листа выполнено полностью, корректно выражена переменная, выполнены все преобразования и проверка в обоих уравнениях.
- «4» — правильно найден ответ, но допущена одна неточность в оформлении или пропущена часть проверки без ошибки в основном алгоритме.
- «3» — понятен способ решения, но допущены две ошибки в преобразованиях либо решена только одна система; ученик может исправить работу по подсказке алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется решением системы двух уравнений? | Проверить усвоение ключевого определения и понимание одновременного выполнения двух равенств. |
Какой шаг способа подстановки оказался самым трудным? | Выявить точки затруднения в алгоритме преобразования и подстановки. |
Как вы проверяете найденную пару чисел? | Проверить сформированность навыка самоконтроля. |
Где системы уравнений могут пригодиться на ОГЭ или в жизни? | Осознать практическую значимость темы и снизить экзаменационную тревожность. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что решение системы — это не одно число, а пара, которая одновременно удовлетворяет двум уравнениям. Мы научились видеть систему как пересечение графиков и решать её способом подстановки. Самая частая ошибка — потеря знака при раскрытии скобок и отсутствие проверки второго уравнения. Если действовать по алгоритму и не пропускать самопроверку, задание ОГЭ становится понятной последовательностью шагов. На следующем уроке мы сравним способ подстановки со способом сложения и научимся выбирать наиболее рациональный вариант."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 системы двух линейных уравнений способом подстановки, включая системы, где одну переменную нужно выразить с коэффициентом, и выполнить проверку каждого ответа. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на правильное выражение переменной, знаки и подстановку в оба уравнения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи, в каждой составить систему по условию, найти значения двух неизвестных и записать ответ с единицами измерения. | Развивает математическое моделирование и функциональную грамотность; проверить соответствие переменных условию задачи. |
Продвинутый (дополнительный) | Для 2 систем построить графики обеих линейных функций в цифровом инструменте или на координатной плоскости, сравнить точку пересечения с алгебраическим ответом и описать совпадение. | Формирует связь графического и алгебраического способов; проверить масштаб, координаты точки пересечения и обоснованный вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что должна удовлетворять пара чисел, чтобы быть решением системы?», «Какие пять действий включает способ подстановки?», «Зачем проверять найденную пару в обоих уравнениях?»
