Решение уравнений методом замены переменной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать уравнения с повторяющимся выражением, выполнять замену, решать полученное уравнение и возвращаться к исходной переменной, успешно решив не менее 3 из 4 тренировочных заданий.
- Научиться выделять повторяющееся выражение вида $x^2+bx+c$ и обозначать его новой переменной.
- Освоить алгоритм решения уравнений методом замены переменной и применять его к заданиям базового и повышенного уровня.
- Развивать умение анализировать структуру уравнения, выбирать рациональный способ решения и проверять полученные корни.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через работу с заданиями экзаменационного формата и осмысление понятного пошагового алгоритма.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение владения алгебраическими методами для успешного выполнения практических и экзаменационных заданий.
- Проявляют готовность спокойно анализировать незнакомое уравнение и искать способ его преобразования.
- Формируют ответственное отношение к самопроверке и исправлению ошибок.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно решить сложное на вид уравнение.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки уравнения и устанавливают связь между исходным и вспомогательным уравнениями.
- Планируют последовательность действий, фиксируют промежуточный результат и проверяют ответ.
- Работают с заданиями открытого банка ФИПИ, извлекая математическую информацию из условия.
- Сотрудничают в парах, аргументируют выбор замены и корректно обсуждают ошибки.
- Оценивают уровень собственного понимания с помощью светофора и листа самооценки.
Предметные
- Знать понятие замены переменной и условия допустимости выполненной замены.
- Уметь распознавать выражение, повторяющееся в разных частях уравнения.
- Уметь заменять повторяющееся выражение новой переменной, решать полученное уравнение и выполнять обратную замену.
- Уметь проверять найденные корни в исходном уравнении и записывать ответ.
- Владеть алгоритмом решения уравнений с повторяющимся выражением, например $x^2+bx+c$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться видеть удобную замену в уравнении.
- Осознают связь аккуратной записи и количества ошибок при подготовке к ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при решении задания повышенного уровня.
- Осваивают конструктивное отношение к ошибке как к источнику коррекции способа действия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Составляют план решения уравнения с заменой переменной.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль: замена, решение вспомогательного уравнения, обратная замена, проверка.
- Сверяют решение с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Сравнивают уравнения и находят в них повторяющееся выражение.
- Моделируют исходное уравнение с помощью новой переменной.
- Применяют известную формулу решения квадратного уравнения к вспомогательному уравнению.
- Анализируют ограничения, возникающие при обратной замене.
- Обобщают алгоритм и переносят его на задания нового вида.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос о причине затруднения и отвечают на вопросы учителя.
- Объясняют партнёру, почему выбранная замена упрощает уравнение.
- Согласовывают общий вариант решения и распределяют действия в паре.
- Аргументированно сравнивают два способа решения.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с уравнением $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$, алгоритмом замены и цветовым выделением повторяющегося выражения.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — по одной на каждого ученика, средний и повышенный — по одной на пару, всего по 15 экземпляров каждого типа.
- Подобрать 4–6 уравнений из открытого банка ФИПИ соответствующего формата, проверив корректность ответов и возможность решения заменой выражения.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: «нахожу замену», «решаю вспомогательное уравнение», «делаю обратную замену», «проверяю корни».
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одной на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: 1) выделить повторяющееся выражение; 2) обозначить его $t$; 3) решить уравнение относительно $t$; 4) выполнить обратную замену; 5) проверить корни.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий и эталон решений для самопроверки.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, маркеры трёх цветов и доску для записи решений учащихся.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для работы должны лежать на столе. Сегодня мы будем тренироваться распознавать повторяющееся выражение и выбирать удобную замену в заданиях экзаменационного формата." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает уравнение $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$: "Посмотрите на уравнение. Найдите выражение, которое повторяется, и подумайте, как с его помощью сделать запись короче. Затем обсудите идею с соседом." | Выделяют $x^2+2x$, обсуждают в парах и формулируют: "Повторяющееся выражение можно обозначить новой переменной". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже увидели ключ к уравнению: иногда нужно изменить не само выражение, а способ его записи. Сейчас выясним, как выполнить такую замену без потери корней."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о квадратных уравнениях, степенях и проверке корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает вспомнить решение квадратного уравнения $t^2-5t+6=0$: "Какие способы вы видите? Как найти корни по теореме Виета или через дискриминант? Почему после решения нужно вернуться к исходному выражению?" | Решают уравнение: $t_1=2$, $t_2=3$; называют разложение на множители и теорему Виета; объясняют необходимость обратной замены. |
3 мин | Учитель предлагает сравнить два задания: $x^2-5x+6=0$ и $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$: "Можно ли применить один и тот же алгоритм сразу? Где возникает затруднение?" | Сравнивают структуру, находят повторяющееся выражение $x^2+2x$ и формулируют затруднение: нужно заменить составное выражение новой переменной. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили решение квадратного уравнения и увидели, что проблема не в вычислениях, а в форме записи. Значит, наша задача — превратить сложное уравнение в знакомое."
Этап 3. Постановка цели и построение проекта выхода (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм поиска новой переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какое выражение повторяется в уравнении $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$? Если обозначить его буквой $t$, во что превратится уравнение? Почему важно после решения уравнения относительно $t$ вернуться к выражению через $x$?" | Отвечают: "Повторяется $x^2+2x$"; вводят $t=x^2+2x$ и получают $t^2-5t+6=0$; объясняют необходимость обратной замены. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: "Сегодня мы проверим пять шагов: найти повторяющееся выражение, ввести замену, решить вспомогательное уравнение, выполнить обратную замену, проверить корни. Сформулируйте цель урока своими словами." | Формулируют цель: "Научиться решать уравнения с повторяющимся выражением методом замены и проверять ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План у нас есть. Теперь не будем долго говорить о способе — откроем его в действии на конкретном уравнении и сразу перейдём к практике."
Этап 4. Открытие нового знания: вывод алгоритма (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести и зафиксировать алгоритм решения уравнений методом замены переменной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает уравнение: "Рассмотрим $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$. Вводим замену $t=x^2+2x$. Тогда получаем $t^2-5t+6=0$. Решаем: $(t-2)(t-3)=0$, значит, $t=2$ или $t=3$. Возвращаемся к $x$: $x^2+2x=2$ или $x^2+2x=3$. Какие корни получаем?" | Записывают преобразования, решают два квадратных уравнения: при $t=2$ получают $x=-1\pm\sqrt3$, при $t=3$ — $x=1$ или $x=-3$. |
3 мин | Учитель подчёркивает: "После обратной замены каждое значение $t$ нужно подставить в исходное выражение и решить получившееся уравнение относительно $x$. Нельзя заканчивать решение сразу после нахождения $t." | Фиксируют необходимость полной обратной замены и проверки всех найденных корней. |
2 мин | Учитель предлагает мини-проверку: "Определите замену в уравнении $(x^2-3x+1)^2-7(x^2-3x+1)+10=0$. Не решайте его полностью, назовите только новую переменную и вид вспомогательного уравнения." | Называют $t=x^2-3x+1$; получают $t^2-7t+10=0$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) найти повторяющееся выражение; 2) обозначить его новой переменной $t$; 3) получить и решить уравнение относительно $t$; 4) для каждого найденного значения выполнить обратную замену и решить уравнение относительно $x$; 5) проверить найденные корни в исходном уравнении.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Главный признак мы сформулировали: одно и то же выражение встречается несколько раз, а его степени образуют квадратную структуру. Теперь проверим алгоритм сначала вместе, а затем каждый самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление: работа в парах (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к заданиям базового и среднего уровня с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с уравнением $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$: "Работаем по алгоритму. Один ученик объясняет выбор замены, второй выполняет преобразования; через полторы минуты поменяйтесь ролями. Обязательно запишите обратную замену и проверьте корни." | В парах вводят $t=x^2+2x$, решают $t^2-5t+6=0$, получают $t=2$ и $t=3$, составляют два квадратных уравнения относительно $x$. |
2 мин | Учитель просит одну пару представить решение: "Покажите, как из значения $t=2$ получить уравнение относительно $x$. Почему каждое квадратное уравнение нужно решить полностью?" | Представляют: $x^2+2x=2$, то есть $x^2+2x-2=0$; затем $x^2+2x=3$, то есть $x^2+2x-3=0$; объясняют появление нескольких корней. |
2 мин | Учитель выводит на экран краткий эталон и организует взаимопроверку: "Сверьте не только ответ, но и наличие всех пяти шагов. Если нашли расхождение, отметьте место ошибки, а не просто перепишите решение." | Сверяют решения, исправляют ошибки, записывают полный ответ: $x=-1\pm\sqrt3$ и $x=1,-3$. |
Эталон решения
Пусть $t=x^2+2x$. Тогда $t^2-5t+6=0$, откуда $t_1=2$, $t_2=3$. При $t=2$: $x^2+2x-2=0$, $x=-1\pm\sqrt3$. При $t=3$: $x^2+2x-3=0$, $(x-1)(x+3)=0$, поэтому $x=1$ или $x=-3$. Ответ: $-1-\sqrt3$, $-1+\sqrt3$, $1$, $-3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что обратная замена иногда приводит не к одному, а к двум квадратным уравнениям. Теперь каждый проверит, может ли выполнить весь алгоритм без подсказки и уложиться во время, как на тренировке ОГЭ."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно решить задания из открытого банка ФИПИ и выбрать уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть три уровня. Базовый обязателен для всех; после его выполнения можно взять средний или повышенный. В каждом решении должны быть видны замена и обратная замена. Не гонитесь за скоростью: аккуратный алгоритм снижает число ошибок на экзамене." | Выбирают карточку, читают инструкцию, записывают номер уровня и план действий. |
5 мин | Учитель раздаёт задания: базовый — $(x^2+2x)^2-5(x^2+2x)+6=0$; средний — $(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0$; повышенный — $(x^2-3x+1)^2-7(x^2-3x+1)+10=0$. Напоминает: "Если остановились, подчеркните место затруднения и переходите к следующему шагу, который можете выполнить." | Решают индивидуально. Для каждого задания выделяют повторяющееся выражение, вводят замену $t$, решают вспомогательное уравнение и выполняют обратную замену. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске и проводит самопроверку: "Поставьте плюс напротив каждого выполненного шага. Отдельно проверьте, что после обратной замены решены все полученные уравнения и записан полный ответ." | Сверяют решения, отмечают ошибки и уровень самостоятельности в листе самооценки. |
Эталон решения
Для базового задания с повторяющимся выражением $x^2+2x$: $t=x^2+2x$, затем решается вспомогательное уравнение $t^2-5t+6=0$, после чего выполняются две обратные замены $x^2+2x=2$ и $x^2+2x=3$. Для среднего и повышенного заданий действуют по тому же алгоритму: выделяют повторяющееся выражение, решают уравнение относительно $t$, выполняют обратную замену и проверяют корни в исходном уравнении.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете не только решать вспомогательное уравнение, но и анализировать допустимость его корней. Осталось оценить, что стало понятным, а что требует ещё одной тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и объяснить домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте, что вы уже можете сделать без помощи: найти повторяющееся выражение, ввести замену, решить уравнение относительно $t$, выполнить обратную замену, проверить ответ. Затем поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Заполняют лист, показывают цвет: зелёный — алгоритм применяют самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — есть существенное затруднение. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой признак подсказывает, что нужна замена? Почему при $t=x^2$ нельзя оставлять отрицательное значение? На каком шаге чаще всего теряются корни?" | Отвечают: "Повторяющееся выражение и его квадрат"; "$x^2$ не может быть отрицательным"; "при обратной замене и извлечении квадратного корня". |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, один дополнительный. Решение оформляйте полностью: замена, вспомогательное уравнение, обратная замена, проверка." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, формулируют личный шаг для улучшения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать уравнение, похожее на сложное, в знакомое квадратное. На следующем уроке мы продолжим тренировку и разберём случаи, где выбор замены требует более внимательного анализа."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решено базовое задание и минимум одно задание среднего или повышенного уровня; записаны замена, решение вспомогательного уравнения, обратная замена и проверка; допущено не более одной вычислительной неточности, исправленной при самопроверке.
- «4» — верно решено базовое задание и выполнена большая часть среднего задания; алгоритм записан полностью, но допущена одна ошибка в вычислениях или оформлении ответа.
- «3» — правильно найдена замена и решено вспомогательное уравнение хотя бы в одном задании, но допущена ошибка при обратной замене или проверке корней.
- Ниже «3» — повторить алгоритм по памятке и выполнить базовое задание с обязательной консультацией учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое выражение в уравнении подсказывает необходимость замены переменной? | Проверка понимания структурного признака нового способа. |
На каком шаге решения вы чувствовали наибольшую уверенность, а на каком потребовалась подсказка? | Выявление индивидуальных точек затруднения в алгоритме. |
Почему при замене $t=x^2$ значение $t=-4$ не даёт действительных корней? | Проверка осмысления ограничения $t\geq0$. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Оценка самоопределения и готовности к дальнейшей работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что сложный внешний вид уравнения не означает сложный способ решения. Если выражение повторяется, его можно обозначить новой переменной, решить знакомое квадратное уравнение и обязательно вернуться к исходной переменной. Типичная ошибка — забыть ограничение $t\geq0$ или потерять знак при извлечении квадрата. Вы уже умеете контролировать оба шага. На следующем уроке мы продолжим работу с заданиями экзаменационного формата и закрепим выбор замены."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 уравнения с повторяющимся выражением из открытого банка ФИПИ или аналогичного набора: в каждом оформить замену $t$, решить вспомогательное уравнение, выполнить обратную замену и проверить корни. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на корректность замены и полный набор корней. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения, где повторяется выражение вида $x^2+bx$ или $x^2+bx+c$, сначала самостоятельно определить замену, затем выполнить обратную замену. | Развивает распознавание структуры и умение решать несколько квадратных уравнений после обратной замены. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задания повышенной сложности из открытого банка ФИПИ, сравнить решение заменой переменной с другим возможным способом и письменно объяснить, почему выбранный способ рациональнее. | Формирует анализ, аргументацию и перенос алгоритма на нестандартные уравнения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти повторяющееся выражение? Что записывают после введения новой переменной? Почему нельзя завершать решение сразу после нахождения значений $t$? Как проверить, что найденные значения $x$ действительно являются корнями исходного уравнения?»
