Числовая последовательность. Способы задания
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать числовую последовательность и задавать её перечислением членов, формулой общего члена и рекуррентным способом, а также применять эти способы при решении не менее трёх учебных и экзаменационных задач.
- Сформировать представление о числовой последовательности как функции натурального аргумента и различать способы её задания.
- Научиться находить первые члены последовательности по формуле общего члена и составлять формулу по заданному правилу.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, проверять результат и аргументировать свой выбор в парной работе.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через разбор типичной задачи в знакомом алгоритме и показать практическое применение последовательностей.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение последовательностей для описания закономерностей в математике, информатике и реальных процессах.
- Проявлять готовность к самостоятельной работе и спокойному отношению к заданиям экзаменационного формата.
- Формировать ответственное отношение к проверке вычислений и записи математического решения.
- Оценивать собственный прогресс и видеть связь учебной задачи с профессиональным самоопределением в сферах, связанных с анализом данных.
Метапредметные
- Извлекать информацию из формулы, таблицы, текста и графического представления последовательности.
- Выбирать способ действия на основе анализа условия и формулировать пошаговый план решения.
- Сотрудничать в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументировать математический вывод.
- Использовать цифровую презентацию или интерактивную доску для проверки закономерности и результатов.
Предметные
- Знать понятие числовой последовательности и обозначение её членов $a_1$, $a_2$, $a_n$.
- Уметь задавать последовательность перечислением первых членов, формулой общего члена и рекуррентно.
- Уметь находить заданный член последовательности по формуле общего члена.
- Уметь восстанавливать правило последовательности по нескольким первым членам в простейших случаях.
- Различать явное и рекуррентное задание и объяснять, какие исходные данные необходимы для каждого способа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и соотносят её с подготовкой к ОГЭ.
- Осознают ценность точной математической записи и последовательной проверки результата.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм нахождения члена последовательности.
- Контролируют подстановку номера члена в формулу и исправляют вычислительные ошибки.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют вопрос, требующий повторения.
Познавательные УУД
- Сравнивают способы задания последовательности и выделяют их существенные признаки.
- Устанавливают закономерность по ряду чисел и проверяют гипотезу на нескольких членах.
- Переводят информацию из таблицы в формулу и обратно.
- Моделируют последовательность с помощью таблицы и цифровой визуализации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и согласуют общий способ решения.
- Формулируют математический вопрос и дают обоснованный ответ.
- Сравнивают решения, корректно указывают на ошибку и предлагают способ исправления.
- Представляют результат решения кратко и понятно для класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с тремя рядами: $2,4,6,8,...$; $1,4,9,16,...$; $3,6,12,24,...$, а также с таблицей значений $n$ и $a_n$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на парту, всего 15 комплектов, с заданиями трёх уровней.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на каждого ученика и отдельный лист с эталоном для самопроверки.
- Вывести на доску памятку: «1. Определи номер члена. 2. Подставь его в формулу. 3. Выполни вычисления. 4. Проверь ответ».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для работы в парах и самостоятельной работы.
- Подготовить проектор, компьютер и интерактивную доску; заранее проверить отображение формул и таблиц.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Можно ли описать бесконечный ряд чисел одним правилом?»
- Подготовить карточку с типичной экзаменационной задачей: найти $a_5$ для последовательности, заданной формулой $a_n=3n-1$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, связать тему с реальными задачами и форматом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора не требуется — все вычисления мы выполним устно или письменно. Сегодня мы будем искать закономерность и записывать её точным математическим языком. Такие действия встречаются в заданиях ОГЭ, поэтому наша задача — не угадывать ответ, а понимать алгоритм." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему после её объявления. |
2 мин | Учитель показывает на экране ряды $2,4,6,8,...$ и $1,4,9,16,...$: "Посмотрите на доску. Что объединяет эти записи? Можно ли продолжить каждый ряд? Как объяснить другому человеку, какое число поставить следующим? Сегодня мы выясним, как задавать не отдельные числа, а всю последовательность." | Наблюдают ряды, предлагают продолжения «10» и «25», формулируют: «числа связаны правилом», «нужно описать закономерность». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного набора чисел недостаточно: важно сообщить правило их получения. Сейчас проверим, какие знания нам уже помогут это сделать."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия функции, аргумента, формулы и закономерности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что такое функция и как обозначают её аргумент и значение. Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Важно назвать не только определение, но и указать, чем может быть аргумент." | Записывают краткий ответ, обсуждают его в паре, формулируют: «функция каждому значению аргумента ставит в соответствие единственное значение». |
3 мин | Учитель выводит таблицу: $n:1,2,3,4$ и $a_n:5,8,11,14$: "Как изменяются значения? На сколько увеличивается каждый следующий член? Можно ли записать зависимость формулой? Назовите первый аргумент и первое значение." | Находят разность 3, называют $n$ номером члена, $a_n$ значением последовательности, предполагают формулу $a_n=3n+2$ и проверяют её для первых членов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что функция связывает аргумент и значение, а таблица помогает увидеть закономерность. Теперь выясним, что является аргументом последовательности и какие способы записи позволяют задать её полностью."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Даны первые члены последовательности $4,7,10,13,...$. Ученик сказал: «Следующий член равен 16, значит, последовательность задана». Согласны ли вы? А сможете ли без продолжения назвать сотый член? Что нужно записать, чтобы правило было понятно для любого номера?" | Обсуждают ситуацию, отвечают: «первые члены показывают закономерность, но не задают все члены однозначно», «нужна формула или подробное правило». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске варианты: «перечислить», «записать формулу», «описать переход от одного члена к следующему»: "Сформулируйте цель урока. Начните словами: «Научиться...»" | Формулируют цель: «научиться задавать последовательность разными способами и находить её члены». Записывают цель в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: мы умеем продолжать некоторые ряды, но пока не различаем строгие способы задания. Переходим к открытию нового знания и построим общую схему."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ и парной работы (12 мин)
Цель этапа: сформировать представление о трёх основных способах задания числовой последовательности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на экране таблицу и проговаривает: "Первый способ — перечисление первых членов: $5,8,11,14,...$. Многоточие показывает продолжение, но не всегда раскрывает правило полностью. Второй способ — формула общего члена, например $a_n=3n+2$. Она позволяет найти любой член, если известен его номер. Подставим $n=4$ и получим $a_4=3\cdot4+2=14$." | Записывают определения и пример, по команде учителя находят $a_1$, $a_2$ и $a_5$ по формуле $a_n=3n+2$: получают 5, 8 и 17. |
4 мин | Учитель продолжает: "Третий способ — рекуррентный. Он задаёт первый член и правило перехода к следующему: $a_1=5$, $a_{n+1}=a_n+3$. Чтобы найти следующий член, используем предыдущий. Этот способ удобен, когда последовательность строится шаг за шагом. Сравните: формула общего члена сразу даёт любой член, а рекуррентная запись требует идти от известного члена." | Составляют первые четыре члена по записи $a_1=5$, $a_{n+1}=a_n+3$, получают $5,8,11,14$. Формулируют различие между двумя способами. |
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки: "В каждой паре распределите роли: один ученик объясняет способ задания, второй проверяет пример. Определите способ для записей: 1) $2,4,6,8,...$; 2) $a_n=2n$; 3) $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2$. Затем поменяйтесь ролями." Учитель выводит на доску таблицу «Способ — что записано — как найти член». | В парах классифицируют три записи, заполняют таблицу и формулируют: «перечисление — ряд членов», «формула — зависимость от номера», «рекуррентный способ — первый член и переход». Представляют одну пару ответов классу. |
Запись в тетрадях
- Числовая последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел; её аргументом является номер члена $n$, а значением — $a_n$.
- Основные способы задания: перечислением членов, формулой общего члена, рекуррентно.
- Для нахождения $a_k$ по формуле $a_n$ нужно заменить $n$ на $k$ и выполнить вычисления.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы построили классификацию способов задания. Теперь применим её к конкретным записям и проверим, умеем ли находить члены последовательности без подсказки."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить распознавание способов задания и отработать вычисление членов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку с математическим счётом: "Встаньте рядом с партой. На каждый шаг на месте называйте следующий член последовательности $2,4,6,8,...$. При ошибке остановитесь, мысленно найдите правило и продолжите. Теперь хлопок выполняем на нечётных номерах: первый, третий, пятый." | Выполняют движения в заданном ритме, называют «10, 12, 14», определяют нечётные номера и контролируют действия партнёра. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "Выполните три пункта. Для последовательности $a_n=4n-1$ найдите $a_2$ и $a_6$. Для записи $7,10,13,16,...$ назовите следующий член и предложите формулу общего члена. Для рекуррентной записи $a_1=3$, $a_{n+1}=2a_n$ найдите первые четыре члена. Работайте в паре, но каждый записывает решение." | Решают задания: $a_2=7$, $a_6=23$; следующий член равен 19, формула $a_n=3n+4$; первые члены рекуррентной последовательности — $3,6,12,24$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте не только ответы, но и наличие подстановки номера в формулу. Поставьте знак «+», если решение полное, и точку возле места, которое требует исправления." | Проверяют записи по эталону на доске, исправляют вычислительные ошибки, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы отработали три способа задания и увидели, что правильная запись решения защищает от случайной ошибки. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет применять алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить освоение способов задания и нахождения членов последовательности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Минимальный уровень: определить способ задания и найти указанный член. Базовый уровень: составить формулу по первым членам. Повышенный уровень: объяснить, почему двух первых членов недостаточно для однозначного задания. Работайте самостоятельно, запись должна содержать формулу или последовательность вычислений." | Выполняют выбранный вариант. Минимальный вариант: для $a_n=5n-2$ находят $a_3$ и $a_7$. Базовый: для $6,10,14,18,...$ составляют формулу $a_n=4n+2$. Повышенный: приводят пример разных последовательностей с одинаковыми первыми двумя членами. |
2 мин | Учитель показывает эталон: "$a_3=5\cdot3-2=13$, $a_7=5\cdot7-2=33$; для ряда $6,10,14,18,...$ разность равна 4, поэтому $a_n=4n+2$. Проверьте себя по критериям: верный способ, правильная подстановка, аккуратный ответ." | Сверяют решения с эталоном, отмечают результат в листе самооценки: «могу», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Эталон решения
Для $a_n=5n-2$: $a_3=5\cdot3-2=15-2=13$; $a_7=5\cdot7-2=35-2=33$. Для последовательности $6,10,14,18,...$ каждый следующий член увеличивается на 4. Проверка формулы $a_n=4n+2$: $a_1=4\cdot1+2=6$, $a_2=4\cdot2+2=10$, $a_3=4\cdot3+2=14$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже доступен большинству. Ошибка в подстановке или вычислении исправляется проверкой каждого шага. Осталось связать новый материал с типичным форматом ОГЭ и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и подготовка к ОГЭ (4 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм в экзаменационно ориентированной задаче и снизить тревожность через пошаговое решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает условие: "Последовательность задана формулой $a_n=3n-1$. Найдите $a_5$. Сначала назовите номер нужного члена, затем запишите подстановку и вычислите. В ОГЭ такие задания проверяют не сложную теорию, а внимательность и владение алгоритмом." Учитель просит одного ученика проговорить решение, а класс проверяет его по памятке. | Записывают: $n=5$; $a_5=3\cdot5-1=15-1=14$. Формулируют ответ: «пятый член равен 14», проверяют наличие всех шагов и отмечают, что задача решается по алгоритму. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что экзаменационная задача становится спокойной и понятной, если действовать по шагам. В конце урока зафиксируем, что получилось и что нужно повторить."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели, выявить затруднения и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете назвать три способа задания последовательности и найти член по формуле. Жёлтую — если алгоритм понятен, но требуется тренировка. Красную — если осталось существенное затруднение. На стикере допишите один вопрос или один навык, который сегодня освоили." | Показывают карточку, записывают на стикере: «умею находить $a_n$», «нужно повторить рекуррентный способ» или «нужно внимательнее читать индекс». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, ориентируясь на сегодняшнюю самооценку. Перед уходом ответьте устно на контрольный вопрос: чем формула общего члена отличается от рекуррентного задания?" | Фиксируют выбранный уровень и отвечают: «формула сразу связывает любой номер с членом, а рекуррентная запись задаёт первый член и переход к следующему». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания практической карточки или самостоятельной работы, корректно определены способы задания, формулы записаны без ошибок, вычисления и ответы обоснованы.
- «4» — выполнены верно не менее двух заданий, допущена одна несущественная вычислительная ошибка или неполное объяснение способа задания.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно задание и распознаны не менее двух способов задания, но имеются ошибки в подстановке, вычислениях или записи рекуррентного правила.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие три способа задания числовой последовательности вы сегодня узнали? | Проверка осознания основного предметного результата урока. |
Как найти $a_5$, если известна формула общего члена? | Выявление понимания алгоритма подстановки индекса. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения и планирование коррекции. |
Насколько уверенно вы справились бы с аналогичной задачей ОГЭ: зелёный, жёлтый или красный цвет? | Получение субъективной оценки готовности и снижение тревожности через самооценку. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что числовую последовательность можно задать перечислением, формулой общего члена или рекуррентно. Главный алгоритм при работе с формулой прост: определить индекс, выполнить подстановку и проверить вычисления. Типичная ошибка — перепутать номер члена с его значением или пропустить скобки при подстановке. На следующем уроке мы продолжим работу с последовательностями и рассмотрим закономерности, которые помогут перейти к арифметической прогрессии."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: по двум формулам общего члена найти указанные члены последовательностей; для двух рядов, заданных первыми членами, назвать следующий член и описать закономерность. | Закрепляет подстановку индекса и распознавание простейшего правила; при проверке смотреть на запись вычислений, а не только на ответ. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач на разные способы задания: определить способ записи, составить первые пять членов по формуле и рекуррентному правилу, а для одного ряда подобрать формулу общего члена. | Формирует умение переходить между представлениями последовательности; при проверке оценивать обоснованность формулы по нескольким проверочным членам. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную последовательность, заданную тремя способами, и подготовить две задачи экзаменационного типа на нахождение члена по формуле с подробным решением. | Развивает создание математической модели и самопроверку; при проверке смотреть на согласованность трёх записей и корректность индексов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что обозначает индекс $n$?», «Как по формуле $a_n$ найти $a_k$?», «Какие два элемента обязательны в рекуррентном задании?». Ожидаемые ответы: «номер члена», «подставить $k$ вместо $n$», «первый член и правило перехода к следующему».
