Целые уравнения: разложение на множители и метод замены переменной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать целые уравнения, выбирать способ их решения и решать не менее 3 из 4 уравнений методом разложения на множители или замены переменной с обязательной проверкой найденных корней.
- Познакомить учащихся с понятием целого уравнения и алгоритмом его решения.
- Научить применять свойство произведения, равного нулю, для перехода от одного уравнения к нескольким более простым уравнениям.
- Сформировать умение выполнять замену переменной в уравнениях, содержащих одинаковые алгебраические выражения.
- Развивать навыки самоконтроля и снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через работу с типовыми алгоритмами и выбор уровня сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритмов решения уравнений для успешного выполнения заданий ОГЭ.
- Формируют уверенность в собственных математических действиях через пошаговую проверку решения.
- Понимают значение аккуратной записи и ответственности за каждый переход в решении.
- Проявляют готовность принимать ошибку как источник уточнения алгоритма, а не как причину отказа от деятельности.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки целого уравнения и классифицируют уравнения по способу решения.
- Планируют последовательность решения, сопоставляют полученный ответ с условием и выполняют самопроверку.
- Работают с математической записью как с моделью, преобразуют выражения и аргументируют выбор метода.
- Сотрудничают в парах, формулируют вопросы по месту затруднения и корректно оценивают решение одноклассника.
Предметные
- Знать определение целого уравнения и свойство произведения, равного нулю.
- Уметь приводить целое уравнение к стандартному виду и находить общий множитель.
- Уметь решать уравнения вида $P(x)Q(x)=0$ разложением на множители.
- Уметь выполнять замену переменной в уравнениях, содержащих выражение $x^2$ или другое повторяющееся выражение.
- Уметь проверять корни подстановкой и записывать ответ в форме, принятой в заданиях ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за выбор способа решения и достоверность полученного ответа.
- Связывают освоение алгоритма с подготовкой к ОГЭ и дальнейшим выбором профиля обучения.
- Формируют положительное отношение к последовательной математической работе.
- Оценивают собственную готовность решать уравнения нового типа.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Составляют план решения: распознать вид, преобразовать, разложить или заменить, решить, проверить.
- Контролируют корректность преобразований и своевременно обнаруживают ошибочный переход.
- Оценивают результат по критериям и вносят исправления в решение.
Познавательные УУД
- Выделяют повторяющееся выражение и устанавливают его роль в структуре уравнения.
- Сравнивают несколько способов решения одного уравнения и объясняют более рациональный.
- Применяют логическое правило перехода от произведения к совокупности уравнений.
- Моделируют решение с помощью схемы и математических обозначений.
Коммуникативные УУД
- Формулируют объяснение выбранного способа решения в паре.
- Задают уточняющие вопросы о допустимости преобразований.
- Сверяют решения по критериям и аргументированно указывают на ошибку.
- Представляют общий вывод группы и учитывают мнение одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением целого уравнения, свойством произведения, равного нулю, и схемой алгоритма решения.
- Распечатать диагностические карточки с двумя уравнениями — по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, с маркировкой «минимум», «база», «повышенный уровень».
- Подготовить листы с критериями взаимопроверки — по одному на парту.
- Разместить на доске проблемное уравнение $x^4-5x^2+4=0$ и вопрос: «Как свести его к уже знакомому виду?»
- Подготовить слайд или плакат с памяткой: «Вид уравнения → способ → решение → проверка → ответ».
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут для коротких этапов работы.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, маркеры, запасные листы и стикеры для рефлексии.
- Подготовить эталон решений для самостоятельной работы, закрытый до момента самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с типовыми заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и черновика. Сегодня мы будем работать как эксперты: сначала определим строение уравнения, затем выберем короткий и надёжный способ решения. Ошибка на одном шаге не означает, что вы не умеете решать задачу: мы будем находить место ошибки и исправлять его." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу, формулируют ожидание: "Хочу понять, как быстро решать уравнения такого вида". |
2 мин | Учитель показывает на экране уравнение $x^4-5x^2+4=0$: "Посмотрите на запись. Подобные выражения встречаются в заданиях экзаменационного формата. Не спешите решать привычным способом. Что в этом уравнении повторяется? Как можно временно обозначить повторяющееся выражение?" | Рассматривают уравнение, называют повторяющееся выражение $x^2$, предлагают замену: "Пусть $t=x^2$". Фиксируют, что задача выглядит как квадратное уравнение относительно нового выражения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научимся видеть строение целого уравнения и выбирать способ, который делает решение понятным и проверяемым. Сначала вспомним уже известные правила, а затем откроем общий алгоритм."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о преобразовании многочленов, квадратных уравнениях и свойстве произведения, равного нулю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Математический светофор": "Покажите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если нужно подумать, красную — если неверно. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Второе утверждение: если $ab=0$, то обязательно $a=0$ и $b=0$." | Поднимают карточки. Обосновывают: первое утверждение верно, второе неверно, поскольку достаточно равенства нулю одного множителя. |
2 мин | Учитель записывает: $(x-3)(x+2)=0$ и спрашивает: "Какие уравнения нужно решить? Почему нельзя сразу записать только $x=3$?" | Записывают совокупность $x-3=0$ или $x+2=0$, получают корни $x=3$ и $x=-2$, объясняют необходимость учёта обоих множителей. |
2 мин | Учитель предлагает в парах выполнить преобразование: "Разложите на множители выражение $x^2-5x+6$. Назовите способ и проверьте результат раскрытием скобок." | В парах находят разложение $(x-2)(x-3)$, раскрывают скобки, формулируют: "Нужно найти два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна -5". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили два опорных действия: разложение многочлена на множители и решение произведения, равного нулю. Теперь выясним, что делать, если целое уравнение не разложено на множители сразу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении целого уравнения и сформулировать план открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемное задание: "Решите устно или в черновике уравнение $x^3-4x=0$. Какой первый шаг кажется естественным? Можно ли применить свойство произведения, равного нулю, сразу?" Учитель фиксирует на доске разные предложения. | Решают, что выражение нужно преобразовать: $x(x^2-4)=0$. Замечают, что после разложения появляется произведение множителей. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какие действия нам предстоит научиться выполнять? Как понять, что уравнение является целым? Как проверить, что найденные числа действительно являются корнями?" На доске записывает цель и план: распознать — преобразовать — разложить или заменить — решить — проверить. | Формулируют цель урока: "Научиться решать целые уравнения несколькими способами". Дополняют план: "Нужно внимательно следить за равносильностью преобразований и записывать все корни". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в самом свойстве произведения, а в том, что сначала нужно увидеть скрытую структуру уравнения. Откроем два способа, которые помогут эту структуру обнаружить."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы решения целых уравнений разложением на множители и заменой переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает пример: "Рассмотрим уравнение $x^3-4x=0$. Вынесем общий множитель: $x(x^2-4)=0$. Далее применим формулу разности квадратов: $x(x-2)(x+2)=0$. Теперь произведение равно нулю. Какие три уравнения получаем?" Учитель подчёркивает, что каждый множитель рассматривается отдельно. | Записывают преобразования $x(x-2)(x+2)=0$, составляют три уравнения: $x=0$, $x-2=0$, $x+2=0$, получают корни $0$, $2$, $-2$. |
3 мин | Учитель показывает пример с заменой: "Решим $x^4-5x^2+4=0$. Здесь повторяется $x^2$. Обозначим $t=x^2$, тогда $t^2-5t+4=0$. Разложим: $(t-1)(t-4)=0$. Не забудьте вернуться к переменной $x$." | Выполняют замену $t=x^2$, решают $t=1$ или $t=4$, возвращаются к исходной переменной: $x^2=1$ или $x^2=4$, получают $x=-2,-1,1,2$. |
3 мин | Учитель формулирует памятку: "Если в уравнении есть общий множитель или известная формула, используем разложение. Если одно и то же выражение повторяется и степени образуют квадратное уравнение, применяем замену. После каждого способа проверяем, не потеряли ли корни." Учитель просит назвать типичную ошибку. | Фиксируют алгоритм в тетради, называют ошибки: забыть вторую ветвь при решении $x^2=a$, не выполнить обратную замену, потерять корень при делении на выражение, которое может быть равно нулю. |
Запись в тетрадях
1. Целое уравнение — уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями относительно переменной. 2. Если $A(x)B(x)=0$, то $A(x)=0$ или $B(x)=0$. 3. Алгоритм: привести уравнение к виду $P(x)=0$; разложить многочлен на множители или выполнить замену; решить полученные уравнения; проверить корни; записать ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два маршрута решения: разложение на множители и замена переменной. Сейчас проверим каждый маршрут на коротких заданиях и проговорим действия вслух, чтобы алгоритм стал рабочим, а не просто записанным."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор способа и последовательность действий с взаимным объяснением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала каждый самостоятельно определите способ для уравнения $x^2-7x+12=0$. Затем одну минуту обсудите решение с соседом и подготовьте объяснение, почему выбран именно этот способ." | Индивидуально определяют разложение на множители, затем в парах сравнивают ответы и формулируют объяснение. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "Решите уравнение $x^3-9x=0$. Записывайте каждый переход и проговаривайте, какое правило применяете. Через три минуты одна пара представит решение на доске." | Решают $x(x^2-9)=0$, затем $x(x-3)(x+3)=0$, получают $x=0$, $x=3$, $x=-3$. Один ученик записывает решение, второй объясняет переходы. |
3 мин | Учитель предлагает второе задание: "Решите $x^4-10x^2+9=0$. Подсказка: обозначьте $t=x^2$. После взаимопроверки назовите полный набор корней." Учитель напоминает критерии: замена, квадратное уравнение, обратная замена, ответ. | Выполняют замену $t=x^2$, получают $(t-1)(t-9)=0$, затем $x^2=1$ или $x^2=9$, записывают корни $-3,-1,1,3$, сверяют решение по критериям. |
Эталон решения
$x^4-10x^2+9=0$. Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2-10t+9=0$, поэтому $(t-1)(t-9)=0$. Следовательно, $t=1$ или $t=9$. Возвращаемся к $x$: $x^2=1$, откуда $x=$; $x^2=9$, откуда $x=$. Ответ: $-3;-1;1;3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что правильный выбор способа сокращает решение и помогает не потерять корни. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет пройти весь алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритмов и сформировать навык проверки решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выберите карточку по уровню уверенности. Уровень «минимум» обязателен для всех, затем можно перейти к базовому или повышенному. Важно не количество примеров, а полная запись решения и проверки. Если возникло затруднение, отметьте место вопросительным знаком и продолжайте следующий шаг." | Выбирают уровень, подписывают карточку, знакомятся с критериями выполнения. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. Минимум: $x^2-5x+6=0$ и $x^3-4x=0$. Базовый: $x^4-5x^2+4=0$ и $x^3-5x^2-6x=0$. Повышенный: $x^4-13x^2+36=0$ и $x^3-2x^2-9x+18=0$. Учитель консультирует вопросами: "Какой повторяющийся элемент вы видите? Можно ли вынести общий множитель?" | Самостоятельно решают выбранные уравнения, записывают способ, промежуточные преобразования и полный ответ. При необходимости отмечают затруднение. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталоны: "Проверьте не только ответ, но и способ. Поставьте плюс за верный переход, кружок за место, которое нужно уточнить, и исправьте ошибку другой ручкой." | Сверяют решения с эталоном, находят пропущенные корни или неверные преобразования, выполняют исправления. |
2 мин | Учитель проводит мини-рефлексию "Светофор": "Зелёный — могу решить самостоятельно; жёлтый — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в преобразованиях; красный — пока не понимаю, с чего начать. Поднимите карточку и назовите конкретный шаг, который требует повторения." | Показывают цвет, называют затруднение: "не уверен в разложении", "забываю обратную замену", "не записываю обе ветви при извлечении корня". |
Эталон решения
Для задания $x^3-5x^2-6x=0$: $x(x^2-5x-6)=0$; $x(x-6)(x+1)=0$. Поэтому $x=0$, $x=6$ или $x=-1$. Ответ: $-1;0;6$. Для задания $x^4-5x^2+4=0$: пусть $t=x^2$; $t^2-5t+4=0$; $(t-1)(t-4)=0$; $x^2=1$ или $x^2=4$; $x=$ или $x=$. Ответ: $-2;-1;1;2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность обычно находится не в последнем ответе, а в выборе первого преобразования. Мы отметили эти места и можем использовать их как ориентир для повторения. Осталось обобщить алгоритм и проверить, что каждый понимает его смысл."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, оценить продвижение каждого ученика и дать посильное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Шпаргалка-напоминание": "За одну минуту сформулируйте пять глаголов алгоритма. На доске должны появиться слова, по которым вы сможете восстановить решение: распознать, преобразовать, разложить или заменить, решить, проверить." | Записывают пять действий, затем по цепочке называют их классу и приводят по одному примеру. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Когда применяем свойство произведения, равного нулю? Что делаем после замены $t=x^2$? Сколько корней может дать уравнение $x^2=9$?" | Отвечают: "После разложения на множители"; "решаем уравнение относительно $t$, затем возвращаемся к $x$"; "два корня: $x=3$ и $x=-3$". |
1 мин | Учитель раздаёт стикеры: "Запишите на выходе одно действие, которое уже выполняете уверенно, и один вопрос, который нужно повторить. Домашнее задание выбирайте по уровню, но обязательный уровень выполняют все." | Заполняют стикеры, прикрепляют их к доске в зоны «уверенно» и «нужно повторить», записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились распознавать целые уравнения и выбирать между разложением на множители и заменой переменной. Самое важное — не забывать все ветви решения и выполнять обратную замену. На следующем уроке мы продолжим работу с целыми уравнениями и рассмотрим более сложные преобразования."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, способ решения выбран обоснованно, выполнены все преобразования и обратная замена, ответ записан полностью; для повышенного уровня решены оба задания без существенных ошибок.
- «4» — верно решены не менее 75% заданий, способ в целом выбран правильно, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи проверки, не повлиявшая на основную идею решения.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных заданий, ученик применяет разложение на множители или замену переменной с помощью памятки, но допускает ошибки при раскрытии скобок, обратной замене или записи корней.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак помогает выбрать между разложением на множители и заменой переменной? | Выявление понимания связи между строением уравнения и способом решения. |
На каком шаге решения целого уравнения сегодня возникло затруднение? | Определение точек затруднения в алгоритме для последующей коррекции. |
Почему при решении $x^2=9$ нужно записать два корня? | Проверка понимания ветвления решения и предупреждение типичной ошибки. |
Насколько уверенно вы готовы решить подобное задание в формате ОГЭ? | Субъективная оценка освоения темы и уровня учебной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за сложной записью целого уравнения знакомую структуру. Мы использовали разложение на множители и замену переменной, а затем обязательно возвращались к исходной переменной и проверяли корни. Помните о типичной ошибке: нельзя оставить только один корень уравнения вида $x^2=a$. На следующем уроке мы продолжим отрабатывать эти действия и будем постепенно увеличивать сложность заданий, чтобы формат ОГЭ воспринимался спокойно и понятно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 целых уравнения: два уравнения, раскладываемых на множители, и два уравнения с заменой $t=x^2$. Для каждого записать способ, все промежуточные переходы и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полный набор корней, обратную замену и отсутствие необоснованного деления. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений, в которых сначала нужно привести выражение к виду $P(x)=0$, затем вынести общий множитель или применить формулу разности квадратов. Одно решение подробно проверить подстановкой. | Формирует выбор первого преобразования и аккуратность работы с многочленами; проверить равносильность переходов и оформление ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 3 уравнения повышенной сложности: одно биквадратное с заменой $t=x^2$, одно с разложением группировкой и одно, где необходимо сравнить два возможных способа решения. К каждому кратко объяснить выбор метода. | Развивает анализ структуры, оценку рациональности способа и подготовку к заданиям повышенной сложности; проверить аргументацию и отсутствие потерянных корней. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется целым уравнением? Какое свойство используется после разложения на множители? Что необходимо сделать после решения уравнения относительно $t$? Почему проверка корней является обязательным этапом?»
