Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника по длинам его сторон и применять эти отношения при решении не менее трёх практических задач.
- Сформировать понимание того, что синус, косинус и тангенс острого угла выражаются отношениями сторон прямоугольного треугольника.
- Научиться правильно определять гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты относительно выбранного угла.
- Отработать алгоритм решения типового задания ОГЭ с использованием тригонометрических отношений.
- Развивать умение объяснять ход рассуждений, проверять вычисления и выбирать необходимую тригонометрическую функцию.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик понимает практическую значимость тригонометрии для решения геометрических и экзаменационных задач.
- Осознаёт, что последовательная работа по алгоритму снижает тревожность при подготовке к ОГЭ.
- Проявляет готовность проверять собственный результат и спокойно исправлять ошибку.
- Развивает ответственное отношение к точности математической записи.
- Формирует положительную учебную мотивацию через связь материала с реальными измерениями.
Метапредметные
- Извлекает данные из чертежа и структурирует их в соответствии с поставленным вопросом.
- Планирует решение задачи по алгоритму: определить угол, назвать стороны, выбрать функцию, записать отношение, вычислить.
- Сравнивает несколько способов решения и аргументирует выбор наиболее удобного.
- Работает в паре, формулирует вопрос и объясняет партнёру ход рассуждений.
- Осуществляет самопроверку по эталону и корректирует найденные ошибки.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
- Уметь находить гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты относительно заданного угла.
- Уметь вычислять значение тригонометрической функции по длинам сторон.
- Уметь выбирать нужное тригонометрическое отношение в задаче ОГЭ.
- Владеть алгоритмом записи ответа с точностью до требуемого формата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на прямоугольный треугольник.
- Связывают изучаемый материал с будущей подготовкой к ОГЭ и практическими измерениями.
- Осознают значение аккуратности чертежа и математической записи.
- Принимают ситуацию затруднения как этап поиска нового способа действия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность решения тригонометрической задачи.
- Контролируют правильность определения сторон относительно угла.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Актуализируют признаки прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.
- Выделяют существенные данные на чертеже.
- Устанавливают зависимость между углом и отношениями длин сторон.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Классифицируют задачи по искомой тригонометрической функции.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные ответы с использованием математических терминов.
- Обсуждают в паре различия между противолежащим и прилежащим катетами.
- Задают уточняющие вопросы о выборе формулы.
- Аргументируют решение и корректно оценивают работу партнёра.
- Согласовывают общий алгоритм решения и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением прямоугольного треугольника, обозначениями гипотенузы, катетов и угла, а также с алгоритмом решения задачи.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить мини-листы для самооценки с пунктами «Я умею определить стороны», «Я умею выбрать функцию», «Я умею проверить ответ» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточку с практической ситуацией: измерение высоты дерева по длине тени и углу подъёма.
- Вывести на доску или экран таблицу: «синус = противолежащий катет / гипотенуза; косинус = прилежащий катет / гипотенуза; тангенс = противолежащий катет / прилежащий катет».
- Подготовить маркеры, линейку, угольник и три геометрических чертежа для работы у доски.
- Разложить на парты листы с треугольниками, в которых выбранный угол отмечен разными буквами.
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и светофорные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую и экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране фотографию дерева, рядом с которым обозначены длина тени и угол подъёма солнечного луча. Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём изучать инструмент, который помогает находить недоступные расстояния по известному углу и одной стороне. Посмотрите на изображение: высоту дерева нельзя измерить рулеткой напрямую, но можно вычислить. Как вы думаете, какие данные нам понадобятся?" | Рассматривают изображение, называют возможные данные: длину тени, угол, расстояние до объекта; формулируют предположение: "Нужно связать угол и стороны треугольника". |
2 мин | Учитель продолжает: "Поднимите руки те, кто встречал в демонстрационных вариантах ОГЭ задания с прямоугольным треугольником. Сегодня мы не просто запомним формулы, а сами установим способ действия. Ошибки на первом знакомстве нормальны: наша задача — понять алгоритм и научиться проверять себя." | Отмечают знакомую ситуацию, формулируют ожидания от урока и записывают дату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что угол и длины сторон связаны. Теперь вспомним свойства прямоугольного треугольника, которые понадобятся для открытия нового способа."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания о прямоугольном треугольнике и зафиксировать затруднение в выборе отношения сторон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и углом $A$. "Назовите гипотенузу. Какая сторона лежит напротив угла $A$? Какая сторона прилегает к углу $A$, но не является гипотенузой? Вспомните, как связаны стороны прямоугольного треугольника по теореме Пифагора." | Отвечают: "Гипотенуза — AB; против угла A лежит BC; прилежащий катет — AC". Записывают: $AB^2=AC^2+BC^2$. |
3 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя одинаковыми по форме треугольниками разного размера. "Сравните отношение противолежащего катета к гипотенузе в каждом треугольнике. Не выполняйте сложных вычислений — обсудите с соседом, что вы предполагаете. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Сначала индивидуально рассматривают чертежи, затем 1 минуту обсуждают в парах и предполагают: "У подобных треугольников отношение соответствующих сторон одинаково, поэтому оно зависит от угла, а не от размера треугольника". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили названия сторон и увидели, что отношения сторон могут быть постоянными для одного и того же угла. Но пока не умеем называть и использовать эти отношения. Значит, нам нужно открыть новые понятия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и спланировать открытие новых понятий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задачу: "В прямоугольном треугольнике угол $A$ острый. Известны гипотенуза $AB=10$ и катет $BC=6$. Как кратко записать отношение катета $BC$ к гипотенузе $AB$ и использовать его для описания угла $A$?" Учитель спрашивает: "Какого математического термина нам не хватает?" | Читают условие, выделяют стороны, называют затруднение: "Мы можем составить дробь $6/10$, но не знаем, как называется это отношение и где оно применяется". |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте цель одним предложением, затем объединитесь в пары и выберите точную формулировку. В цели должны быть слова «синус», «косинус», «тангенс» и «прямоугольный треугольник»." | Индивидуально формулируют цель, в парах уточняют её и предлагают классу: "Научиться находить синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника по сторонам". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам предстоит связать каждую функцию с определёнными сторонами. Действовать будем так: сначала назовём стороны относительно угла, затем выведем три отношения и проверим их на задачах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения синуса, косинуса и тангенса острого угла через отношения сторон.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на экране треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и углом $A$. "Посмотрите на чертёж. Относительно угла $A$ сторона $BC$ называется противолежащим катетом, $AC$ — прилежащим катетом, $AB$ — гипотенузой. Запишем первое отношение: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Записывайте: $\sin A=\frac{BC}{AB}$. Как изменится запись, если рассматриваем угол $B$?" | Записывают определение синуса. Называют для угла $B$: противолежащий катет $AC$, гипотенуза $AB$, записывают $\sin B=\frac{AC}{AB}$. |
3 мин | Учитель меняет выделение угла на экране: "Теперь рассмотрим прилежащий катет. Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A=\frac{AC}{AB}$. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan A=\frac{BC}{AC}$. Обратите внимание: гипотенуза всегда самая длинная сторона и никогда не является прилежащим катетом." | В тетрадях записывают три определения и цветом выделяют названия сторон. По сигналу учителя показывают на карточке, какая сторона является противолежащей и какая прилежащей. |
3 мин | Учитель предлагает проверить понимание: "Для треугольника с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10 найдите $\sin A$, если противолежащий катет равен 6. Затем найдите $\cos A$ и $\tan A$. Проговорите алгоритм вслух." | Определяют стороны и вычисляют: $\sin A=6/10=0{,}6$, $\cos A=8/10=0{,}8$, $\tan A=6/8=0{,}75$. Проговаривают: "Назвали стороны, выбрали формулу, подставили длины, сократили дробь". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\tan \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$. Алгоритм: 1) выбрать угол; 2) определить стороны; 3) выбрать функцию; 4) подставить длины; 5) проверить результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три отношения и увидели, что функция выбирается не по внешнему виду рисунка, а по двум нужным сторонам. Теперь закрепим определения с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить выбирать тригонометрическое отношение по условию и чертежу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с треугольником $KLM$, где угол $L=90^\circ$, угол $K$ выбранным цветом, $KM=13$, $LM=5$, $KL=12$. "Выполните задание по алгоритму: назовите гипотенузу, противолежащий и прилежащий катеты относительно угла $K$, затем найдите $\sin K$, $\cos K$, $\tan K$. Один ученик объясняет, второй проверяет по таблице на доске." | В парах называют: гипотенуза $KM$, противолежащий катет $LM$, прилежащий катет $KL$. Записывают: $\sin K=5/13$, $\cos K=12/13$, $\tan K=5/12$. Взаимно проверяют обозначения. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать функцию, жёлтую — если путаете стороны, красную — если нужна помощь. Сейчас важно честно определить следующий шаг." Для жёлтых карточек учитель повторно показывает схему сторон. | Показывают карточки, формулируют затруднение. Ученики с зелёными карточками объясняют соседу правило выбора функции, ученики с жёлтыми задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель предлагает две короткие ситуации: "Нужен катет напротив угла и известна гипотенуза. Какую функцию выберем? Нужны два катета. Какую функцию выберем?" | Отвечают: "Синус — противолежащий катет и гипотенуза; тангенс — два катета". Обосновывают выбор полным предложением. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете распознавать функцию по паре сторон. Следующий шаг — проверить, как вы действуете без подсказки и умеете ли переносить алгоритм на экзаменационный формат."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуально отработать применение тригонометрических отношений и выполнить самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, на котором сможете показать самостоятельное рассуждение. Уровень 1: в прямоугольном треугольнике катеты 9 и 12, гипотенуза 15; найдите синус и косинус угла, противолежащего катету 9. Уровень 2: в прямоугольном треугольнике гипотенуза 17, противолежащий катет 8; найдите синус и косинус выбранного угла. Уровень 3: лестница длиной 5 м образует с землёй угол, для которого $\cos \alpha=0{,}8$. Найдите расстояние от стены до основания лестницы. Запишите формулу до вычислений." | Индивидуально решают выбранный вариант. В уровне 1 получают $\sin\alpha=9/15=0{,}6$, $\cos\alpha=12/15=0{,}8$. В уровне 2 записывают $\sin\alpha=8/17$ и находят прилежащий катет по теореме Пифагора: $15$, затем $\cos\alpha=15/17$. В уровне 3 используют $\cos\alpha=\frac{x}{5}$ и получают $x=4$ м. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: "Проверьте не только число, но и структуру решения. Есть ли чертёж или обозначение угла? Названы ли стороны? Записана ли формула? Совпадает ли единица измерения? Исправления внесите другим цветом." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место возможной ошибки, исправляют запись и ставят отметку о выполнении каждого шага. |
2 мин | Учитель просит выполнить взаимопроверку: "Обменяйтесь работами с соседом. По критериям проверьте три пункта: правильность выбора функции, корректность подстановки и наличие ответа. Напишите одну сильную сторону и одно пожелание." | Проверяют работу партнёра по трём критериям, записывают краткое пожелание: "Верно выбрана функция; нужно подписать единицу измерения" или "Следует указать, относительно какого угла рассматриваются стороны". |
Эталон решения
Для задачи уровня 3: лестница — гипотенуза, расстояние от стены до основания — прилежащий катет. По определению $\cos\alpha=\frac{x}{5}$. Так как $\cos\alpha=0{,}8$, получаем $0{,}8=\frac{x}{5}$. Умножаем обе части на 5: $x=4$. Ответ: 4 м. Проверка: прилежащий катет меньше гипотенузы, поэтому результат реалистичен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает и в чисто математической, и в практической задаче. Обратите внимание на типичную ошибку: нельзя выбирать функцию, не определив стороны относительно угла. Завершим урок проверкой личного результата и ответим на исходный вопрос о высоте объекта."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить достижение цели и получить понятное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к фотографии дерева: "Теперь объясните, как можно было бы найти высоту дерева, если известны длина тени и угол подъёма. Какая функция связала бы высоту, то есть противолежащий катет, с длиной тени, то есть прилежащим катетом?" | Отвечают: "Используем тангенс: $\tan\alpha=\frac{h}{l}$, поэтому высота равна $h=l\tan\alpha$". |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте один вариант напротив каждого утверждения: могу самостоятельно, могу с подсказкой, пока затрудняюсь. Затем запишите одно правило, которое сегодня стало для вас главным." | Заполняют лист: оценивают умение определить стороны, выбрать функцию, записать отношение и проверить ответ. Формулируют правило: "Сначала определяю стороны относительно угла, потом выбираю функцию". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень для всех. Повышающий и дополнительный уровни выполняйте по готовности. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы на доске: что такое гипотенуза, чем отличаются синус и косинус, когда применяют тангенс?" | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "Гипотенуза лежит напротив прямого угла; синус использует противолежащий катет, косинус — прилежащий, тангенс связывает два катета". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли язык, на котором угол описывается через отношения сторон. На следующем уроке мы научимся использовать значения тригонометрических функций для нахождения неизвестных сторон и углов, а затем применим этот алгоритм к более сложным задачам ОГЭ."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнено не менее 90% выбранных заданий, правильно определены стороны относительно угла, записаны все необходимые формулы и приведено обоснование решения практической задачи.
- "4" — верно выполнено не менее 70% заданий, допущена не более чем одна вычислительная или оформительская ошибка, выбор тригонометрической функции обоснован.
- "3" — верно выполнено не менее 50% заданий, определения в основном воспроизведены, но есть ошибки в определении прилежащего или противолежащего катета; решение завершено с помощью эталона.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о синусе, косинусе и тангенсе? | Выявление осознания основных определений и связи функции с отношением сторон. |
Как вы определяете противолежащий и прилежащий катеты? | Проверка понимания относительности названий сторон выбранному углу. |
На каком шаге алгоритма вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Какой уровень самостоятельной работы вы выбрали и почему? | Формирование адекватной самооценки и снижение тревожности перед заданиями ОГЭ. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили основу тригонометрии: научились связывать острый угол с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Главная ошибка, которой нужно избегать, — выбирать формулу до того, как определены гипотенуза, противолежащий и прилежащий катеты. Если вы действуете по алгоритму и проверяете результат, задача становится последовательной и понятной. На следующем уроке мы применим новые отношения для нахождения неизвестных сторон и углов в задачах, близких к формату ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника по данным длинам сторон; в каждой задаче подписать стороны относительно выбранного угла. | Закрепляет определения и правильный выбор отношения; при проверке смотреть на обозначение угла, названия сторон и запись формулы. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение неизвестной стороны по известному значению синуса, косинуса или тангенса и длине одной стороны; одну задачу оформить с подробным объяснением алгоритма. | Формирует умение преобразовывать тригонометрическое отношение и переносить определение на новый тип задания. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу об измерении высоты дерева, ширины реки или длины ската с использованием одного из трёх тригонометрических отношений; приложить схематичный чертёж и проверить реалистичность ответа. | Развивает функциональную и креативную математическую грамотность; при проверке смотреть на соответствие модели условию, единицы измерения и обоснованность формулы. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая сторона называется гипотенузой? Как записывается синус острого угла? Какая функция связывает противолежащий и прилежащий катеты? Почему названия катетов зависят от выбранного угла?»
