Свойства арифметического корня натуральной степени
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять свойства арифметического корня натуральной степени при преобразовании выражений и решении типичных заданий формата ОГЭ, выполняя не менее 4 из 5 тренировочных заданий без ошибок.
- Сформировать представление о свойствах корня произведения, частного и степени при допустимых значениях переменных.
- Научиться выбирать рациональный способ преобразования выражения и объяснять каждый шаг решения.
- Развивать умение работать в паре, проверять решение по алгоритму и исправлять выявленные ошибки.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через освоение понятного алгоритма решения заданий с корнями.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразования выражений с корнями для успешного выполнения заданий ОГЭ.
- Проявляют уверенность при выполнении посильных заданий и принимают право на ошибку как часть обучения.
- Формируют ответственное отношение к записи решения и проверке области допустимых значений.
- Оценивают собственный прогресс и определяют, какой элемент алгоритма требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Извлекают правило из примеров, сравнивают способы преобразования и формулируют вывод.
- Планируют последовательность действий при решении задания и осуществляют самопроверку по эталону.
- Аргументируют выбор свойства корня и корректно взаимодействуют с партнёром.
- Используют интерактивную доску или цифровую карточку для получения обратной связи.
Предметные
- Знать свойства арифметического корня натуральной степени при неотрицательных подкоренных выражениях.
- Уметь применять равенства $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$ при $a\geq0$, $b>0$.
- Уметь преобразовывать выражения вида $\sqrt[n]{a^n}$ и учитывать чётность показателя корня.
- Уметь находить ошибку в преобразовании и решать типичные задания с корнями, аналогичные заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: уверенно преобразовывать выражения с корнями.
- Соотносят результат работы с требованиями к заданиям ОГЭ.
- Проявляют готовность продолжать работу после обнаружения ошибки.
- Осознают значение аккуратной математической записи для проверки ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют решение по алгоритму: определить свойство, проверить условия, выполнить преобразование, проверить результат.
- Сверяют решение с эталоном и фиксируют причину ошибки.
- Оценивают степень освоения материала по критериям и сигналам светофора.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки арифметического корня.
- Сравнивают примеры и устанавливают закономерность.
- Моделируют решение с помощью краткой схемы свойств.
- Анализируют корректность равенств и находят нарушение условия применимости.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли при парной работе и согласуют общий ответ.
- Формулируют вопрос партнёру о непонятном шаге.
- Доказывают выбор свойства, используя математические термины.
- Принимают замечания и корректно предлагают исправление решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемным примером, таблицей свойств и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «проверить условия — выбрать свойство — преобразовать — сверить результат».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика или использовать цифровой опрос.
- Подготовить эталон решений для самостоятельной работы и критерии оценивания.
- Проверить работу интерактивной доски, проектора и ноутбука; заранее открыть интерактивную форму с ответами.
- Подготовить доску с темой урока и свободным местом для записи формул.
- Раздать на каждую парту черновик для парной работы и на каждого ученика лист самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку и черновик. Сегодня мы будем не просто повторять формулы, а искать удобный способ быстро преобразовывать выражения с корнями. Это умение встречается в экзаменационных заданиях, поэтому наша цель — сделать его понятным и надёжным." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему. |
2 мин | Учитель показывает на экране выражения $\sqrt[3]{8\cdot27}$ и $\sqrt{49\cdot16}$: "Как можно вычислить эти выражения быстрее, не перемножая большие числа под корнем? Подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Самостоятельно предлагают способ, обсуждают его в парах и формулируют ответы: «можно извлечь корни отдельно»; называют значения $6$ и $28$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что некоторые выражения можно преобразовать удобнее. Сейчас проверим, всегда ли такой способ верен и какие условия нужно учитывать."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и вычислительные навыки, необходимые для открытия свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран задания: вычислить $\sqrt{25}$, $\sqrt[3]{-27}$, $\sqrt[4]{81}$; затем спрашивает: "Что называется арифметическим корнем? Чем отличаются корни чётной и нечётной степени?" | Решают примеры в тетради, называют ответы $5$, $-3$, $3$; формулируют: «арифметический корень чётной степени неотрицателен», «корень нечётной степени может быть отрицательным». |
3 мин | Учитель организует быструю проверку: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. $\sqrt{a^2}=a$ при любом $a$; $\sqrt[3]{a^3}=a$; $\sqrt{0}=0$. Объясните один выбранный ответ." | Показывают карточки, исправляют первое утверждение: «$\sqrt{a^2}=|a|$», объясняют, почему корень чётной степени неотрицателен. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили определение корня и важное условие неотрицательности. Теперь найдём закономерность в нескольких парах выражений и сформулируем новые свойства."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $\sqrt{36\cdot25}$ и $\sqrt{36}\cdot\sqrt{25}$. "Сравните выражения. Совпадут ли результаты? А можно ли сделать такой вывод для любых неотрицательных чисел? Какие вопросы нужно проверить?" | Вычисляют оба выражения, получают $30$ и $30$, предполагают: «корень произведения можно заменить произведением корней», формулируют вопрос об условиях. |
2 мин | Учитель направляет беседу: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги помогут её достичь?" На доске фиксирует план: наблюдение — формулировка свойства — проверка условий — применение в заданиях ОГЭ. | Формулируют цель: «узнать и применять свойства корня»; предлагают план действий и записывают его кратко. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно не запомнить набор равенств, а понять, почему и когда ими можно пользоваться. Переходим к исследованию примеров."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать свойства арифметического корня натуральной степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на экране таблицу: $\sqrt{9\cdot16}$ и $\sqrt9\cdot\sqrt{16}$; $\sqrt[3]{8\cdot27}$ и $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}$. "Вычислите пары, сравните результаты и сформулируйте общий вывод. Какие числа должны быть под корнем?" | Вычисляют пары, получают одинаковые результаты $12$ и $6$, формулируют свойство: «корень произведения равен произведению корней неотрицательных множителей». |
3 мин | Учитель показывает вторую пару: $\sqrt{81/9}$ и $\sqrt{81}/\sqrt9$. "Проверьте равенство. Почему знаменатель не может быть равен нулю?" Затем записывает: $\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$, $a\geq0$, $b>0$. | Проверяют равенство, объясняют условие $b>0$, записывают свойство и проговаривают его словами. |
3 мин | Учитель раскрывает на экране схему: $\sqrt[n]{a^n}=a$ для нечётного $n$ и $a
e0$? затем корректирует: для нечётного $n$ — $a$, для чётного $n$ — $|a|$. "Сравните $\sqrt[3]{(-2)^3}$ и $\sqrt{(-2)^2}$. Почему ответы различаются?" | Вычисляют $-2$ и $2$, формулируют зависимость от чётности показателя, записывают $\sqrt[n]{a^n}=a$ при нечётном $n$ и $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ при чётном $n$. |
Запись в тетрадях
Записывают: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ при $a\geq0$, $b\geq0$; $\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$ при $a\geq0$, $b>0$; для чётного $n$ $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, для нечётного $n$ $\sqrt[n]{a^n}=a$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели три ключевых правила и увидели, что условия применимости так же важны, как сама формула. Теперь проверим правила в совместной работе."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить свойства по алгоритму и научиться объяснять выбор преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: 1) $\sqrt{12\cdot3}$; 2) $\sqrt[3]{-8\cdot27}$; 3) $\sqrt{75}/\sqrt3$. "Один ученик выполняет преобразование, второй проверяет условия и комментирует шаги. Затем поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, читают условия и договариваются о порядке действий. |
4 мин | Учитель напоминает алгоритм на доске: "Сначала определите вид выражения, затем назовите свойство, проверьте допустимость и только после этого вычисляйте. Я подойду к нескольким парам и попрошу объяснить не только ответ, но и причину выбора." | Решают: $\sqrt{36}=6$; $\sqrt[3]{-216}=-6$; $\sqrt{25}=5$. Проговаривают: «применили свойство произведения или частного». |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить решения: "Сравните способы и найдите возможную ошибку: $\sqrt{a^2}=a$. Что нужно написать вместо этого?" | Представляют решения, находят ошибку и исправляют равенство на $\sqrt{a^2}=|a|$. |
Эталон решения
$\sqrt{12\cdot3}=\sqrt{36}=6$. $\sqrt[3]{-8\cdot27}=\sqrt[3]{-216}=-6$. $\sqrt{75}/\sqrt3=\sqrt{75/3}=\sqrt{25}=5$. В каждом случае сначала проверяется допустимость преобразования.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы проверили не только ответы, но и условия применения свойств. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение свойств и устранить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый: $\sqrt{18\cdot2}$, $\sqrt[3]{4\cdot16}$; повышенный: $\sqrt{50}/\sqrt2$, $\sqrt[4]{81}$; дополнительный: упростить $\sqrt{x^2}$ при $x<0$ и объяснить ответ. "Выберите уровень по своей готовности. Первые два задания обязательны для всех. Записывайте свойства перед преобразованием." | Индивидуально решают задания, указывают применённое свойство и соблюдают условия. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: $6$, $4$, $5$, $3$, $-x$. "Проверьте каждую строку, отметьте плюс за верный шаг и обведите место ошибки. Ошибку не стирайте — рядом запишите её причину." | Сверяют решения, находят ошибки, исправляют их и отмечают результат в листе самопроверки. |
1 мин | Учитель проводит цифровую проверку двух ответов: "Введите в форме, какое свойство вызвало затруднение: произведение, частное, степень или условия применимости." | Отправляют ответ через цифровую форму или показывают цвет карточки; фиксируют свой индивидуальный затрудняющий элемент. |
Эталон решения
$\sqrt{18\cdot2}=\sqrt{36}=6$; $\sqrt[3]{4\cdot16}=\sqrt[3]{64}=4$; $\sqrt{50}/\sqrt2=\sqrt{25}=5$; $\sqrt[4]{81}=3$; при $x<0$ имеем $\sqrt{x^2}=|x|=-x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная ошибка возникает не в вычислении, а в забытом условии или неверном выборе свойства. Включим новые правила в систему знаний и свяжем их с экзаменационным алгоритмом."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить результат и сформулировать дальнейший шаг подготовки к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить мини-схему: "Какое свойство выбираем, если под корнем произведение? Какое — если дробь? Что проверяем при чётном показателе?" | Заполняют схему: «произведение — произведение корней; частное — частное корней; чётная степень — модуль». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — нужна ещё одна тренировка, красный — пока не понимаю алгоритм. Поднимите карточку и завершите фразу: «Сегодня я научился…»" | Показывают цвет, формулируют: «научился раскладывать корень произведения», «понял, почему появляется модуль», «мне нужно повторить условия». |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите одно свойство и составьте к нему короткий пример. Это не оценка, а сигнал для следующего урока." | Записывают свойство и пример, сдают билет при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли свойства корня, проверили их в паре и применили самостоятельно. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке потренируем преобразование более сложных выражений и разберём задания повышенного уровня."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 обязательных задания или 4 из 5 заданий выбранного уровня, свойства записаны корректно, условия применимости учтены, решение оформлено последовательно.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи свойства, но общий алгоритм выбран правильно.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, ученик распознаёт хотя бы одно свойство, но допускает ошибки при условиях или преобразовании.
- «Ниже базового уровня» — выполнено менее двух заданий или отсутствует объяснение выбора свойства; результат используется для индивидуальной коррекции, а не как основание для тревоги.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство корня вы сегодня открыли и сможете объяснить своими словами? | Проверка осознанности нового знания, а не механического запоминания. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение: выбор свойства, условие или вычисление? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекции. |
Почему в выражении $\sqrt{x^2}$ появляется модуль? | Проверка понимания связи арифметического корня с неотрицательностью результата. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки и ответственности за индивидуальную траекторию подготовки к ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились преобразовывать корни произведения, частного и степени. Запомните: формула работает только вместе с условиями, а при чётном показателе нельзя забывать о модуле. Ошибка в одном знаке не означает, что тема вам недоступна: важно найти шаг, на котором она появилась. На следующем уроке мы продолжим преобразования и потренируемся выбирать самый короткий способ решения задания формата ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на применение свойств корня произведения, частного и степени; в каждом решении записать использованное свойство и проверить ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на правильность условий, знаков и последовательность преобразований. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, включающих дроби, произведения и корни чётной и нечётной степени, аналогичных разобранным на уроке, но с другими числами. | Формирует гибкость выбора свойства и готовит к типичным заданиям ОГЭ; проверить наличие модуля при чётном показателе. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных примера с корнями: один с корректным применением свойства, второй с распространённой ошибкой; решить оба и письменно объяснить, почему второе преобразование неверно. | Развивает анализ и умение аргументировать; при проверке оценить корректность условий и убедительность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается свойство корня произведения? Какое условие нужно для корня частного? Чем отличаются $\sqrt[n]{a^n}$ при чётном и нечётном $n$? Какое свойство вы примените к выражению $\sqrt{72}/\sqrt2$?»
