Погрешность и точность приближения
Цели и задачи
- Цель: сформировать понятие абсолютной и относительной погрешностей, научить вычислять их при решении практических задач и заданий формата ОГЭ.
- Образовательные: ввести формулы абсолютной и относительной погрешностей; научить оценивать точность измерений.
- Развивающие: развивать навыки самоконтроля при выполнении вычислений, умение анализировать полученные результаты.
- Воспитательные: формировать ответственное отношение к точности данных как к профессионально важному качеству.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учётом требований к точности в разных профессиях.
- Критическое отношение к недостоверной информации и умение проверять точность данных.
- Снижение уровня тревожности перед экзаменами через освоение алгоритмов проверки результатов.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Регулятивные: умение адекватно оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками в парах.
Предметные
- Знать определения приближённого значения числа, абсолютной погрешности и относительной погрешности.
- Уметь вычислять абсолютную погрешность приближения по формуле Δ = |a - x|.
- Уметь находить относительную погрешность и выражать её в процентах.
- Владеть навыком округления чисел до заданного разряда с оценкой точности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование навыков анализа своих ошибок и понимания причин затруднений при работе с приближёнными значениями.
Регулятивные УУД
- Планирование пути достижения цели на основе алгоритма вычисления погрешностей.
- Осуществление итогового и пошагового контроля по результату.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из текста учебника.
- Построение логической цепи рассуждений при сравнении точности двух измерений.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию при работе в паре.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с математическим языком.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с заданиями на вычисление погрешностей (15 экземпляров).
- Подготовить презентацию с визуализацией примера «Расстояние до Луны vs Длина карандаша».
- Выписать на доску формулы Δ = |a - x| и δ = (Δ / |x|) * 100%.
- Проверить наличие калькуляторов у учащихся (допускается использование для расчёта относительной погрешности).
- Методические ресурсы: Учебник «Алгебра 9 класс» (авторский коллектив под ред. Ю.Н. Макарычева или А.Г. Мордковича), портал «РЕШУ ОГЭ» (раздел «Числа и вычисления»).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность, используя жизненный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начнем с вопроса, который кажется простым. Представьте, что вы покупаете лекарство, и в инструкции написано: "Принимать 0,5 г". А весы в аптеке ошибаются на 0,1 г. Критично ли это? А если строитель ошибается на 0,1 г при замесе 10 тонн бетона? В чем разница?» | Слушают учителя, включаются в диалог. Предполагают: «В лекарстве это опасно, а в бетоне — нет, потому что доля ошибки разная». |
2 мин | «Верно. В математике и жизни важно не только само наличие ошибки, но и её масштаб. Тема нашего урока: "Погрешность и точность приближения". Запишите тему в тетради. Это база для лабораторных работ по физике и химии, а также встречается в заданиях ОГЭ, где нужно оценивать результаты вычислений». | Записывают дату и тему урока в тетради. Настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы поняли, что точность — понятие относительное. Давайте вспомним, как мы вообще получаем приближенные числа».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить правила округления и понятие приближенного значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним правила округления. У вас на столах лежат карточки №1. Округлите число 3,14159 до сотых, до десятых и до целых. Вспомните, что мы делаем, если первая отбрасываемая цифра 5 или больше?» | Выполняют задание на карточках. Отвечают: «Если цифра 5 и больше, то последнюю сохраняемую цифру увеличиваем на единицу». Записывают: 3,14; 3,1; 3. |
2 мин | «Хорошо. Теперь вопрос: какое из этих приближений самое точное? Как математически доказать, что 3,14 ближе к истинному числу Пи, чем 3,1?» | Предполагают: «Нужно найти разницу между точным и приближенным числом». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Именно эту разницу мы и будем называть абсолютной погрешностью. Давайте перейдем к формулам».
Этап 3. Открытие нового знания: Абсолютная погрешность (10 мин)
Цель этапа: ввести понятие абсолютной погрешности и отработать его на примерах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на странице 186. Найдите определение абсолютной погрешности. Прочитайте его вслух. (Вызывает ученика). Итак, абсолютная погрешность — это модуль разности между точным числом и его приближенным значением. Запишем формулу на доске и в тетрадях: Δ = |a - x|, где a — точное число, x — приближенное». | Один ученик читает определение. Все записывают формулу. Рисуют схему: Δ (дельта) — символ погрешности. |
6 мин | «Давайте решим задачу. Точное значение массы детали a = 456 г. При взвешивании получили x = 450 г. Найдите абсолютную погрешность. А если бы получили 462 г? Посмотрите, почему в формуле стоит модуль?» | Решают в тетрадях: |456 - 450| = 6 г. Для второго случая: |456 - 462| = |-6| = 6 г. Отвечают: «Модуль нужен, чтобы погрешность всегда была положительным числом, нам важна величина отклонения, а не его знак». |
Эталон решения
Дано: $a = 456$, $x = 450$.
Найти: $\Delta$.
Решение: $\Delta = |a - x| = |456 - 450| = 6$.
Ответ: 6.
Найти: $\Delta$.
Решение: $\Delta = |a - x| = |456 - 450| = 6$.
Ответ: 6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Абсолютная погрешность показывает величину ошибки в тех же единицах, что и само число. Но всегда ли 6 грамм — это много?»
Этап 4. Проблемная ситуация и Относительная погрешность (10 мин)
Цель этапа: обосновать необходимость введения относительной погрешности для сравнения точности измерений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Применяем приём "Проблемный вопрос". Представьте: при измерении длины карандаша (15 см) ошиблись на 1 см. И при измерении длины школьного коридора (50 м) ошиблись на 1 см. Абсолютная погрешность одинакова — 1 см. Значит ли это, что измерения одинаково точны? Обсудите в парах 1 минуту». | Обсуждают в парах. Формулируют вывод: «Нет, для карандаша 1 см — это огромная ошибка, а для коридора — почти незаметная. Нужно сравнить ошибку с самой величиной». |
6 мин | «Именно! Для этого вводится относительная погрешность. Записываем: δ = (Δ / |a|) * 100%. Она показывает, какую часть от точного значения составляет ошибка. Давайте посчитаем точность для карандаша и коридора. Используйте калькуляторы». | Записывают формулу. Считают: для карандаша (1/15) * 100% ≈ 6,7%. Для коридора (1/5000) * 100% = 0,02%. Делают вывод: измерение коридора в сотни раз точнее. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В ОГЭ и науке именно относительная погрешность является мерилом качества измерения. Чем она меньше, тем выше точность».
Этап 5. Первичное закрепление и работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработка навыка вычисления погрешностей в режиме сотрудничества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Работаем в парах. У вас карточка №2. Там три задачи: 1) Найти абсолютную погрешность округления 2/3 до 0,67. 2) Сравнить точность двух измерений. 3) Типовое задание: "Результат измерения записан в виде 150 ± 2 кг. Найдите относительную погрешность". Приступайте, на работу 5 минут, затем взаимопроверка». | Работают в парах, распределяют обязанности (один считает разность, другой делит). Проверяют друг друга по эталону на доске. Обсуждают запись ± как границы абсолютной погрешности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство справилось. Обратите внимание на запись ± — она часто встречается в задачах по физике».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполните в тетрадях № 624 (а) и № 627 из учебника. Это самостоятельная работа на оценку "в журнал по желанию". После выполнения сверьтесь с ответами на обратной стороне доски». | Самостоятельно решают задачи. Сверяют результаты. Поднимают руки те, у кого ответы совпали. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Если у вас возникла ошибка в №627, проверьте, перевели ли вы все данные в одни единицы измерения. Это частая ловушка в ОГЭ».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок подходит к концу. Запишите домашнее задание. И напоследок приём "Билет на выход": на маленьком листке напишите ответ на вопрос: "Какая погрешность — абсолютная или относительная — важнее для оценки качества работы инженера и почему?" Листки сдайте мне». | Записывают задание. Пишут краткий ответ на вопрос рефлексии. Сдают листки, выходя из класса. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки №2 и самостоятельной работы, формулы записаны верно, произведен перевод единиц измерения.
- «4» — допущена 1 вычислительная ошибка при верном алгоритме, или не указаны единицы измерения (проценты) в относительной погрешности.
- «3» — верно решены задачи только на абсолютную погрешность, в формуле относительной погрешности допущены ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем различие между Δ и δ? | Проверка понимания разницы между абсолютным и относительным показателями. |
Где в реальной жизни вам встречался знак ±? | Связь математической абстракции с практическим опытом. |
Какой этап урока был самым трудным для вычислений? | Выявление пробелов в арифметических навыках (работа с дробями/процентами). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились измерять то, что раньше называли просто "ошибкой". Помните, что в современной науке и технике точность — это залог безопасности. На следующем уроке мы научимся оценивать погрешность при сложении и умножении приближенных чисел. Это поможет вам не допускать ошибок в практической части ОГЭ по физике. Спасибо за работу, до свидания!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | § 24, № 625, 626 | Вычислить абсолютную погрешность для стандартных округлений. |
Средний (повышающий) | № 630, 632 | Сравнить точность двух различных измерений через относительную погрешность. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти на упаковках продуктов или лекарств информацию о точности веса/состава и рассчитать δ. |
Контрольный вопрос: «Если абсолютная погрешность уменьшилась, всегда ли относительная тоже уменьшается?» (Подумайте к следующему уроку).