Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной переменной и их решение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют и применят свойства числовых неравенств, решат не менее трёх линейных неравенств с одной переменной, запишут решения в виде промежутка и изобразят их на координатной прямой.
- Сформировать понимание свойств сложения, вычитания, умножения и деления числовых неравенств.
- Научить решать линейные неравенства вида $ax+b>c$, $ax+b\geq c$ и аналогичных видов, включая случай изменения знака при делении на отрицательное число.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать алгоритм, проверять полученное решение подстановкой и аргументировать ход рассуждений.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через разбор типичного задания и формирование алгоритма самопроверки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость умения решать неравенства.
- Формируют ответственное отношение к записи решения и проверке результата.
- Развивают уверенность в собственных математических действиях при последовательном выполнении алгоритма.
- Понимают ценность аргументированного ответа и корректного исправления ошибки.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия, знака неравенства и изображения на координатной прямой.
- Планируют последовательность преобразований и контролируют изменение знака неравенства.
- Сравнивают способы решения, находят ошибку в готовом рассуждении и объясняют её причину.
- Используют математическую речь и символическую запись при обсуждении решения в паре.
Предметные
- Знают свойства числовых неравенств при сложении, вычитании, умножении и делении.
- Умеют решать линейные неравенства с одной переменной.
- Умеют менять знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число.
- Умеют изображать множество решений на координатной прямой и записывать его в виде промежутка.
- Умеют выполнять проверку решения подстановкой пробного значения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться получать правильный ответ без пропуска ключевого шага.
- Связывают содержание урока с подготовкой к ОГЭ и будущим профессиональным обучением.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку как источник нового знания.
- Оценивают собственную уверенность в решении неравенств.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и планируют решение неравенства по шагам.
- Контролируют перенос членов и изменение знака при делении на отрицательное число.
- Сверяют ответ с эталоном и выполняют проверку выбранным числом.
- Корректируют решение после выявления арифметической или логической ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки линейного неравенства.
- Классифицируют преобразования по свойствам числовых неравенств.
- Моделируют множество решений на координатной прямой.
- Анализируют неверное решение и устанавливают место появления ошибки.
- Используют символическую запись для обоснования вывода.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ при обсуждении решения в паре.
- Аргументируют необходимость изменения знака неравенства.
- Сопоставляют собственное решение с решением одноклассника.
- Корректно принимают замечания и формулируют конструктивное исправление.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовой прямой, свойствами неравенств и алгоритмом решения линейного неравенства.
- Распечатать карточки с тремя заданиями базового уровня и двумя заданиями повышенного уровня — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор»: зелёная, жёлтая и красная — по одной на ученика или организовать сигналы пальцами.
- Подготовить лист самопроверки с эталоном: $-2x+6>10$, $3(x-2)\leq 9$, $5-2x\geq 1$.
- Вывести на экран проблемный пример $2<5$: что произойдёт со знаком при умножении обеих частей на $-3$?
- Подготовить координатную прямую с отмеченными открытой и закрытой точками.
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы.
- Оставить на доске место для формулировки алгоритма и типичной ошибки: «при умножении или делении на отрицательное число знак меняется».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам потребуется внимательная запись каждого преобразования, потому что в неравенствах одна небольшая ошибка может изменить всё множество решений." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске задание: «Решите неравенство $-2x+6>10$». "Поднимите руки те, кто встречал подобные задания в тренировочных вариантах ОГЭ. Сегодня мы не просто получим ответ, а выясним, почему при одном из действий знак меняется и как быстро проверить себя." | Отмечают знакомство с форматом, формулируют предположение: «Нужно выразить переменную, но при делении на отрицательное число знак изменится». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Задания на неравенства имеют понятный алгоритм. Наша задача — сегодня открыть его, объяснить каждое действие и научиться проверять ответ."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о числовой прямой, сравнении чисел и преобразованиях выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните числа $-4$ и $1$, $-7$ и $-3$. Объясните, какое число больше и почему. Затем обсудите, как изобразить условие $x>2$ на координатной прямой." | Индивидуально сравнивают числа, затем обсуждают в парах; формулируют: «Из двух отрицательных больше то, которое расположено правее»; рисуют открытую точку в $2$ и луч вправо. |
3 мин | Учитель записывает: $2<5$. "Что произойдёт, если к обеим частям прибавить $4$? А если умножить обе части на $3$? А если умножить на $-3$? Не угадывайте, а сравните получившиеся числа." | Записывают $6<9$, $6<15$, $-6>-15$; замечают, что при умножении на отрицательное число знак изменился. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили расположение чисел на прямой и увидели важную закономерность. Теперь выясним, как сформулировать её как свойство и применять при решении неравенств."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает два рассуждения: "Ученик решил $-2x>8$ так: разделил обе части на $-2$ и получил $x>-4$. Другой ученик получил $x<-4$. Кто прав? Как доказать ответ, а не выбрать его наугад?" | В парах анализируют рассуждения, подставляют пробные значения и предполагают: «Прав второй ученик, потому что при делении на отрицательное число знак меняется». |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие знания нам нужны, чтобы уверенно решать такие задания? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: «Узнать свойства неравенств и научиться решать линейные неравенства, изображая ответ на прямой и проверяя его». Записывают тему. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с вычислениями, а с выбором правильного свойства. Сейчас мы построим опорную схему, которая будет работать как алгоритм и на уроке, и при подготовке к ОГЭ."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести свойства числовых неравенств и построить алгоритм решения линейного неравенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: "$a<b$; $a+c<b+c$; $a-c<b-c$; если $c>0$, то $ac<bc$; если $c<0$, то $ac>bc$". "Рассмотрите каждую строку. Что изменилось? В каких случаях знак сохранился, а в каком поменялся? Почему это согласуется с расположением чисел на прямой?" | Заполняют пропуски в тетради, объясняют: «Прибавление или вычитание одного и того же числа знак сохраняется; умножение или деление на положительное сохраняет знак, на отрицательное — меняет». |
3 мин | Учитель записывает алгоритм: "Первый шаг — раскрыть скобки, если они есть. Второй — перенести слагаемые, помня о смене знака у слагаемого при переносе. Третий — привести подобные. Четвёртый — разделить на коэффициент при переменной; если он отрицательный, поменять знак. Пятый — изобразить ответ и проверить пробным числом." | Переписывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, выделяют цветом шаг, на котором меняется знак. |
3 мин | Учитель вместе с классом решает: "Решим $-2x+6>10$. Вычитаем $6$: $-2x>4$. Делим на $-2$: $x<-2$. Как проверим? Возьмём $x=-3$: $-2\cdot(-3)+6=12>10$. Значит, число подходит." | Пошагово записывают решение, изображают открытую точку в $-2$ и луч влево, проверяют число $-3$. |
Запись в тетрадях
Свойства: при прибавлении или вычитании одного и того же числа знак неравенства сохраняется; при умножении или делении на положительное число знак сохраняется; при умножении или делении на отрицательное число знак меняется. Алгоритм решения: преобразовать выражение, собрать слагаемые, разделить на коэффициент при переменной, изобразить множество решений и выполнить проверку.
Эталон решения
$-2x+6>10$. Вычтем $6$: $-2x>4$. Разделим на $-2$ и изменим знак: $x<-2$. Ответ: $x\in(-\infty;-2)$. Проверка: при $x=-3$ получаем $12>10$, при $x=0$ получаем $6>10$, неверно; граница $-2$ в ответ не входит.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели не правило для заучивания без понимания, а следствие расположения чисел на прямой. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм решения с проговариванием каждого преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки и предлагает работу в парах: "Решите неравенство $3(x-2)\leq9$. Один ученик выполняет преобразования, второй контролирует знак и задаёт вопрос: «Почему это действие допустимо?» Затем поменяйтесь ролями." | Решают: $3x-6\leq9$, $3x\leq15$, $x\leq5$. Обводят закрытую точку $5$ и луч влево; проговаривают: «Делили на положительное число, знак не изменился». |
3 мин | Учитель предлагает задание на анализ ошибки: "В решении $5-2x\geq1$ записано: $-2x\geq-4$, $x\geq2$. Найдите ошибку и исправьте запись. Объясните её причину." | Находят ошибку: при делении на $-2$ нужно изменить знак. Записывают $x\leq2$, формулируют: «Ошибка возникла при делении на отрицательное число». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает в типовых заданиях. Следующий шаг — проверить, насколько каждый из вас может применить его самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите обязательный базовый вариант, а после его выполнения переходите к повышенному. Работайте молча, записывайте все преобразования. Базовый вариант: $4x-7<9$ и $-3x+2\geq11$. Повышенный вариант: $2(3-x)>4-x$." | Индивидуально решают задания. Получают: $x<4$; $x\leq-3$; для повышенного задания $6-2x>4-x$, откуда $x<2$. |
3 мин | Учитель показывает эталон и организует приём «Светофор»: "Сверьте не только ответ, но и знак, точку на прямой и проверку. Зелёный сигнал — всё совпало, жёлтый — есть исправимая ошибка, красный — нужен разбор." | Проверяют решения по эталону, отмечают цветом уровень понимания, исправляют ошибки и записывают вопрос, который остался. |
Эталон решения
$4x-7<9$: $4x<16$, $x<4$. $-3x+2\geq11$: $-3x\geq9$, при делении на $-3$ знак меняется, $x\leq-3$. $2(3-x)>4-x$: $6-2x>4-x$, $2>x$, поэтому $x<2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главный контрольный вопрос — на какое число мы делим. Если оно отрицательное, знак меняется. Теперь свяжем решение с записью множества и форматом экзаменационного ответа."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы записи решения и осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три записи: $x<2$, $x\in(-\infty;2)$ и изображение с открытой точкой в $2$. "Что общего у этих ответов? Как понять, должна ли точка быть открытой или закрытой?" | Соотносят три формы записи; формулируют: «Строгие знаки дают открытую точку, нестрогие — закрытую; луч направлен в сторону подходящих чисел». |
2 мин | Учитель предлагает мини-вопрос: "Назовите три контрольные точки алгоритма, которые нужно проверить перед сдачей задания ОГЭ." | Отвечают: «Правильно раскрыты скобки, изменён ли знак при делении на отрицательное число, верно ли изображён и проверен ответ». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Закончите фразы: «Сегодня я научился...», «Теперь я не забуду...», «Мне нужно потренировать...»." | Письменно завершают три фразы, затем по желанию зачитывают ответы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли свойства числовых неравенств и применили их к линейным неравенствам. Важно не угадывать направление знака, а объяснять его свойством и подтверждать проверкой."
Этап 8. Домашнее задание и завершающая рефлексия (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать домашнюю работу и индивидуальную точку роста. Домашнее задание учащиеся записывают после объявления учителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает: "Домашнее задание выбирается по уровню. Обязательный минимум выполняют все; повышающий и дополнительный уровни можно выбрать по готовности. Перед выходом ответьте устно: когда знак неравенства меняется и как обозначается граница решения при строгом знаке?" | Записывают выбранный уровень, отвечают: «Знак меняется при умножении или делении на отрицательное число; при строгом знаке точка открытая». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три задания самостоятельной работы, преобразования записаны последовательно, знак изменён при делении на отрицательное число, множество решений изображено и выполнена проверка.
- «4» — верно решены два задания из трёх, допущена одна несущественная ошибка в изображении или записи промежутка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно решено одно базовое задание либо в двух заданиях правильно выполнена большая часть преобразований, но допущена ошибка при изменении знака или определении границы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство числовых неравенств сегодня стало для вас главным? | Проверка осознания ключевого правила урока. |
На каком шаге решения линейного неравенства вы можете ошибиться? | Выявление индивидуальных точек затруднения в алгоритме. |
Как вы проверите, что найденное множество решений верно? | Проверка понимания роли пробного значения и координатной прямой. |
Насколько уверенно вы готовы решать подобное задание в формате ОГЭ? | Субъективная оценка освоения темы и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в линейном неравенстве последовательность понятных действий. Самая частая ошибка — забыть изменить знак при делении на отрицательное число или поставить закрытую точку вместо открытой. Не торопитесь: проговорите алгоритм, выполните проверку пробным значением и только затем записывайте ответ. На следующем уроке мы продолжим решать неравенства и рассмотрим системы неравенств, где нужно будет объединять условия."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства вида $ax+b>c$, $ax+b\leq c$, среди которых не менее одного неравенства с отрицательным коэффициентом при переменной. Для каждого изобразить ответ на координатной прямой. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на перенос слагаемых, изменение знака и вид граничной точки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 неравенства со скобками и привести ответ к записи в виде промежутка; выполнить проверку одного решения подстановкой подходящего и неподходящего чисел. | Развивает применение свойств в усложнённой записи; проверить раскрытие скобок и аргументацию результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два линейных неравенства, одно с решением $x<3$, другое с решением $x\geq-2$, и решить их. Дополнительно объяснить, почему выбранные преобразования сохраняют или меняют знак. | Развивает создание математической модели и умение обосновывать свойства, а не только воспроизводить алгоритм. |
Контрольные вопросы перед выходом: «При каком действии знак неравенства меняется? Как изображается решение $x\leq a$? Как проверить найденное решение одним числом?»
