Уравнение с двумя переменными и его график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать уравнение с двумя переменными, находить его решения и строить график линейного уравнения вида $ax+by=c$ по двум точкам за ограниченное время.
- Сформировать представление о решении уравнения с двумя переменными как о паре чисел, удовлетворяющей уравнению, и о графике как о множестве всех его решений.
- Научиться получать координаты точек графика из уравнения, проверять принадлежность точки графику и строить прямую на координатной плоскости.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать удобный способ вычислений и аргументировать решение при выполнении заданий формата ОГЭ.
- Воспитывать ответственное отношение к проверке результата, уверенность в своих действиях и готовность спокойно выполнять задания экзаменационного типа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графического способа решения и его связь с заданиями ОГЭ.
- Формируют установку на последовательную проверку вычислений вместо механического угадывания ответа.
- Снижают тревожность перед экзаменом через освоение понятного алгоритма построения графика.
- Проявляют самостоятельность при выборе удобных значений переменной.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и координатной плоскости.
- Планируют решение по алгоритму: выразить переменную, составить таблицу, отметить точки, провести график.
- Сравнивают способы получения точек и оценивают удобство выбранных значений.
- Формулируют выводы, аргументируют принадлежность точки графику и осуществляют самопроверку.
Предметные
- Знать понятия «уравнение с двумя переменными», «решение уравнения», «график уравнения».
- Уметь проверять, является ли пара чисел решением уравнения с двумя переменными.
- Уметь выражать одну переменную через другую и составлять таблицу значений.
- Уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными по двум точкам.
- Уметь определять по графику координаты точек и использовать график для проверки решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к заданиям по теме и выбирают посильный темп работы.
- Понимают, что ошибка в вычислении является основанием для коррекции, а не поводом отказаться от решения.
- Проявляют интерес к применению алгебраических моделей в задачах ОГЭ и жизненных ситуациях.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют последовательность действий для построения графика.
- Контролируют соответствие построенной точки исходному уравнению.
- Сверяют результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения алгоритма по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Преобразуют уравнение к виду $y=kx+b$ или выражают одну переменную через другую.
- Устанавливают связь между формулой, таблицей значений и графиком.
- Выбирают рациональные значения переменной для получения удобных координат.
- Моделируют множество решений точками координатной плоскости и формулируют обобщение.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают способ решения в паре и формулируют общий алгоритм.
- Задают уточняющие вопросы о выборе значений переменной и проверке точек.
- Аргументированно объясняют, почему точка принадлежит или не принадлежит графику.
- Сверяют решения с одноклассником и корректно сообщают об обнаруженной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с координатной плоскостью, уравнениями и алгоритмом построения графика.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «проверяю пару», «составляю таблицу», «строю график», «нахожу точку по графику».
- Вывести на доску памятку: 1) выбрать значения $x$; 2) найти $y$; 3) отметить две точки; 4) провести прямую; 5) проверить точки.
- Подготовить координатные плоскости в клетку — по одному листу на каждого ученика для самостоятельной работы.
- Подготовить маркеры или магниты двух цветов для фиксации точек и прямых на доске.
- Заранее записать на доске тему, проблемный вопрос и уравнение $2x+y=4$.
- Подготовить таймер на 2 и 4 минуты для работы в парах и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, показать практическую связь темы с заданиями ОГЭ и сформулировать проблемный вопрос.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и черновика. Сегодня мы будем работать с координатной плоскостью и формулой, поэтому аккуратность записи особенно важна. На доске записана тема урока; прочитайте её и определите, какие два объекта нам предстоит связать." | Проверяют принадлежности, читают тему, называют предполагаемые объекты: "Уравнение и график". |
2 мин | Учитель показывает на экране задание экзаменационного типа: "Дана точка $A(1;2)$. Может ли она принадлежать графику уравнения $2x+y=4$? Не торопитесь строить график. Подумайте, как проверить это быстро и что изменится, если решений будет несколько. Запишите предварительную гипотезу." | Индивидуально подставляют координаты в уравнение, получают $2\cdot1+2=4$, формулируют гипотезу: "Точка принадлежит графику, если её координаты превращают уравнение в верное равенство". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна пара чисел может быть проверена подстановкой. Сегодня выясним, как получить все такие пары и представить их на координатной плоскости."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить навыки работы с координатами, линейной функцией и преобразованием формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Назовите координаты точки, лежащей на оси $x$, и точки, лежащей на оси $y$. Объясните соседу, почему одна координата в каждом случае равна нулю. Через минуту назовём два точных правила." | Сначала записывают ответы индивидуально, затем обсуждают в паре и формулируют: "На оси $x$ координата $y=0$, на оси $y$ координата $x=0$". |
2 мин | Учитель записывает: $y=3x-2$ и спрашивает: "Как найти координаты точки графика, если задано значение $x$? Получите точки при $x=0$ и $x=2$. Что нужно сделать после вычислений?" | Подставляют значения, получают точки $(0;-2)$ и $(2;4)$, называют необходимость отметить точки и провести прямую. |
2 мин | Учитель предлагает преобразовать выражение: "Из уравнения $3x+y=6$ выразите $y$. Проговорите, какое действие выполняем первым и почему запись в виде $y=kx+b$ удобна." | Преобразуют: $y=6-3x$, объясняют: "Так проще находить значение $y$ по выбранному $x$ и строить график". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координаты точек и способ построения прямой по двум точкам. Теперь определим, что именно считать решением уравнения с двумя переменными."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при поиске множества решений и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает уравнение $2x+y=4$ и обращается к классу: "Назовите ещё несколько пар чисел, которые являются его решениями. Можно ли перечислить все пары устно? Что произойдёт, если решений бесконечно много?" Учитель фиксирует на доске пары $(0;4)$, $(1;2)$, $(2;0)$ и задаёт вопрос: "Как показать все решения сразу?" | Подбирают пары, проверяют их подстановкой, замечают, что решений много или бесконечно много, предлагают: "Нужно изобразить пары точками на координатной плоскости". |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Как по уравнению получить график, а по графику понять, является ли пара решением? Сформулируйте цель урока так, чтобы в ней были действия: найти, построить, проверить." | Формулируют цель: "Научиться находить решения уравнения с двумя переменными и строить по ним его график, а также проверять принадлежность точки графику". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в проверке одной пары, а в представлении множества решений. Сейчас мы построим такой способ представления и выведем алгоритм, который пригодится в заданиях ОГЭ."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести понятия решения и графика уравнения с двумя переменными и освоить алгоритм построения прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает определение: "Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает уравнение в верное равенство. Все точки координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, образуют график этого уравнения." Учитель просит проверить пары для $2x+y=4$: $(0;4)$, $(1;2)$, $(3;-2)$. | Подставляют пары: $2\cdot0+4=4$, $2\cdot1+2=4$, $2\cdot3+(-2)=4$. Делают вывод: все три пары являются решениями. |
4 мин | Учитель организует работу "Снежный ком": "Сначала каждый выберите два значения $x$ для уравнения $2x+y=4$ и найдите $y$. Затем объединитесь в пары и сравните таблицы. В итоговой таблице оставьте значения, дающие удобные точки." На доске фиксирует таблицу: $x: 0, 2$; $y: 4, 0$. | Индивидуально находят значения, в парах сравнивают результаты, записывают точки $A(0;4)$ и $B(2;0)$. |
3 мин | Учитель демонстрирует построение: "Отметим точки $A(0;4)$ и $B(2;0)$ на координатной плоскости. Проведём через них прямую и продолжим её в обе стороны. Почему нельзя оставить только два отдельных кружка? Потому что значение $x$ может быть любым действительным числом, а решения продолжаются вдоль всей прямой. Запишите алгоритм в тетрадь." | Отмечают точки, проводят прямую линейкой, объясняют: "Две точки задают прямую, а все точки прямой соответствуют решениям". Записывают алгоритм построения. |
Запись в тетрадях
1. Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел, обращающая уравнение в верное равенство. 2. График уравнения — множество точек, координаты которых являются решениями. 3. Алгоритм: выбрать два значения $x$; найти соответствующие значения $y$; отметить две точки; провести через них прямую; проверить точки подстановкой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы связали три формы записи: формулу, таблицу и график. Далее проверим алгоритм сначала вместе, а затем каждый выполнит задание самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм проверки точки и построения графика с проговариванием последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: "Проверьте, являются ли решениями уравнения $x-2y=6$ пары $(-2;-4)$, $(0;-3)$ и $(6;0)$. Работайте в парах, но каждый записывает собственную проверку. Не называйте только ответ — покажите подстановку." | Подставляют координаты: $-2-2\cdot(-4)=6$ — да; $0-2\cdot(-3)=6$ — да; $6-2\cdot0=6$ — да. Формулируют: "Все три пары являются решениями". |
4 мин | Учитель задаёт задачу целиком: "Постройте график уравнения $x+y=3$. Выразите $y$ через $x$, выберите два удобных значения $x$, составьте таблицу и постройте график. После построения обменяйтесь тетрадями и по критериям проверьте наличие двух точек, правильность координат и прямой." | Выражают $y=3-x$, выбирают $x=0$ и $x=3$, получают точки $(0;3)$ и $(3;0)$, строят прямую, проводят взаимопроверку по трём критериям. |
Эталон решения
Для уравнения $x+y=3$ выражаем $y$: $y=3-x$. При $x=0$ получаем $y=3$, точка $A(0;3)$. При $x=3$ получаем $y=0$, точка $B(3;0)$. Отмечаем $A$ и $B$, проводим через них прямую. Проверка: $0+3=3$ и $3+0=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что обязательны не только координаты точек, но и их проверка. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет выполнять весь алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и подготовить учащихся к заданиям экзаменационного формата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт варианты трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Обязательное действие для всех — записать преобразования и выполнить проверку. Минимальный уровень: проверьте точку $A(2;1)$ для уравнения $3x-y=5$. Базовый уровень: постройте график $2x-y=4$. Повышенный уровень: определите координаты точки пересечения графика $2x+y=6$ с осями координат." | Индивидуально выполняют выбранное задание, отмечают этапы алгоритма галочками, строят график на координатной сетке. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверяем не только итог, но и ход решения. Если есть ошибка, найдите её по шагам: преобразование, таблица, координаты, построение или проверка. Исправление запишите рядом, не стирая первоначальный вариант." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют вычисление или построение. |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете построить график самостоятельно, жёлтую — если нужна ещё одна тренировка, красную — если затрудняетесь уже на выборе значений. Я зафиксирую, к кому подойти на следующем уроке." | Поднимают карточки, заполняют лист самооценки, формулируют личную трудность: "ошибаюсь при выражении $y$" или "неверно откладываю координаты". |
Эталон решения
Для базового задания $2x-y=4$: выражаем $y=2x-4$. При $x=0$ получаем $y=-4$, точка $(0;-4)$; при $x=2$ получаем $y=0$, точка $(2;0)$. График — прямая через эти точки. Для повышенного задания: на оси $x$ $y=0$, поэтому $2x=6$ и $x=3$, точка $(3;0)$; на оси $y$ $x=0$, поэтому $y=3$, точка $(0;3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг уже стал уверенным, а какой требует внимания. Ошибки мы использовали как подсказки для коррекции. Осталось обобщить способ и ответить на главный вопрос урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как по уравнению получить график и как по графику понять, является ли пара решением? Назовите алгоритм по шагам, не подглядывая в тетрадь. Какой шаг особенно важен в заданиях ОГЭ?" | Воспроизводят алгоритм: "Выбрать значения, вычислить вторую переменную, отметить две точки, провести прямую, проверить". Отмечают важность подстановки и аккуратного чтения координат. |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "За одну минуту ответьте письменно: является ли пара $(1;3)$ решением уравнения $2x+y=5$? Запишите вычисление и одно предложение о графике уравнения." | Записывают $2\cdot1+3=5$, делают вывод: "Пара является решением и соответствует точке графика". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; желающие выполняют повышенный или дополнительный. Перед уходом проверьте, что записали формулу, таблицу и точный способ проверки точки." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за формулой множество точек и строить его график. На следующем уроке мы будем использовать графики для решения систем уравнений и сравнивать геометрический и алгебраический способы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены проверка пары и построение графика; правильно выражена переменная, составлена таблица минимум из двух точек, прямая проведена аккуратно, сделан обоснованный вывод.
- «4» — алгоритм выбран правильно, но допущена одна вычислительная или графическая ошибка, не повлиявшая на понимание способа; проверка решения выполнена.
- «3» — выполнена проверка одной пары или начато построение графика, но допущены две ошибки в таблице, координатах или оформлении; общий способ решения просматривается.
- Ниже отметки «3» — отсутствует последовательность действий или результат не подтверждён подстановкой; ученику необходима индивидуальная отработка базового алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называется решением уравнения с двумя переменными? | Проверка осознания ключевого определения и различения уравнения и его решения. |
Какие действия нужно выполнить, чтобы построить график уравнения? | Выявление понимания алгоритма и последовательности операций. |
На каком шаге вы сегодня испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения в преобразовании, вычислениях или построении. |
Что вы будете проверять в первую очередь при выполнении задания ОГЭ? | Формирование стратегии самоконтроля и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что решение уравнения с двумя переменными — это пара чисел, а все такие пары можно представить точками графика. Мы научились строить прямую по двум найденным точкам и проверять принадлежность точки подстановкой. Самая частая ошибка — неверно выразить одну переменную или перепутать координаты точки, поэтому всегда выполняйте промежуточную проверку. Вы уже умеете выполнять важный шаг заданий экзаменационного формата. На следующем уроке применим графики для решения систем уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: проверить, являются ли заданные пары решениями линейных уравнений с двумя переменными; для двух уравнений выразить $y$ через $x$ и построить график по двум точкам. | Закрепляет определение решения и базовый алгоритм построения; при проверке обратить внимание на подстановку и правильность координат. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на построение графиков уравнений вида $ax+by=c$, выбирая удобные значения переменной; для каждого указать точки пересечения с осями координат. | Формирует рациональный выбор значений и умение связывать формулу с геометрическим образом; проверить таблицы и оформление координатной плоскости. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, и проверить полученное уравнение подстановкой координат обеих точек; объяснить, почему любая точка этой прямой является решением. | Развивает анализ и создание математической модели; при проверке оценить обоснованность преобразований и полноту объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что является решением уравнения $ax+by=c$?», «Как проверить принадлежность точки графику?», «Сколько точек достаточно для построения прямой?», «Какую координату принимают равной нулю при поиске пересечения с осью $x$?»
