Подготовка к контрольной работе № 1 по теме «Функция и её свойства»
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: за 45 минут систематизировать способы исследования функции и научиться выбирать алгоритм решения типовых заданий контрольной работы и ОГЭ с результатом не менее 70% верно выполненных заданий.
- Образовательная задача: повторить понятия функции, области определения, множества значений, нулей функции, промежутков знакопостоянства, монотонности и экстремумов.
- Развивающая задача: формировать умение извлекать информацию из формулы, таблицы и графика, сравнивать способы решения и находить типичные ошибки.
- Регулятивная задача: учить планировать решение, проверять ответ по графику или подстановкой и корректировать ошибочный шаг.
- Воспитательная задача: снизить тревожность перед контрольной работой, показать связь анализа графиков с практическими задачами и профессиональным самоопределением.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт ценность математической грамотности для дальнейшего обучения, выбора профессии и решения практических задач.
- Ученик воспринимает контрольную работу как возможность проверить собственный прогресс, а не только как источник отметки.
- Ученик проявляет готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять её.
- Ученик понимает, что внимательное чтение условия снижает риск случайных ошибок на контрольной работе и ОГЭ.
Метапредметные
- Ученик извлекает данные о функции из формулы, таблицы и графика и переводит их из одного представления в другое.
- Ученик планирует последовательность действий при решении типового задания и распределяет время.
- Ученик аргументирует выбор способа решения в паре и корректно обсуждает ошибку партнёра.
- Ученик использует самопроверку по критериям и фиксирует индивидуальное затруднение для дальнейшей работы.
Предметные
- Ученик знает определения области определения, множества значений, нулей функции, промежутков знакопостоянства, возрастания и убывания.
- Ученик умеет по графику находить значения функции, нули, промежутки знакопостоянства и экстремумы.
- Ученик умеет по формуле определять область определения простейшей функции и вычислять её значения.
- Ученик умеет сопоставлять формулу, таблицу и график функции и проверять полученный ответ.
- Ученик умеет решать задания, аналогичные типовым заданиям контрольной работы и ОГЭ, соблюдая запись решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят изучение функций с задачами технических, экономических и естественно-научных профессий.
- Формируют ответственное отношение к подготовке и принимают личную цель на урок.
- Оценивают собственную готовность по теме без сравнения себя с одноклассниками.
- Осознают пользу спокойного пошагового анализа вместо угадывания ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и планируют порядок действий при выполнении тренировочного варианта.
- Используют алгоритм чтения графика и контролируют каждый шаг решения.
- Сверяют ответ с эталоном, находят место ошибки и выполняют коррекцию.
- Оценивают степень готовности по количеству правильно выполненных заданий.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции и классифицируют задания по требуемому свойству.
- Сравнивают информацию, представленную формулой, таблицей и графиком.
- Строят рассуждение от условия к выводу и используют подстановку для проверки.
- Моделируют практическую зависимость величин с помощью таблицы или графика.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точный вопрос о месте затруднения и дают краткое математическое объяснение.
- Работают в парах по правилу «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Аргументированно защищают выбранный способ решения.
- При взаимопроверке используют формулировку «Две звезды и пожелание», не подменяя оценку личности оценкой решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экран с тремя представлениями одной функции: формулой, таблицей значений и графиком.
- Распечатать диагностические карточки трёх уровней по одной на каждого ученика: 15 базовых, 15 стандартных и 5 повышенного уровня.
- Подготовить мини-лист «Алгоритм чтения графика»: область определения, множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы.
- Раздать на каждую парту две карточки для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись» и один лист взаимопроверки.
- Вывести на доску формулы и обозначения: $D(f)$, $E(f)$, $f(x)=0$, а также условные обозначения промежутков возрастания и убывания.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для рефлексии «Светофор»: зелёный, жёлтый и красный.
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и 1 минуту для физкультминутки.
- Подготовить слайд с практическим контекстом: график изменения температуры воздуха или стоимости поездки в зависимости от времени.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика и один эталон решения для демонстрации после самостоятельной работы.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, маркеры, доска, часы или таймер.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, снизить тревожность перед контрольной и связать тему с практической задачей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не просто повторяем определения перед контрольной работой. Мы учимся быстро распознавать тип задания и выбирать нужный алгоритм. Такой навык пригодится и на контрольной, и в заданиях ОГЭ, где важно не угадывать, а действовать последовательно. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка самооценки." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает график изменения температуры в течение суток и говорит: "Посмотрите на экран. По этому графику можно определить, когда температура повышалась, когда понижалась, в какой момент была максимальной и при каких значениях времени она была равна нулю. Вопрос: почему специалисту важно уметь читать такой график?" | Рассматривают график, отвечают: "Чтобы анализировать изменение величины, прогнозировать ситуацию и сравнивать значения". Формулируют связь функции с погодой, экономикой и техникой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Функция описывает зависимость одной величины от другой. Сегодня мы соберём в одну систему все свойства функции и потренируемся действовать так, чтобы на контрольной не терять баллы из-за неверно выбранного алгоритма."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (6 мин)
Цель этапа: выявить исходный уровень знаний и обнаружить темы, требующие дополнительного повторения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует пять утверждений: "Обозначьте зелёной карточкой верное утверждение, жёлтой — утверждение, в котором сомневаетесь, красной — неверное. Первое: нуль функции — это значение функции, равное нулю. Второе: область определения — это множество значений функции. Третье: точки пересечения графика с осью абсцисс соответствуют нулям функции. Четвёртое: на промежутке возрастания большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Пятое: область определения показывает допустимые значения аргумента." | Поднимают карточки: верными называют первое, третье и пятое утверждения; второе и четвёртое исправляют. Формулируют: "Область определения — допустимые значения аргумента", "При возрастании большему аргументу соответствует большее значение функции". |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "За 30 секунд каждый самостоятельно назовите свойства, которые можно определить по графику. Затем обсудите ответ с соседом и выберите пять наиболее важных пунктов. Я запишу формулировки на доске." | Сначала составляют индивидуальный список, затем обсуждают его в парах и предлагают классу: область определения, множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность, максимум и минимум. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «По графику функции можно определить область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили названия свойств, но пока не проверили, одинаково ли уверенно умеем находить их по формуле и графику. Сейчас выясним, где именно возникает затруднение, и сформулируем план подготовки."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: определить типичные ошибки и сформулировать личную цель тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает график функции и спрашивает: "Назовите нули функции и промежутки, на которых функция принимает положительные значения. Обратите внимание: нуль функции — это не точка минимума и не значение ординаты в начале координат. Каким признаком на рисунке вы воспользуетесь?" | Находят точки пересечения графика с осью $Ox$, называют их абсциссы и формулируют: "Положительные значения находятся там, где график расположен выше оси $Ox$". |
2 мин | Учитель предлагает закончить фразы: "Перед контрольной мне нужно потренировать..." и "Чтобы не потерять баллы, я буду проверять...". Учитель фиксирует на доске три цели: чтение графика, область определения по формуле, самопроверка. | Заполняют две фразы в тетради. Называют личные цели: "Не путать область определения и множество значений", "правильно читать промежутки", "проверять вычисления". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш план готов: сначала восстановим алгоритм анализа графика, затем применим его к формуле и практическому графику, а в конце каждый выполнит короткую самостоятельную работу и определит, что ещё нужно повторить дома."
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести универсальный алгоритм исследования свойств функции по графику и формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран график функции и говорит: "Работаем по алгоритму. Шаг первый — смотрим, при каких значениях $x$ график существует: это область определения. Шаг второй — определяем все значения $y$: это множество значений. Шаг третий — ищем пересечения с осью $Ox$: это нули функции. Шаг четвёртый — смотрим, где график выше и ниже оси $Ox$. Шаг пятый — читаем слева направо: график поднимается — функция возрастает, опускается — убывает. Шаг шестой — отмечаем вершины как точки максимума или минимума." | Следят за графиком, проговаривают алгоритм по шагам, записывают краткую схему в тетрадь. |
3 мин | Учитель записывает на доске функцию $f(x)=\frac{2}{x-3}$ и спрашивает: "Как найдём область определения? Какое значение нельзя подставить? Запишите условие для знаменателя и решите его. Не забывайте: знаменатель не может быть равен нулю." | Записывают $x-3\ne0$, получают $x\ne3$ и формулируют: $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$. |
2 мин | Учитель связывает тему с физикой и экономикой: "Если $t$ — время, а $T(t)$ — температура, график показывает изменение температуры. Если $x$ — количество товара, а $C(x)$ — стоимость, график помогает увидеть рост цены. Какое свойство функции понадобится, чтобы определить момент наибольшей температуры или максимальной выручки?" | Отвечают: "Точка максимума и максимальное значение функции". Приводят примеры величин, зависящих от времени или количества товара. |
Запись в тетрадях
Алгоритм анализа графика: 1) область определения; 2) множество значений; 3) нули; 4) знакопостоянство; 5) возрастание и убывание; 6) максимум и минимум. Для функции $f(x)=\frac{2}{x-3}$: $x-3\ne0$, поэтому $x\ne3$ и $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть единый маршрут анализа. На следующем этапе применим его к конкретным заданиям, где нужно не только назвать свойство, но и объяснить, по какому признаку мы его нашли."
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать чтение графика и формулировку ответа в формате контрольной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с графиком функции и заданием: "По изображённому графику определите область определения, множество значений, нули функции, промежутки, на которых функция положительна, и промежутки возрастания. Сначала каждый решает самостоятельно одну минуту, затем сравните записи и составьте общий ответ. Не просто называйте промежуток, а показывайте, какой участок графика его подтверждает." | Индивидуально отмечают на графике нужные участки, затем обсуждают ответы в парах и записывают согласованный вариант. |
3 мин | Учитель организует проверку: "Сверяем по пунктам. За каждый пункт назовите не только ответ, но и признак. Если ответ партнёра отличается, используйте формулу: «Я считаю так, потому что на графике…». После проверки напишите партнёру две сильные стороны и один совет." | Озвучивают ответы, аргументируют их по графику, выполняют взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание». |
Эталон решения
При чтении графика сначала проводят взгляд слева направо. Область определения — проекция графика на ось $Ox$. Множество значений — проекция на ось $Oy$. Нули — абсциссы точек пересечения с осью $Ox$. Положительные значения находятся выше оси $Ox$, отрицательные — ниже. Возрастание определяется движением графика вверх слева направо, убывание — движением вниз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы потренировались переводить изображение графика в точный математический ответ. Теперь сделаем короткую физкультминутку и после неё проверим, насколько самостоятельно каждый из вас умеет выбирать алгоритм."
Этап 6. Физкультминутка с математическим содержанием (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить различение возрастания, убывания и постоянства функции через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Если я называю «возрастание», плавно поднимайте руки вверх; если «убывание» — опускайте; если «постоянство» — удерживайте руки на одном уровне. Представьте, что ваши руки — график функции. Начинаем: возрастание, убывание, постоянство, снова возрастание." | Выполняют движения по команде, проговаривают соответствующие свойства функции. |
1 мин | Учитель добавляет: "Теперь сделаем два глубоких вдоха и выдоха. На вдохе вспомните первый шаг алгоритма, на выдохе — последний. Какой первый? Какой последний?" | Выполняют дыхательное упражнение, отвечают: "Сначала область определения, в конце максимум и минимум, если они есть". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили алгоритм и сняли напряжение. Теперь каждый покажет собственный результат в короткой самостоятельной работе."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальную готовность к контрольной работе и научить выполнять самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: "Выберите уровень по готовности: базовый — обязательно для всех, стандартный — если базовые задания выполняются уверенно, повышенный — по желанию. Работайте молча. В каждом ответе записывайте промежуточное действие, чтобы можно было найти ошибку." | Выбирают карточку уровня и записывают на ней фамилию, время начала и выбранный уровень. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: по графику найти два нуля и промежуток положительных значений; вычислить $f(2)$ для $f(x)=3x-5$. Стандартный уровень: найти область определения $f(x)=\frac{4}{x+2}$ и описать промежутки монотонности по графику. Повышенный уровень: объяснить, почему функция $f(x)=x^2$ не является ни возрастающей, ни убывающей на всей числовой прямой. | Индивидуально решают выбранные задания, отмечают места сомнений знаком «?» и проверяют вычисления подстановкой или чтением графика. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только итог, но и ход решения. За базовое задание о значении функции должно получиться $f(2)=3\cdot2-5=1$. Для дробно-рациональной функции исключаем значение, обращающее знаменатель в ноль. Ошибку не стираем: зачеркните неверный шаг и рядом запишите исправление." | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают число верных ответов и записывают одну исправленную ошибку. |
Эталон решения
1. Для $f(x)=3x-5$: $f(2)=3\cdot2-5=6-5=1$. 2. Для $f(x)=\frac{4}{x+2}$ знаменатель не равен нулю: $x+2\ne0$, значит $x\ne-2$; область определения: $D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$. 3. Функция $f(x)=x^2$ убывает на $(-\infty;0)$ и возрастает на $(0;+\infty)$, поэтому на всей числовой прямой нельзя назвать её только возрастающей или только убывающей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала не только количество верных ответов, но и характер ошибок. Если ошибка связана с чтением графика, дома повторите алгоритм; если с формулой, отдельно потренируйте область определения и вычисление значения функции."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат, зафиксировать индивидуальное затруднение и принять посильный план домашней подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте один пункт: зелёный — могу самостоятельно анализировать график и формулу; жёлтый — понимаю алгоритм, но иногда ошибаюсь; красный — мне нужна помощь с отдельными свойствами. Допишите одно действие, которое выполните дома." | Заполняют лист самооценки, выбирают цвет и записывают личное действие: повторить определения, решить задания по графику или проверить область определения. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что показывает область определения? Как найти нули функции? Где график соответствует положительным значениям? Как проверить вычисленное значение функции?" Затем сообщает уровни домашнего задания и говорит: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный." | Отвечают: "Допустимые значения аргумента", "пересечения с осью $Ox$", "участок выше оси $Ox$", "подстановкой в формулу". Записывают выбранное домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы собрали в систему свойства функции, потренировались читать график и проверили свою готовность. Ошибка — это не причина тревожиться, а указатель, что именно повторить. На контрольной начинайте с чтения условия и последовательно проходите по алгоритму."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня или не менее 90% работы, корректно определены свойства функции, приведены необходимые промежуточные записи, выполнена самопроверка.
- «4» — верно выполнено не менее 70% работы, допущена одна существенная ошибка в чтении графика или вычислениях, ход решения в основном понятен.
- «3» — верно выполнено не менее 50% работы, распознаны основные свойства функции, но допущены ошибки в промежутках, области определения или оформлении ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более уверенно вы научились определять по графику? | Выявление осознанного понимания свойств функции и результата урока. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение? | Выявление конкретной точки затруднения для коррекционной работы. |
Как вы проверяли вычисленный ответ? | Проверка сформированности регулятивного действия самоконтроля. |
Какой тип задания вы готовы решить самостоятельно на контрольной? | Субъективная оценка готовности и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали свойства функции и увидели, что большинство заданий решается по понятному алгоритму. Особенно внимательно проверяйте область определения и не путайте нули функции со значениями функции. Если график вызывает сомнение, сначала определите, что находится по осям, а затем читайте его слева направо. На следующем уроке мы разберём результаты контрольной работы и составим личные рекомендации по исправлению ошибок."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Повторить определения области определения, множества значений, нулей, знакопостоянства, возрастания и убывания. Решить 4 задания: два на чтение графика и два на вычисление значения линейной функции и нахождение области определения дробно-рациональной функции. | Закрепляет базовый алгоритм и точность терминов. При проверке обратить внимание на запись промежутков и исключённых значений. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий в формате подготовки к контрольной: по графику определить не менее четырёх свойств функции; по формуле найти область определения; вычислить два значения; сравнить две функции по графикам. | Формирует умение переключаться между представлениями функции и распределять время. Проверить наличие объяснения, а не только краткого ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное практическое задание о зависимости величин, например времени и температуры или количества товара и стоимости, построить таблицу из пяти значений, схематичный график и описать два свойства функции. | Развивает функциональную грамотность, моделирование и умение создавать математическую задачу. При проверке оценить корректность зависимости и точность описания графика. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что показывает область определения функции? Как на графике найти нули? Чем промежуток возрастания отличается от промежутка положительных значений? Как проверить результат вычисления функции по формуле?»
