Схематическое построение графиков квадратичных функций по формуле
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться за 5–7 минут строить схематический график функции вида $y=ax^2+c$, $y=a(x+p)^2$ или $y=a(x+p)^2+q$, определять координаты вершины, направление ветвей и выполнять не менее трёх заданий формата ОГЭ с результатом не менее 80%.
- Определить, как коэффициенты $a$, $p$ и $q$ влияют на положение и форму параболы.
- Сформулировать алгоритм построения графика по формуле и применять его при решении практических заданий.
- Развивать умение сравнивать графики, находить ошибки в построении и аргументировать свой выбор.
- Снизить тревожность перед заданиями ОГЭ благодаря освоению понятного пошагового алгоритма.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что графическое представление функции является универсальным инструментом анализа математической модели.
- Проявляют готовность проверять собственное решение и исправлять ошибки без отказа от дальнейшей работы.
- Понимают связь изученного алгоритма с заданиями ОГЭ и практическими задачами, связанными с моделированием зависимостей.
- Формируют ответственное отношение к подготовке к государственной итоговой аттестации.
Метапредметные
- Выделяют из формулы существенные параметры и устанавливают их влияние на график.
- Планируют последовательность построения, используют таблицу значений и графическую модель.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопросы и аргументируют выводы.
- Осуществляют самопроверку по эталону и оценивают степень достижения цели.
Предметные
- Знать свойства графика функции $y=ax^2$ при $a>0$ и $a<0$.
- Уметь определять координаты вершины параболы для функций $y=ax^2+c$, $y=a(x+p)^2$ и $y=a(x+p)^2+q$.
- Уметь устанавливать направление ветвей, ось симметрии и положение графика относительно графика $y=ax^2$.
- Владеть алгоритмом схематического построения графика и применять его к функциям с различными коэффициентами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к заданиям с графиками функций.
- Осознают ценность точности, последовательности и самоконтроля при математическом рассуждении.
- Выбирают стратегию работы: построение по преобразованиям или проверка по нескольким точкам.
- Формируют позитивное отношение к исправлению ошибок как к этапу обучения.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и соотносят её с форматом задания ОГЭ.
- Планируют построение графика по заданному алгоритму.
- Проверяют координаты вершины, направление ветвей и соответствие эскиза формуле.
- Выполняют коррекцию решения после сравнения с эталоном.
Познавательные УУД
- Сравнивают формулы и выделяют параметры, отвечающие за сдвиг и растяжение графика.
- Преобразуют формулу в удобный для анализа вид.
- Строят математическую модель в виде эскиза параболы.
- Устанавливают причинно-следственные связи между изменением коэффициентов и изменением графика.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям: исполнитель и проверяющий.
- Объясняют партнёру, почему вершина имеет заданные координаты.
- Задают уточняющие вопросы и корректно указывают на ошибку.
- Представляют общий вывод классу, используя математические термины.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с графиком $y=x^2$, координатной сеткой и тремя примерами преобразований.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего по числу парт; на каждой карточке две функции и место для эскиза.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней сложности: по одной на каждого ученика.
- Подготовить мини-лист «Алгоритм построения графика»: вершина, ось симметрии, направление ветвей, форма, контрольная точка.
- Вывести на доску памятку: $y=ax^2+c$ — вертикальный сдвиг; $y=a(x+p)^2$ — горизонтальный сдвиг; $y=a(x+p)^2+q$ — оба сдвига.
- Подготовить листы для приёма «Светофор» и небольшие стикеры для рефлексии.
- Заранее записать на доске тему урока и функции $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=-x^2$.
- Обеспечить каждому ученику тетрадь, линейку, карандаш и координатную сетку; подготовить проектор или интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую значимость темы для подготовки к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки и карандаша. Сегодня нам потребуется точность, но не сложные вычисления. Мы будем учиться быстро видеть график по его формуле." | Проверяют готовность, записывают дату, открывают тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране три формулы: $y=x^2$, $y=(x-2)^2+1$, $y=-2(x+1)^2+3$, и говорит: "Такие формулы часто встречаются в заданиях на соответствие и чтение графика. Сегодня мы выясним, как за несколько шагов понять, где находится вершина и куда направлены ветви. Поднимите руки те, кому сейчас кажется, что для этого нужно каждый раз строить большую таблицу значений." Учитель фиксирует затруднение и обещает алгоритм. | Поднимают руки, формулируют ожидания: "Нужно определить вершину", "Нужно понять знак коэффициента", "Можно использовать сдвиги графика". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не будем строить график вслепую по множеству точек. Сначала вспомним свойства базовой параболы, а затем откроем способ быстро определять её положение по формуле."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства графика $y=ax^2$ и подготовить основу для открытия нового способа построения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает графики $y=x^2$, $y=2x^2$ и $y=-x^2$: "Сравните эти три графика. Что общего у них? Как называется график? От чего зависит направление ветвей? Как меняется ширина параболы при увеличении $|a|$?" Учитель принимает ответы и выделяет ключевые слова на доске. | Отвечают: "График называется параболой", "при $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз", "$|a|>1$ делает параболу уже". |
3 мин | Учитель предлагает устно определить вершину и ось симметрии для $y=3x^2$ и $y=-0,5x^2$: "Назовите координаты вершины без построения. Какая прямая является осью симметрии?" Затем просит объяснить, почему точка $(0;0)$ принадлежит обоим графикам. | Определяют вершину $(0;0)$ и ось симметрии $x=0$, объясняют: "При $x=0$ значение функции равно нулю". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей и ширину параболы, а вершина базовой функции находится в начале координат. Теперь проверим, что происходит, если в формуле появляются дополнительные числа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при чтении преобразованной формулы и сформулировать алгоритм предстоящей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает функции $y=x^2+3$ и $y=(x-2)^2$: "Попробуйте без таблицы значений сказать, где находится вершина каждой параболы. Что изменилось по сравнению с $y=x^2$?" После разных ответов учитель не сообщает готовое правило, а организует короткий сократовский диалог: "Какое число прибавлено снаружи скобок? Где оно должно повлиять на график? Что изменилось внутри скобок?" | Предполагают: "Первая парабола поднялась на 3", "Вторая сдвинулась вправо на 2", формулируют затруднение: "Нужно точно определить знак сдвига". |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги должны войти в алгоритм, чтобы не ошибаться на ОГЭ?" Учитель записывает предложения учеников и объединяет их в план: определить вершину, ось, ветви, форму, контрольную точку. | Формулируют цель: "Научиться строить график по формуле"; предлагают шаги алгоритма и записывают план работы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: нужно научиться читать знаки и положение чисел в формуле. Сейчас мы построим правило, которое позволит решать такие задания без лишних вычислений."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм схематического построения графиков трёх видов квадратичных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на экране последовательное перемещение базовой параболы: "Рассмотрим $y=ax^2+c$. Число $c$ прибавляется к значению функции, поэтому вся парабола перемещается вертикально. При $c>0$ она поднимается, при $c<0$ опускается. Вершина имеет координаты $(0;c)$, ось симметрии — $x=0$." Затем разбирает функцию $y=2x^2-3$. | Записывают правило, отвечают: "Вершина $(0;-3)$, ветви вверх, ось $x=0$"; отмечают на координатной сетке вершину и одну симметричную пару точек. |
3 мин | Учитель показывает функцию $y=a(x+p)^2$: "Внутри скобок сдвиг читается с противоположным знаком. Если $p=2$, то $x+2=x-(-2)$, поэтому вершина имеет абсциссу $-2$. Для $y=- (x+2)^2$ вершина $(-2;0)$, ось $x=-2$, ветви направлены вниз." Учитель подчёркивает типичную ошибку со знаком. | Формулируют: "Вершина имеет координаты $(-p;0)$"; строят эскиз для $y=-(x+2)^2$ и объясняют, почему парабола смещена влево. |
3 мин | Учитель обобщает: "Для $y=a(x+p)^2+q$ вершина имеет координаты $(-p;q)$, ось симметрии задаётся уравнением $x=-p$, направление ветвей определяется знаком $a$. После нахождения вершины выберите контрольную точку: например, при $x=-p+1$ значение отличается от $q$ на $a$." Учитель разбирает пример $y=2(x-1)^2-4$. | Называют вершину $(1;-4)$, ось $x=1$, направление ветвей вверх; находят контрольные точки $(0;-2)$ и $(2;-2)$, строят схему. |
Запись в тетрадях
- Для $y=ax^2+c$: вершина $(0;c)$, ось симметрии $x=0$, вертикальный сдвиг на $c$.
- Для $y=a(x+p)^2$: вершина $(-p;0)$, ось симметрии $x=-p$.
- Для $y=a(x+p)^2+q$: вершина $(-p;q)$, ось симметрии $x=-p$.
- Знак $a$ определяет направление ветвей: при $a>0$ вверх, при $a<0$ вниз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть общий алгоритм: сначала находим вершину, затем ось симметрии, направление ветвей, ширину и контрольные точки. Проверим его в парной работе на формулах, где особенно важно не перепутать знак."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм при взаимном объяснении и своевременно обнаружить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель организует парную работу: "В каждой паре один ученик получает роль построителя, второй — проверяющего. На карточке две функции: $y=3x^2+2$ и $y=-2(x-1)^2+3$. Для каждой укажите вершину, ось, направление ветвей и сделайте эскиз. Проверяющий сверяет каждый шаг с памяткой." | Распределяют роли, читают критерии карточки и готовят координатные оси. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки и консультирует: "Не начинайте с произвольных точек. Сначала подчеркните $a$, найдите $p$ и $q$, затем отметьте вершину. Если в скобках стоит $x-1$, сдвиг будет вправо на 1. Объясните партнёру, почему." | Решают в парах. Для первой функции называют вершину $(0;2)$, ось $x=0$, ветви вверх. Для второй — вершину $(1;3)$, ось $x=1$, ветви вниз. Проверяющие отмечают выполненные шаги. |
2 мин | Учитель предлагает двум парам представить решения: "Покажите, где на ваших рисунках вершина. Назовите ошибку, которую было легче всего допустить, и способ её избежать." Учитель корректирует изображения на доске. | Пары показывают эскизы, формулируют: "Самая частая ошибка — считать вершиной точку $(p;q)$ вместо $(-p;q)$". |
Эталон решения
Для $y=-2(x-1)^2+3$: $a=-2$, $p=-1$ в записи $x+p=x-1$, $q=3$. Вершина $V(1;3)$, ось симметрии $x=1$, ветви направлены вниз. При $x=0$ получаем $y=-2(0-1)^2+3=1$, поэтому точки $(0;1)$ и $(2;1)$ симметричны относительно оси $x=1$. По этим данным строится схематическая парабола.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили алгоритм не только на собственном рисунке, но и объяснили его партнёру. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно, чтобы понять, умеет ли он применять правило без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение строить график и выбирать правильный эскиз в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выполните обязательное задание, а затем выберите повышенный уровень. Работайте самостоятельно. Ваша задача — не просто нарисовать параболу, а письменно обосновать положение вершины и направление ветвей." | Выбирают карточку базового или повышенного уровня, записывают номер варианта. |
5 мин | Учитель предлагает базовое задание: "Постройте схематически график $y=(x+2)^2-1$. Укажите вершину, ось симметрии, направление ветвей и две симметричные точки. Затем определите, какой из двух предложенных эскизов соответствует функции $y=- (x-3)^2+2$." Учитель наблюдает и отмечает типичные затруднения. | Находят для первой функции вершину $(-2;-1)$ и ось $x=-2$, выбирают точки $(-1;0)$ и $(-3;0)$. Для второй функции называют вершину $(3;2)$ и ветви вниз, выбирают соответствующий эскиз. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте решение по четырём критериям: вершина, ось, направление ветвей, контрольные точки. Поставьте себе плюс за каждый верный пункт. Если есть ошибка, исправьте её другим цветом и подпишите причину." | Сверяют работу, считают баллы, исправляют ошибки; показывают зелёную, жёлтую или красную карточку понимания. |
Эталон решения
Для $y=(x+2)^2-1$: $a=1$, $p=2$, $q=-1$. Поэтому $V(-2;-1)$, ось симметрии $x=-2$, ветви направлены вверх. При $x=-1$ получаем $y=0$, при $x=-3$ также $y=0$. Для $y=-(x-3)^2+2$: $V(3;2)$, ось $x=3$, ветви направлены вниз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что график можно распознать по четырём признакам. Ошибка в одном признаке часто меняет весь ответ, поэтому на ОГЭ обязательно выполняйте короткую проверку по вершине и знаку коэффициента."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенный алгоритм, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "Закончите три предложения: «Чтобы построить график, сначала я…»; «Если в формуле стоит $x+p$, то абсцисса вершины…»; «Перед ответом на задание ОГЭ я проверю…»." | Письменно завершают предложения: "Сначала нахожу вершину", "равна $-p$", "знак $a$ и ось симметрии". |
1 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какова вершина графика $y=2(x-4)^2-5$? Куда направлены его ветви? Как изменится график $y=x^2$, если прибавить 4?" | Отвечают: "Вершина $(4;-5)$, ветви вверх; график поднимется на 4 единицы". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по своей карточке. Обязательно выполните базовый уровень, а повышенный или дополнительный — по готовности. Важно записывать не только рисунок, но и обоснование." | Записывают домашнее задание, отмечают личный уровень понимания стикером. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные пункты: найдены вершина и ось симметрии, определено направление ветвей, построены контрольные точки и выбран правильный эскиз; объяснение не содержит ошибок.
- «4» — верно выполнены не менее 4 из 5 пунктов, допущена одна неточность в контрольной точке или оформлении, но вершина и направление ветвей определены правильно.
- «3» — правильно определены хотя бы вершина или направление ветвей, однако допущена ошибка в знаке сдвига, оси симметрии либо построении; решение требует коррекции.
- «2» — отсутствует связный алгоритм, неверно определены основные характеристики графика, работа не доведена до результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о координатах вершины параболы? | Проверка осознания формул $V(0;c)$, $V(-p;0)$ и $V(-p;q)$. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения: знак сдвига, ось симметрии или направление ветвей. |
Как вы проверите себя перед выбором графика в задании ОГЭ? | Формирование навыка самоконтроля по ключевым признакам. |
Насколько уверенно вы сейчас сможете построить график без таблицы значений? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть график квадратичной функции прямо в её формуле. Главное — не перепутать знак: в выражении $x+p$ вершина имеет абсциссу $-p$, а знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей. Если вы выполняете эти проверки последовательно, задания ОГЭ становятся понятным алгоритмом, а не неожиданностью. На следующем уроке мы продолжим читать свойства квадратичной функции по её графику и формуле."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить схематически 4 графика: два вида $y=ax^2+c$, один вид $y=a(x+p)^2$ и один вид $y=a(x+p)^2+q$. Для каждого указать вершину, ось симметрии и направление ветвей. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки $p$ и $q$, координаты вершины и соответствие эскиза формуле. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания формата ОГЭ на выбор графика по формуле или формулы по графику; для каждого ответа письменно указать минимум два признака, на которые выполнен выбор. | Развивает графическое чтение и аргументацию; проверять умение использовать вершину, ось симметрии и знак коэффициента. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить формулы трёх парабол: с вершиной в заданной точке, заданным направлением ветвей и различной шириной; построить их эскизы и объяснить роль каждого параметра. | Формирует умение создавать математическую модель и переходить от графических свойств к формуле. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти вершину графика $y=a(x+p)^2+q$?», «Как определить направление ветвей?», «Почему для выражения $x+2$ абсцисса вершины равна $-2$?», «Какие четыре признака нужно проверить перед выбором графика?»
