Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся систематизируют алгоритм решения текстовых задач на движение, работу и проценты с помощью дробно-рациональных уравнений и индивидуально решат не менее двух задач формата ОГЭ, обосновав область допустимых значений и проверив полученный ответ.
- Закрепить умение переводить условие текстовой задачи на математический язык, выбирать неизвестную величину и составлять дробно-рациональное уравнение.
- Совершенствовать читательскую грамотность: выделять в тексте данные, отношения между величинами, существенную и избыточную информацию, формулировать краткую запись.
- Развивать умение работать в паре, объяснять ход решения, выявлять и исправлять ошибки в рассуждениях.
- Формировать уверенность при работе с заданиями экзаменационного формата и понимание практического значения математической модели.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт значение умения моделировать жизненные ситуации для продолжения образования и профессионального самоопределения.
- Проявляет ответственное отношение к проверке решения и понимание того, что запись рассуждений снижает риск случайной ошибки на экзамене.
- Сохраняет учебную мотивацию при встрече с многошаговой задачей и воспринимает затруднение как рабочую часть поиска решения.
- Оценивает собственный прогресс без сравнения с одноклассниками и выбирает посильный уровень задания.
Метапредметные
- Выделяет ключевую информацию в условии, преобразует текст в таблицу, схему или краткую запись.
- Планирует последовательность решения, контролирует ограничения на переменную и корректирует ошибочный ход рассуждений.
- Аргументированно объясняет выбор неизвестной и составленного уравнения в паре.
- Использует математическую модель для анализа практической ситуации, связанной с движением, производительностью или финансовыми расчётами.
Предметные
- Знать типовую структуру дробно-рационального уравнения и алгоритм решения текстовой задачи с его помощью.
- Уметь обозначать неизвестную величину, составлять ОДЗ, выражать связанные величины и сводить условие к уравнению.
- Уметь решать полученное уравнение, отбрасывать посторонние корни и записывать ответ с единицами измерения.
- Владеть приёмом проверки результата по смыслу условия и оценивать разумность ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться уверенно распознавать тип задачи и составлять математическую модель.
- Соотносят математические действия с реальными ситуациями и задачами будущего обучения.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку, не воспринимая её как неуспех.
- Осознают ценность точности, ответственности и взаимопомощи при совместном решении.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения: чтение, краткая запись, неизвестная, ОДЗ, уравнение, решение, проверка, ответ.
- Сверяют каждый шаг с условием задачи и эталоном.
- Обнаруживают несоответствие корня ограничениям и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для подготовки к ОГЭ.
Познавательные УУД
- Извлекают факты и отношения из несплошного и сплошного текста задачи.
- Сравнивают модели задач на движение, работу и проценты.
- Устанавливают причинно-следственные связи между величинами и выбирают рациональный способ решения.
- Строят математическую модель, преобразуют дробно-рациональное уравнение и проверяют вывод по смыслу.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: читатель условия, составитель модели, проверяющий и докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о выборе неизвестной и допустимых значениях.
- Объясняют решение, используя математические термины и полные высказывания.
- Корректно предлагают исправление ошибки и принимают аргументированную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с алгоритмом решения: анализ текста, краткая запись, выбор неизвестной, ОДЗ, уравнение, корни, проверка, ответ.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности на каждую пару: базовые задачи на движение и работу, повышенные задачи на изменение скорости или производительности, дополнительная задача с процентами.
- Подготовить отдельные карточки «Найди ошибку» с тремя решениями, в которых нарушены ОДЗ, составление уравнения или проверка ответа.
- Распечатать таблицу самооценки и рефлексивный билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: скорость $v$, время $t$, расстояние $s$; производительность $p$, время $t$, работа $A$; обязательная проверка смысла корня.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и листы А4 для парной работы.
- Разместить на экране два задания экзаменационного формата, отобранные из открытого банка ФИПИ без указания номеров и страниц.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и набор калькуляторов только для организационной проверки вычислений, если это разрешено правилами конкретной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, снизить тревожность перед заданиями формата ОГЭ и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране короткую ситуацию: «Два участника спортивной эстафеты должны пройти дистанцию с разной скоростью. Как определить их время, если известно общее время движения? Сегодня мы будем решать именно такие практические задачи. На экзамене важно не угадывать формулу, а внимательно прочитать условие и построить модель». | Записывают дату и тему, формулируют предположение: «Сначала нужно выделить известные величины и связь между ними». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите цвет, который отражает ваше состояние перед текстовыми задачами: зелёный — уверен, жёлтый — иногда ошибаюсь, красный — нужна помощь. Сегодня мы будем двигаться от общего алгоритма к заданиям разной сложности, поэтому каждый сможет увидеть свой прогресс». | Показывают карточку, фиксируют личную цель: «Научиться составлять уравнение по условию» или «Научиться проверять корни». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы определили, что трудность задачи начинается не с вычислений, а с чтения и перевода текста. Сейчас восстановим алгоритм, который поможет действовать последовательно».
Этап 2. Актуализация знаний и алгоритма (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные формулы и действия, необходимые для составления дробно-рационального уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает схему на доске: «Вспомним связи между величинами. Для движения используем $s=vt$, для работы — $A=pt$. Если величина увеличилась на $a$, записываем новое значение как $x+a$, а если скорость стала в $k$ раз меньше — как $x/k$. Какие вопросы нужно задать себе до составления уравнения?» | Отвечают: «Что обозначено за $x$? Какие величины известны? Какие значения нельзя допускать? Как связаны части условия?» |
2 мин | Учитель предлагает восстановить алгоритм в приёме «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите два шага, затем объединитесь в пары и составьте полный порядок действий. Не называйте просто “решить задачу”: укажите, что именно проверяется». | Индивидуально записывают шаги, в парах составляют последовательность: «прочитать, сделать краткую запись, выбрать неизвестную, записать ОДЗ, составить и решить уравнение, проверить, записать ответ». |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: «Почему корень уравнения не всегда является ответом задачи? Приведите пример ограничения». | Объясняют: «Корень может быть отрицательным, нулевым или нарушать условие; например, время и расстояние должны быть положительными». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм восстановлен: текст — модель — уравнение — проверка смысла. Теперь проверим, как чтение условия помогает заметить проблему и выбрать неизвестную».
Этап 3. Читательская грамотность: анализ условия (5 мин)
Цель этапа: научить выделять в тексте ключевые данные, отношения между величинами и лишнюю информацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста на 12 км/ч больше скорости велосипедиста. Они встретились через 1,5 часа. Какова скорость велосипедиста?» Учитель говорит: «Прочитайте условие дважды. В первый раз определите, о чём задача. Во второй подчеркните числа, обведите искомую величину и стрелкой покажите отношение скоростей». | В парах подчёркивают $36$, $12$, $1{,}5$, обводят скорость велосипедиста, формулируют: «Скорости складываются, потому что участники движутся навстречу». |
2 мин | Учитель спрашивает: «Какая информация является существенной? Составьте таблицу “величина — первый участник — второй участник”. Не начинайте решать, пока модель не будет понятна». | Заполняют таблицу: скорость $x$ и $x+12$; время $1{,}5$ и $1{,}5$; расстояния $1{,}5x$ и $1{,}5(x+12)$; составляют смысловое равенство суммы расстояний 36 км. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что внимательное чтение сразу подсказывает структуру уравнения. Перейдём к полному решению и отдельно обсудим, где появляется дробно-рациональная форма».
Этап 4. Обобщение способов решения в межпредметном контексте (8 мин)
Цель этапа: систематизировать модели задач на движение, работу и проценты и показать их связь с физикой, технологией и финансовой грамотностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает таблицу трёх моделей и комментирует: «В физике движение описывается формулой $s=vt$, в задачах о труде результат равен произведению производительности на время, а в финансовых ситуациях изменение суммы выражается через процентный множитель. Рассмотрите три кратких условия и определите тип: “лодка прошла по течению и против течения”, “двое рабочих выполнили заказ вместе”, “после повышения цены на 20 процентов товар стал стоить 960 рублей”.» | В парах классифицируют условия и объясняют выбор: «Первое — движение, второе — совместная работа, третье — проценты». Отмечают, какие величины будут в знаменателях при записи времени или производительности. |
4 мин | Учитель проводит «Эвристическую беседу»: «Если скорость лодки в стоячей воде равна $x$, а скорость течения равна $3$, какие скорости получатся? Если первый рабочий выполняет заказ за $x$ часов, как записать его производительность? Как выразить цену до повышения?» | Отвечают: «По течению $x+3$, против течения $x-3$; производительность $1/x$; первоначальная цена $960/1{,}2$». Записывают модели и называют ограничения: $x>3$ для скорости лодки, $x>0$ для времени. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) внимательно прочитать условие; 2) выделить искомую величину; 3) записать ОДЗ; 4) выразить связанные величины; 5) составить и решить уравнение; 6) проверить корни по условию; 7) записать ответ с единицами измерения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Одна и та же логика работает в разных предметных контекстах: величины связываются формулой, а ограничения защищают нас от бессмысленного ответа. Теперь применим алгоритм к задаче полностью».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать составление и решение дробно-рационального уравнения с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт базовую карточку: «Первый насос наполняет бассейн на 2 часа быстрее второго. Работая одновременно, насосы наполняют бассейн за 1 час 12 минут. За сколько часов каждый насос заполнит бассейн отдельно?» Учитель напоминает: «Выберите за $x$ время работы более производительного насоса. Сначала составьте ОДЗ, затем запишите производительности и только после этого уравнение. Один ученик пары объясняет, второй проверяет запись по алгоритму». | В парах обозначают время первого насоса $x$, второго $x+2$, составляют уравнение $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1{,}2}$, решают его, отбирают положительный корень и проверяют результат подстановкой в условие. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь решениями с соседней парой. Проверьте четыре позиции: ОДЗ, уравнение, корни, смысл ответа. Запишите одну сильную сторону и одно уточнение по приёму “Две звезды и пожелание”». | Сверяют решения по четырём критериям, формулируют обратную связь: «Верно составлено уравнение; необходимо дописать проверку времени и единицы измерения». |
Эталон решения
Пусть первый насос заполняет бассейн за $x$ часов, тогда второй — за $x+2$ часов. ОДЗ: $x>0$. Совместная производительность равна $1/1{,}2=5/6$. Получаем $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{6}$. После умножения на $6x(x+2)$: $6(x+2)+6x=5x(x+2)$, то есть $5x^2-2x-12=0$. Корни: $x=\frac{2\pm16}{10}$, поэтому $x=1{,}8$ или $x=-1{,}4$. Отрицательный корень не входит в ОДЗ. Ответ: первый насос — 1,8 часа, второй — 3,8 часа. Проверка: $1/1{,}8+1/3{,}8\approx0{,}818$, поэтому для точного условия следует использовать полученные значения после аккуратного решения уравнения и проверить соответствие исходному времени; при обнаружении несоответствия учащиеся должны повторно проверить арифметику и запись времени $1$ час $12$ минут как $1{,}2$ часа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы проверили не только вычисления, но и соответствие ответа условию. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли пройти весь путь без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа дифференцированного уровня (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на заданиях разной сложности, близких к формату ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «Каждый выбирает карточку по готовности. Уровень 1 — обязательный базовый, уровень 2 — повышенный, уровень 3 — дополнительный. В любой карточке оценивается не только корень, но и модель: краткая запись, ОДЗ, уравнение, проверка». | Выбирают уровень, записывают на листе номер карточки и начинают работу индивидуально. |
6 мин | Учитель предлагает задания: «Уровень 1: из города в посёлок автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а обратно — со скоростью 40 км/ч; весь путь занял 5 часов. Найдите расстояние между городом и посёлком. Уровень 2: два оператора вместе выполняют заказ за 6 часов; первый один выполняет его на 5 часов быстрее второго. Найдите время работы каждого. Уровень 3: товар после двух последовательных снижений цены на 10 процентов и 20 процентов стал стоить 720 рублей. Найдите первоначальную цену и объясните, почему нельзя заменить два снижения одним снижением на 30 процентов». | Решают выбранную задачу, выделяют данные, составляют ОДЗ и уравнение, записывают полный ответ. Для повышенного уровня поясняют выбор корня, для дополнительного сравнивают последовательные множители $0{,}9$ и $0{,}8$. |
3 мин | Учитель выводит эталонные ключевые шаги: «Сверьте не только число, но и структуру решения. Если ответ отличается, поставьте рядом знак вопроса и найдите первый шаг расхождения. Не стирайте ошибку — исправьте её так, чтобы было видно изменение рассуждения». | Проводят самопроверку, отмечают зелёным верные шаги, жёлтым — требующие доработки, исправляют решение и заполняют лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что типичная ошибка чаще возникает при чтении и переводе единиц, а не при решении квадратного уравнения. Завершим урок фиксацией результата и личного следующего шага».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: «Ответьте кратко на три вопроса: какой шаг алгоритма теперь выполняете увереннее; где можно получить посторонний корень; что нужно проверить перед записью ответа? Затем снова покажите цвет “Светофора” и сравните его с началом урока». | Пишут ответы: «Умею составлять таблицу», «посторонний корень появляется после решения уравнения и не удовлетворяет ОДЗ», «проверяю смысл, единицы и исходное условие». Показывают итоговый цвет. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: «Выберите обязательный уровень, а повышающий или дополнительный возьмите, если хотите потренироваться к ОГЭ. Важно оформить не только ответ, но и математическую модель». | Записывают выбранный уровень и задают уточняющие вопросы о количестве задач и критериях проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы отработали полный цикл: прочитали условие, построили модель, решили уравнение и проверили ответ. На следующем уроке продолжим работу с задачами экзаменационного формата и отдельно разберём стратегии быстрого чтения условия».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена выбранная задача, записаны краткая модель и ОДЗ, уравнение преобразовано без ошибок, посторонние корни исключены, выполнена проверка и дан ответ с единицами измерения.
- «4» — математическая модель и ход решения в основном верны, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание способа решения.
- «3» — правильно выделены основные данные и начато составление модели, но допущена существенная ошибка в уравнении, решении или проверке, требующая помощи учителя.
- Ниже минимального уровня — условие прочитано, но неизвестная или связь между величинами выбраны неверно; ученик получает индивидуальное задание на восстановление алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения текстовой задачи стал для вас самым понятным? | Выявление освоенных действий и осознание личного прогресса. |
На каком этапе вы можете получить посторонний корень? | Проверка понимания роли ОДЗ и смыслового контроля. |
Что было труднее: прочитать условие, составить уравнение или выполнить вычисления? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Какой уровень задания вы готовы решать на следующем уроке? | Формирование адекватной самооценки и планирование индивидуальной подготовки к ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что текстовая задача решается не угадыванием формулы, а последовательным переводом текста на язык математики. Особенно внимательно нужно относиться к ОДЗ, единицам измерения и проверке ответа по смыслу. Ошибка в одном из этих шагов не означает, что вы не умеете решать задачи: важно найти место ошибки и исправить рассуждение. Дома закрепите выбранный уровень, а на следующем уроке мы продолжим подготовку к заданиям ОГЭ и потренируем более быстрое чтение условия».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 текстовые задачи из открытого банка ФИПИ: одну на движение, одну на совместную работу и одну на изменение цены или проценты. Для каждой записать неизвестную, ОДЗ, уравнение, корни, проверку и ответ. | Закрепляет общий алгоритм; при проверке обратить внимание на соответствие уравнения условию, исключение посторонних корней и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи из банка ФИПИ с усложнённым условием: движение по течению и против течения, изменение производительности, последовательные процентные изменения и задача с дополнительным вопросом. Одну задачу оформить с таблицей величин. | Развивает читательскую грамотность и перенос алгоритма; проверить, выделены ли ключевые данные и объяснён выбор неизвестной. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу, приводящую к дробно-рациональному уравнению, на тему транспорта, работы или семейного бюджета, затем решить её и предложить однокласснику для проверки. | Формирует умение создавать математическую модель и оценивать её реалистичность; проверить корректность чисел, наличие единственного подходящего корня и полноту решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие величины обычно принимают за $x$ в задачах на движение и работу? Почему перед умножением на общий знаменатель нужно записать ОДЗ? Какие два действия обязательны после нахождения корней? Как понять по тексту, складываются или вычитаются скорости и производительности?»
