Квадратные неравенства: графический метод решения
Цели и задачи
- Цель: Сформировать навык решения квадратных неравенств графическим методом и научить применять его для выполнения задания №13 ОГЭ.
- Образовательная задача: Вывести алгоритм решения неравенств вида ax² + bx + c > 0 ( < 0 ) на основе свойств квадратичной функции.
- Развивающая задача: Развивать навыки визуализации математических объектов и умение анализировать графическую информацию через работу с ИКТ.
- Воспитательная задача: Снизить уровень тревожности перед экзаменом за счет отработки типовых заданий и формирования ситуации успеха.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления при анализе полученных результатов.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи между коэффициентами функции и положением графика.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции своих действий в соответствии с алгоритмом.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументированно отстаивать свою точку зрения при поиске решения.
Предметные
- Знать определение квадратного неравенства.
- Уметь строить схематический график квадратичной функции.
- Владеть алгоритмом нахождения промежутков, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование позитивной самооценки через решение практических задач экзаменационного уровня.
Регулятивные УУД
- Планирование пути достижения цели на основе алгоритма графического метода.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств (графиков) для решения математических задач.
Коммуникативные УУД
- Организация учебного сотрудничества в парах при проведении математического исследования.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими моделями графиков в GeoGebra или Desmos.
- Распечатать карточки для парной работы «Исследовательский лист» (15 шт.).
- Подготовить подборку заданий №13 из открытого банка ФИПИ для этапа самостоятельной работы.
- Настроить проектор и интерактивную доску.
- Проверить наличие у учеников цветных карандашей/маркеров для выделения частей графика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, показав практическую значимость темы для успешной сдачи ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы приступаем к теме, которая гарантирует вам как минимум один балл на ОГЭ. Откройте сборники типовых вариантов на странице с заданием 13. Что вы там видите?» | Приветствуют учителя, открывают сборники, находят задание 13 (неравенства и их системы). |
2 мин | «Многие боятся этого задания, но сегодня мы превратим его в ваш козырь. Мы будем использовать не сухие формулы, а зрение и логику. Наша цель — научиться „видеть“ решение неравенства на графике. Готовы стать математическими детективами?» | Слушают учителя, настраиваются на продуктивную деятельность, выражают готовность к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично! Чтобы победить врага, нужно знать его в лицо. А лицом нашего сегодняшнего неравенства будет хорошо знакомая вам парабола».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить ключевые свойства квадратичной функции и выявить границы знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним: от чего зависит направление ветвей параболы? Что показывают корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 на графике? Посмотрите на доску, там три графика. Определите знаки коэффициента a и дискриминанта D для каждого». | Отвечают: «Направление ветвей зависит от знака коэффициента a. Корни — это точки пересечения с осью Ox». Анализируют графики, называют знаки a и D. |
2 мин | «А теперь внимание на экран. Перед вами неравенство x² - 4x + 3 > 0. Мы умеем решать уравнение x² - 4x + 3 = 0. Но как записать в ответ не точки, а целые промежутки? В чем наше затруднение?» | Пытаются предложить способы (подбор чисел, метод интервалов), фиксируют, что не знают точного алгоритма для графического метода. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы знаем, как выглядит парабола, но не знаем, как её использовать для ответа на вопрос „больше нуля“. Давайте составим план».
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Какую цель мы поставим перед собой? Что нам нужно сделать с графиком, чтобы решить неравенство? Давайте набросаем шаги: 1. Найти корни. 2. Построить эскиз. 3. Выбрать нужную часть. Согласны?» | Формулируют цель: «Научиться решать квадратные неравенства с помощью графиков». Записывают план в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План готов. Приступаем к исследованию. Работаем в парах, используем интерактивные модели».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Реализация проекта (Discovery) (12 мин)
Цель этапа: через исследование в парах и использование ИКТ самостоятельно вывести алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «У вас на столах исследовательские листы. Откройте на планшетах (или посмотрите на экран) модель в GeoGebra. Меняйте ползунки коэффициентов a, b, c. Ваша задача в парах: выяснить, где находятся точки графика, для которых y > 0, а где y < 0 относительно оси Ox. Закрасьте соответствующие области в листах». | Работают в парах с ИКТ-моделью. Экспериментируют с графиком, обсуждают, делают выводы о том, что «выше оси — плюс, ниже — минус». Заполняют схемы в листах. |
7 мин | «Давайте обсудим результаты. Если ветви вверх и есть два корня, где будет „плюс“? А если дискриминант меньше нуля и ветви вниз, будут ли у неравенства ax² + bx + c > 0 решения? Давайте сформулируем окончательный алгоритм решения». | Представители пар озвучивают выводы: «Плюс там, где график над осью». Вместе с учителем записывают алгоритм: 1. Приравнять к 0, найти корни. 2. Отметить корни на оси Ox. 3. Схематично провести параболу (ветви!). 4. Выделить интервалы согласно знаку. |
Запись в тетрадях
- Алгоритм решения квадратного неравенства:
- 1) Найти корни квадратного трехчлена (x₁ и x₂).
- 2) Отметить их на оси Ox (учитывать строгость знака: точка выколотая или закрашенная).
- 3) Определить направление ветвей параболы (a > 0 — вверх, a < 0 — вниз).
- 4) Провести схематичную параболу через точки.
- 5) Выделить штриховкой нужные промежутки (выше оси для '>', ниже для '<').
- 6) Записать ответ в виде интервала.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы сами вывели правило, которым пользуются математики. Теперь проверим его в деле на реальных примерах».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на типовых примерах с комментированием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Решим у доски неравенство x² - 5x + 6 ≤ 0. Кто хочет попробовать применить наш алгоритм? Остальные работают в тетрадях. Помните про „закрашенные“ точки — это частая ловушка на ОГЭ!» | Один ученик у доски комментирует каждый шаг: «Нахожу корни через теорему Виета: 2 и 3. Рисую ось, точки закрашены. Ветви вверх. Мне нужно меньше или равно, значит, выбираю „яму“ между 2 и 3. Ответ: [2; 3]». Класс сверяет решение. |
Эталон решения
x^2 - 5x + 6 \leq 0 \\ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \\ x_1 = \frac{5-1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3 \\ \text{График: парабола, ветви вверх, пересекает Ox в точках 2 и 3.} \\ \text{Знак } \leq 0 \Rightarrow \text{выбираем нижнюю часть параболы.} \\ \text{Ответ: } x \in [2; 3]
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, алгоритм работает. Теперь — момент истины. Попробуйте решить задания из реальных вариантов ОГЭ самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы в формате экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Раздаю карточки с тремя заданиями. Первое — базовое, второе — с отрицательным коэффициентом 'a', третье — на выбор соответствия графика и неравенства (как в ОГЭ). У вас 6 минут. Время пошло!» | Выполняют задания самостоятельно. Фокусируются на аккуратности построения эскизов. |
2 мин | «Время вышло. Посмотрите на экран — там эталоны решений. Отметьте плюсом те задачи, где ответ и рисунок совпали. Где возникли сложности?» | Сверяют свои решения с экраном. Проводят самооценку. Задают вопросы по второму заданию (ветви вниз). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Если у вас 2 или 3 плюса — вы уже на шаг ближе к заветной „четверке“ или „пятерке“ на экзамене».
Этап 7. Включение в систему знаний (межпредметные связи) (4 мин)
Цель этапа: показать применение квадратных неравенств в физике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Математика — это язык физики. Вспомните формулу высоты тела, брошенного вверх: h(t) = v₀t - 5t². Задача: Мяч подбросили с v₀ = 20 м/с. В какие моменты времени он будет находиться на высоте более 15 метров? Составьте неравенство». | Составляют неравенство: 20t - 5t² > 15. Переносят слагаемые: -5t² + 20t - 15 > 0. Делят на -5 (вспоминают смену знака!): t² - 4t + 3 < 0. Решают и делают вывод: «Мяч будет выше 15 метров в промежутке от 1 до 3 секунд полета». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, неравенства помогают даже рассчитывать траектории в спорте и технике».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить эмоциональное состояние и уровень понимания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Поднимите зеленую карточку, если теперь задание 13 не кажется вам страшным. Желтую — если нужно еще потренироваться. Красную — если всё еще запутались в ветвях параболы». Записывает ДЗ на доске. | Оценивают свою работу карточками. Записывают домашнее задание. Слушают комментарии учителя. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 задания самостоятельной работы, графики построены аккуратно, интервалы записаны верно.
- «4» — верно выполнены 2 задания, в третьем допущена негрубая ошибка (например, перепутаны скобки [ ] и ( )).
- «3» — верно выполнено 1 задание, или во всех заданиях верно найдены корни и построены параболы, но неверно выбраны интервалы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма самый опасный? | Выявление типичных ошибок (знак 'a', выколотые точки). |
Где в жизни может встретиться парабола? | Осознание межпредметных связей и функциональной грамотности. |
Насколько ты уверен в решении задания 13 ОГЭ сейчас? | Субъективная оценка роста компетентности и снижение стресса. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы проделали большую работу. Мы не просто изучили сухую тему, мы разобрали один из кирпичиков вашего будущего успеха на экзамене. Помните: график — это ваш союзник, он никогда не обманет, если вы правильно определите направление ветвей и корни. На следующем уроке мы разберем случаи, когда парабола не пересекает ось Ox. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 304 (а, б), 305 (в). | Решить неравенства строго по алгоритму с построением эскиза. |
Средний (повышающий) | Сайт «Решу ОГЭ»: вариант №5, задание 13 (5 примеров). | Отработка навыка выбора верного ответа из предложенных вариантов. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти значения 'a', при которых неравенство ax² + 4x + 1 > 0 верно при любых x. | Творческое задание на понимание связи дискриминанта и расположения графика. |
Контрольный вопрос: «Как изменится решение неравенства, если мы умножим обе его части на -1?» Проверьте это дома на примере x² - 4 > 0.
