Квадратичная функция и её график. Функция $y=ax^2$
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить и распознавать график функции $y=ax^2$ при различных значениях коэффициента $a$, определять направление ветвей и основные свойства параболы, выполняя не менее 4 из 5 учебных заданий без существенных ошибок.
- Образовательная задача: сформулировать определение квадратичной функции и установить, как коэффициент $a$ влияет на график функции $y=ax^2$.
- Развивающая задача: развивать умения составлять таблицу значений, анализировать зависимость между формулой и графиком, обнаруживать и исправлять ошибки построения.
- Метапредметная задача: формировать навыки планирования решения, работы с учебным текстом и проверки результата по алгоритму.
- Воспитательная задача: поддерживать уверенность при подготовке к ОГЭ, формировать ответственное отношение к точности вычислений и взаимопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую значимость умения читать графики функций для выполнения заданий ОГЭ и анализа реальных зависимостей.
- Ученик проявляет готовность проверять собственное решение и спокойно исправлять ошибку как часть учебной работы.
- Ученик оценивает личный прогресс по теме с помощью листа самооценки.
Метапредметные
- Ученик извлекает информацию из формулы, таблицы, графика и текста учебника, сопоставляя разные способы представления зависимости.
- Ученик планирует построение графика по алгоритму и осуществляет самопроверку по симметрии и контрольным точкам.
- Ученик формулирует вывод о влиянии коэффициента $a$ на направление ветвей и ширину параболы.
- Ученик аргументирует ответ в паре, используя математические термины и данные из таблицы.
Предметные
- Знать определение квадратичной функции и вид функции $y=ax^2$, где $a\ne0$.
- Уметь строить график функции $y=ax^2$ по таблице значений и указывать вершину, ось симметрии и направление ветвей.
- Уметь определять по знаку коэффициента $a$, направлены ли ветви параболы вверх или вниз.
- Уметь сравнивать графики $y=x^2$, $y=2x^2$ и $y=-x^2$, объясняя различия.
- Уметь выполнять задания на чтение и сопоставление графиков в формате подготовки к ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают связь изучаемого материала с заданиями ОГЭ и будущим обучением.
- Формируют положительное отношение к последовательному выполнению алгоритма.
- Осознают ответственность за точность вычислений и оформление графика.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план построения графика.
- Сверяют промежуточный результат с эталоном и находят расхождения.
- Осуществляют самоконтроль вычислений и симметрии графика.
- Корректируют построение после взаимопроверки.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции $y=ax^2$.
- Составляют таблицу значений и моделируют зависимость на координатной плоскости.
- Сравнивают формулы, таблицы и графики.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком $a$ и направлением ветвей.
- Используют учебник как источник определения и алгоритма.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о построении графика.
- Аргументируют выбор графика по знаку коэффициента.
- Осуществляют взаимопроверку по заданным критериям.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с координатной плоскостью и формулами $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=-x^2$.
- Распечатать по одному листу самооценки и карточке для каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые на вычисление значений, средние на сопоставление формул и графиков, повышенные на анализ ошибок.
- Раздать каждой паре координатную сетку и памятку с алгоритмом построения графика.
- Подготовить фрагмент учебника с определением квадратичной функции и описанием графика; номера страниц не фиксировать.
- Вывесить на доску шпаргалку: «вершина $(0;0)$; ось симметрии $Oy$; $a>0$ — ветви вверх; $a<0$ — ветви вниз».
- Подготовить маркеры двух цветов для выделения симметричных точек и проектор либо интерактивную доску.
- Подготовить эталонные таблицы значений для функций $y=x^2$ и $y=-x^2$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и учебника. Сегодня мы будем не просто строить линию на координатной плоскости, а выясним, как формула заранее сообщает нам форму графика. Это умение встречается в заданиях ОГЭ на соответствие формулы и графика." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске три формулы: $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=-x^2$, и говорит: "Посмотрите на эти формулы. Как вы думаете, будут ли их графики одинаковыми? Предложите гипотезу, не опасаясь ошибки. В конце урока мы проверим каждое предположение." | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её с соседом и предлагают ответы: "Графики будут параболами", "У одной параболы ветви направлены вниз". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна буква и её знак могут изменить график. Теперь вспомним, какие знания понадобятся для исследования этой зависимости."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, координатной плоскости и таблицы значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называют функцией? Что показывает значение $y$, если задано $x$? Как называют точку с координатами $(x;y)$?" Учитель фиксирует ключевые слова на доске. | Отвечают: "Функция каждому значению $x$ ставит в соответствие единственное значение $y$", "$(x;y)$ — координаты точки". |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить значения $y=x^2$ при $x=-2,-1,0,1,2$: "Обратите внимание: что происходит со значением функции при замене $x$ на $-x$?" | Вычисляют и называют значения: $4,1,0,1,4$; формулируют: "$(-x)^2=x^2$, поэтому значения совпадают". |
2 мин | Учитель показывает незаполненную координатную сетку: "Как по таблице построить график? Какие точки нужно отметить и что сделать после этого?" | Называют шаги: выбрать масштаб, отметить точки, соединить их плавной линией, проверить симметрию. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как получаются точки графика и заметили симметрию функции $y=x^2$. Но пока не можем объяснить, почему графики с другими коэффициентами меняются. Сформулируем затруднение и цель."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание: "Сравните формулы $y=x^2$ и $y=2x^2$. Можно ли сразу сказать, какая точка будет общей? Как изменятся значения при одном и том же $x$? Почему по одной только формуле можно предположить направление ветвей?" | Обсуждают в парах, отвечают: "Точка $(0;0)$ общая", "При $y=2x^2$ значения в два раза больше", "Знак коэффициента, вероятно, влияет на направление ветвей". |
2 мин | Учитель обобщает: "Наше затруднение состоит в том, что мы умеем строить отдельные точки, но ещё не знаем общих свойств графика $y=ax^2$. Предложите план: что исследуем сначала, а что затем?" | Формулируют план: изучить формулу, составить таблицы, построить графики, сравнить их и сделать вывод о коэффициенте $a$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: исследовать график $y=ax^2$ и научиться по формуле предсказывать его свойства. Переходим к работе с учебником и таблицами."
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику (10 мин)
Цель этапа: сформировать представление о параболе и установить влияние коэффициента $a$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть учебник на теме урока: "Найдите в тексте определение квадратичной функции и прочитайте его про себя. Подчеркните часть, в которой указано условие на коэффициент при $x^2$. После чтения сформулируйте определение своими словами." | Читают фрагмент учебника, подчёркивают условие $a\ne0$, формулируют: "Квадратичная функция имеет вид $y=ax^2+bx+c$, где $a\ne0$". |
4 мин | Учитель обращается к классу: "Сегодня рассматриваем частный случай $y=ax^2$. Составим таблицу для $y=x^2$ и $y=-x^2$ при $x=-2,-1,0,1,2$. Посмотрите на доску: у каких точек совпадает абсцисса, а ординаты противоположны? Какой вывод можно сделать?" | В парах заполняют таблицы, строят точки и отвечают: "У графиков общая вершина $(0;0)$ и ось симметрии $Oy$; при $a<0$ ветви направлены вниз". |
3 мин | Учитель демонстрирует на экране графики и говорит: "Сравним $y=x^2$ и $y=2x^2$. При одинаковом $x\ne0$ значение второй функции больше в два раза, поэтому график удаляется от оси $Ox$ быстрее. Теперь сравните $y=\frac12x^2$ и $y=x^2$. Что изменяется?" | Сопоставляют графики, формулируют: "При $|a|>1$ парабола уже, при $0<|a|<1$ — шире". |
Запись в тетрадях
Записать: «График функции $y=ax^2$ — парабола с вершиной $(0;0)$ и осью симметрии $Oy$. Если $a>0$, ветви направлены вверх; если $a<0$, ветви направлены вниз. При увеличении $|a|$ парабола становится уже, при уменьшении $|a|$ — шире».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли основные свойства графика $y=ax^2$. Теперь проверим их на конкретных значениях и научимся строить параболу по алгоритму."
Этап 5. Первичное закрепление. Построение по алгоритму (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графика и проговорить свойства параболы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре координатную сетку и говорит: "Построим график $y=2x^2$. Первый шаг — выберем значения $x=-2,-1,0,1,2$. Второй — вычислим $y$. Третий — отметим точки и соединим их плавной линией. Работайте в паре: один вычисляет, второй контролирует, затем поменяйтесь ролями." | Составляют таблицу: при $x=-2,-1,0,1,2$ получают $y=8,2,0,2,8$; отмечают точки $(-2;8),(-1;2),(0;0),(1;2),(2;8)$ и строят параболу. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Где вершина? Какова ось симметрии? В каком направлении направлены ветви? Почему график $y=2x^2$ уже графика $y=x^2$?" | Отвечают: "Вершина $(0;0)$, ось $Oy$, ветви вверх, потому что $a=2>0$, а $|2|>1$". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседней парой. Проверьте наличие пяти точек, симметрию относительно $Oy$, правильность вершины и направления ветвей. Поставьте условный знак: зелёный — всё верно, жёлтый — есть одна неточность." | Проверяют построение по критериям, отмечают ошибку и формулируют одно исправление. |
Эталон решения
Для $y=2x^2$: $x=-2,-1,0,1,2$; $y=8,2,0,2,8$. Точки: $(-2;8)$, $(-1;2)$, $(0;0)$, $(1;2)$, $(2;8)$. Вершина $(0;0)$, ось симметрии $Oy$, ветви направлены вверх, так как $a=2>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построения работает, а симметрия помогает быстро проверить вычисления. Теперь каждый самостоятельно применит его и определит свойства графика без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание нового материала и подготовить учащихся к заданиям на соответствие в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт базовую карточку: "Выполните задания самостоятельно. 1) Для функции $y=-x^2$ составьте таблицу при $x=-2,-1,0,1,2$ и укажите направление ветвей. 2) Укажите вершину и ось симметрии. 3) Выберите из трёх изображённых на доске графиков тот, который соответствует формуле." | Решают: получают значения $-4,-1,0,-1,-4$, указывают вершину $(0;0)$, ось $Oy$, ветви вниз и выбирают график с ветвями вниз. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте сначала знак коэффициента, затем значения таблицы и расположение вершины. Ошибка в одном вычислении не означает, что вы не поняли тему: найдите место сбоя и исправьте его." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают исправленные места, ставят себе 1 балл за каждый верный пункт. |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание тем, кто закончил: "Сравните графики $y=\frac12x^2$ и $y=3x^2$. Без построения определите, какая парабола шире, и объясните ответ." | Письменно формулируют: "$y=\frac12x^2$ шире, потому что $0<|\frac12|<1$, а $y=3x^2$ уже, потому что $|3|>1$". |
Эталон решения
Для $y=-x^2$: $x=-2,-1,0,1,2$; $y=-4,-1,0,-1,-4$. График симметричен относительно $Oy$, имеет вершину $(0;0)$ и ветви, направленные вниз, поскольку $a=-1<0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство из вас уже умеет распознавать график по знаку и модулю коэффициента. Осталось собрать свойства в систему и проверить, какие шаги вы можете выполнить уверенно."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить свойства функции $y=ax^2$, оценить достижение цели и снизить тревожность перед экзаменационными заданиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — можете построить график самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка таблицы или свойств, красный — нужна моя помощь. Сейчас назовите один конкретный шаг, который требует повторения." | Показывают карточку, называют затруднение: "Нужно внимательнее считать значения", "Нужно запомнить влияние знака $a$". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как выглядит график $y=ax^2$? Где его вершина? Что говорит знак $a$? Как влияет $|a|$ на ширину? Какой алгоритм пригодится на ОГЭ?" | Отвечают по цепочке: "Парабола", "$(0;0)$", "$a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз", «при большем модуле парабола уже», «сначала определить знак и модуль, затем проверить точки». |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите формулу функции, график которой имеет вершину $(0;0)$ и ветви направлены вниз, а также одно свойство, которое вы сегодня открыли." | Записывают пример $y=-2x^2$ и свойство: «ось симметрии — $Oy$» или «при $a<0$ ветви направлены вниз». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за формулой форму графика. На следующем уроке продолжим исследование квадратичной функции и рассмотрим, как коэффициенты $b$ и $c$ изменяют положение параболы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три базовых пункта самостоятельной работы, построение содержит не менее пяти корректных точек, указаны вершина, ось симметрии и направление ветвей; объяснение влияния коэффициента $a$ полное.
- «4» — верно выполнены два базовых пункта из трёх, допущена одна вычислительная или графическая неточность, не нарушающая общего понимания свойств параболы.
- «3» — верно определено направление ветвей и выполнена хотя бы часть таблицы или построения, но допущены ошибки в вычислениях, вершине либо симметрии.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графике $y=ax^2$? | Выявление осознания ключевых свойств параболы. |
Как по формуле определить направление ветвей? | Проверка понимания роли знака коэффициента $a$. |
Какое действие алгоритма построения оказалось самым сложным? | Выявление точки затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Сможете ли вы выбрать график функции в задании ОГЭ без построения всех точек? Почему? | Оценка переноса знания в экзаменационный формат. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что график функции $y=ax^2$ — парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии $Oy$. Мы научились по знаку коэффициента определять направление ветвей, а по его модулю — сравнивать ширину парабол. Типичная ошибка — забыть, что квадрат отрицательного числа положителен, поэтому внимательно проверяйте таблицу значений. На следующем уроке мы продолжим исследование квадратичной функции и увидим, как её график перемещается на координатной плоскости."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на составление таблицы значений и построение графиков функций вида $y=ax^2$ при целых коэффициентах $a$, среди которых должны быть положительное и отрицательное значения. | Закрепляет алгоритм построения; при проверке обратить внимание на вершину, симметрию, вычисления и направление ветвей. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на сопоставление формул $y=ax^2$ с графиками и объяснить, какая парабола шире или уже в каждой паре. | Формирует умение читать график без полного построения и применять признак по знаку и модулю коэффициента. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное задание в формате ОГЭ на выбор графика для функции $y=ax^2$, предложить четыре варианта ответа и записать подробное объяснение правильного выбора. | Развивает умение создавать математическую задачу, аргументировать решение и контролировать типичные ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется график функции $y=ax^2$? Где находится его вершина? Что происходит с ветвями при $a<0$? Какая парабола шире: $y=\frac12x^2$ или $y=3x^2$? Какие две проверки нужно выполнить после построения?»
