Линейные неравенства с одной переменной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать линейные неравенства с одной переменной, записывать ответ в виде промежутка и отмечать множество решений на координатной прямой, выполнив не менее 4 заданий с результатом не ниже 75%.
- Образовательная задача: вывести и применить правило равносильных преобразований линейного неравенства, включая случай умножения или деления на отрицательное число.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие, выбирать последовательность действий, проверять решение и аргументировать изменение знака неравенства.
- Метапредметная задача: формировать навыки самоконтроля, работы по алгоритму и чтения математической записи в формате заданий ОГЭ.
- Воспитательная задача: поддерживать уверенность в собственных силах и ответственное отношение к подготовке к государственной аттестации.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность умения оценивать допустимые значения величин в учебных и жизненных ситуациях.
- Понимают, что ошибка при умножении неравенства на отрицательное число исправляется осознанной проверкой, а не угадыванием.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ через освоение понятного пошагового алгоритма.
- Проявляют готовность к самооценке и корректировке собственной работы.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют действия для её достижения.
- Извлекают информацию из математической записи, таблицы знаков и координатной прямой.
- Сравнивают способы решения, находят и объясняют ошибку в готовом решении.
- Выполняют взаимопроверку по критериям и используют результат для коррекции.
Предметные
- Знать свойства неравенств при сложении, вычитании, умножении и делении обеих частей на положительное или отрицательное число.
- Уметь решать линейные неравенства вида $ax+b>c$, $ax+b\geq c$, $ax+b<c$, $ax+b\leq c$ при $a\ne0$.
- Уметь записывать решение неравенства в виде числового промежутка и изображать его на координатной прямой.
- Уметь проверять принадлежность числа множеству решений и распознавать типичные ошибки в преобразованиях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения темы через связь с заданиями ОГЭ и практическими ограничениями.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднений при решении неравенств.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм самостоятельно.
- Проявляют ответственность за точность записи ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют последовательность решения линейного неравенства.
- Контролируют знак неравенства после деления или умножения на отрицательное число.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных шагов и заданий.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициент при переменной и свободный член в записи неравенства.
- Устанавливают аналогию между решением линейного уравнения и линейного неравенства.
- Объясняют, почему при умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
- Моделируют множество решений на координатной прямой.
- Анализируют ошибочное решение и формулируют правило его исправления.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Обсуждают решение в парах и задают уточняющие вопросы.
- Аргументируют необходимость смены знака неравенства.
- Соблюдают правила взаимопроверки и корректно сообщают об ошибках.
- Согласуют общий алгоритм решения в малой группе.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным примером $-3x+6>12$, алгоритмом решения и координатными прямыми.
- Распечатать диагностические карточки с двумя короткими заданиями — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару каждого уровня.
- Подготовить листы с заданиями самостоятельной работы: базовый, повышающий и дополнительный варианты — по одному на каждого ученика.
- Подготовить эталон решения для вывода на экран после самостоятельной работы.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на ученика.
- Подготовить стикеры для рефлексии и билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Освободить участок доски для координатной прямой; заранее обозначить точку $0$ и положительное направление.
- Подготовить маркеры, таймер, проектор или интерактивную доску и тетради учеников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы для подготовки к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам потребуется внимательность к знакам и готовность объяснять каждый шаг, потому что именно такая работа помогает уверенно выполнять задания ОГЭ." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Для участия в соревновании результат спортсмена должен быть не меньше 12 баллов. После первого этапа у него 6 баллов, а за каждый следующий этап он получает $x$ баллов в течение трёх этапов. Как записать условие, если нужно определить допустимые значения $x$? Сегодня мы научимся решать такие задачи." | Фиксируют условие $6+3x\geq12$, предполагают: "Нужно найти все подходящие значения $x$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неравенство описывает не одно число, а множество допустимых значений. Сейчас проверим, какие свойства преобразований нам уже известны и где может возникнуть затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства равносильных преобразований и понятие решения неравенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт диагностические карточки: "Выполните два коротких задания. Первое: решите уравнение $2x+5=11$. Второе: сравните числа $3$ и $7$, а затем умножьте обе части сравнения на $-2$. Что произошло со знаком? Работайте самостоятельно две минуты." | Решают уравнение, получают $x=3$; преобразуют $3<7$ в $-6>-14$ и замечают изменение знака. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала сформулируйте правило каждый самостоятельно, затем обсудите его с соседом. Почему при прибавлении одного и того же числа знак сохраняется, а при умножении на отрицательное меняется?" | Формулируют правило, обсуждают его в парах, сообщают классу: "При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства сравнений мы вспомнили. Теперь применим их к буквенной записи и выясним, какой шаг требует особого контроля."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении линейного неравенства и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $-3x+6>12$ и предлагает: "Решите неравенство по аналогии с уравнением. Сначала вычтем 6, затем разделим на $-3$. Остановитесь перед последним ответом и объясните, какой знак должен получиться." | Преобразуют: $-3x>6$, называют возможные ответы $x<-2$ и $x>-2$, фиксируют сомнение. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему нельзя автоматически оставить знак? Как проверить два разных ответа? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Отвечают: "При делении на отрицательное число знак меняется"; формулируют цель: "Научиться решать линейные неравенства и изображать их решения". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с переносом числа, а с делением на отрицательный коэффициент. Составим алгоритм и проверим его на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения линейного неравенства и связать алгебраическую запись с изображением на координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует эвристическую беседу: "Решим неравенство $4x-7\leq9$. Как избавиться от $-7$? Что получим после прибавления 7? На какое число разделим обе части? Положительно оно или отрицательно?" Учитель записывает цепочку преобразований на доске. | Отвечают: "Прибавим 7; получим $4x\leq16$; разделим на 4, знак сохранится; $x\leq4$". Записывают все преобразования. |
3 мин | Учитель разбирает случай с отрицательным коэффициентом: "Рассмотрим $-2x+5>13$. Вычтем 5: $-2x>8$. Теперь делим на $-2$. Вспомните правило и объясните, почему ответ $x<-4$." | Получают $-2x>8$, меняют знак при делении на $-2$, записывают $x<-4$, объясняют правило. |
2 мин | Учитель формулирует и выводит алгоритм: "Первый шаг — привести неравенство к виду $ax>b$. Второй — разделить на $a$. Если $a>0$, знак сохраняется; если $a<0$, знак меняется. Затем запишите ответ в виде промежутка и отметьте его на прямой." | Записывают алгоритм, изображают $x\leq4$ закрашенной точкой в $4$ и лучом влево; $x<-4$ — выколотой точкой в $-4$ и лучом влево. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) раскрыть скобки и привести подобные слагаемые; 2) перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую; 3) разделить обе части на коэффициент при переменной; 4) при делении на отрицательное число изменить знак неравенства; 5) записать ответ промежутком и изобразить его на координатной прямой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм готов: главное — определить знак коэффициента перед делением. Теперь проговорим каждый шаг вслух и убедимся, что правило работает в разных видах записи."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки: "Решите неравенство $5x-10>15$. Один ученик объясняет действия, второй записывает; затем поменяйтесь ролями. Не называйте только ответ — проговаривайте причину сохранения или изменения знака." | Решают: $5x>25$, $x>5$; один ученик объясняет, второй записывает, затем сверяют роли. |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Решите $7-3x\geq16$ и изобразите ответ на прямой. Обратите внимание: коэффициент при $x$ отрицательный. После решения обменяйтесь тетрадями." | Получают $-3x\geq9$, затем $x\leq-3$; строят луч с закрашенной точкой $-3$; проверяют работу соседа. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по критериям: "Поставьте плюс за правильные преобразования, плюс за верный знак, плюс за промежуток и рисунок. Если обнаружили ошибку, напишите короткое пояснение, а не исправляйте молча." | Проверяют три критерия, записывают пояснение к найденной ошибке, исправляют решение. |
Эталон решения
Для $7-3x\geq16$: $-3x
greater than or equal to9$; при делении на $-3$ знак меняется: $x\leq-3$; множество решений: $(-\infty;-3]$. На координатной прямой ставится закрашенная точка в $-3$ и выделяется луч влево.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете решать неравенства с положительным и отрицательным коэффициентом. Сейчас каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно применяет алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выполните обязательные задания 1 и 2. Если справились раньше, переходите к заданию 3. Записывайте промежуточные действия: по ним мы увидим, на каком шаге возникло затруднение." | Выбирают ручку, готовят лист самостоятельной работы, читают критерии. |
6 мин | Учитель предлагает задания: 1) $2x+3<11$; 2) $-4x+8\geq20$; 3) задача повышенного уровня: $3(2x-1)-4\leq2x+9$. Напоминает: "Проверяйте знак коэффициента перед делением и оформляйте промежуток." | Решают индивидуально: $x<4$; $x\leq-3$; для третьего задания получают $6x-7\leq2x+9$, $4x\leq16$, $x\leq4$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только конечный ответ, но и каждый переход. Если ответ отличается, найдите первую строку расхождения и обозначьте причину: перенос, приведение подобных или деление на отрицательное число." | Сверяют решения, отмечают ошибки цветной ручкой, исправляют их и показывают сигнальную карточку: зелёная — всё понятно, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь. |
Эталон решения
1) $2x+3<11$; $2x<8$; $x<4$; ответ $(-\infty;4)$. 2) $-4x+8\geq20$; $-4x\geq12$; при делении на $-4$ знак меняется: $x\leq-3$; ответ $(-\infty;-3]$. 3) $3(2x-1)-4\leq2x+9$; $6x-3-4\leq2x+9$; $6x-7\leq2x+9$; $4x\leq16$; $x\leq4$; ответ $(-\infty;4]$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять без подсказки. Ошибки, которые вы нашли сейчас, полезнее случайно потерянного балла на экзамене: мы успеваем исправить их и понять причину."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое знание, оценить степень самостоятельности и определить дальнейшую тренировку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутка": "За одну минуту закончите три фразы: Я научился…; Самый важный шаг…; Мне нужно потренировать…" | Записывают три продолжения, называют по одному ответу добровольно. |
2 мин | Учитель проводит устную проверку: "Как меняется знак при делении на отрицательное число? Какая точка ставится для строгого неравенства? Что означает запись $x\leq a$?" | Отвечают: "Знак меняется"; "Выколотая точка для строгого неравенства"; "$x$ меньше или равен $a$, поэтому точка закрашенная, луч идёт влево". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Решите $-5x+10<0$ и запишите один вопрос, который остался. Сдайте листок при выходе. Домашнее задание выберите по уровню, ориентируясь на результат самостоятельной работы." | Решают: $-5x<-10$, $x>2$; записывают оставшийся вопрос и сдают билет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились решать линейные неравенства, записывать ответы промежутками и изображать их на прямой. Главное правило вы уже знаете: при делении на отрицательное число знак меняется. Дома закрепите алгоритм и обязательно проговаривайте причину каждого преобразования."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены обязательные задания и задание повышенного уровня, правильно изменён знак при делении на отрицательное число, ответы записаны промежутками и корректно изображены на координатной прямой.
- "4" — верно выполнены два обязательных задания, допущена одна неточность в записи промежутка или изображении, но алгоритм и знак неравенства применены правильно.
- "3" — верно выполнено хотя бы одно обязательное задание, в остальных есть отдельные ошибки, однако ученик правильно начинает преобразования и понимает необходимость контроля знака.
- Ниже базового уровня — требуется повторить алгоритм по записи в тетради и выполнить аналогичные задания с пошаговой проверкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма решения линейного неравенства вы считаете самым важным? | Выявление осознанности ключевого правила и понимания последовательности действий. |
В каком месте решения $-4x+8\geq20$ нужно быть особенно внимательным? | Выявление понимания причины изменения знака при делении на отрицательное число. |
Как вы проверяли, что ответ записан верно? | Диагностика навыков самоконтроля, проверки подстановкой и чтения промежутков. |
Какой тип задания ОГЭ по этой теме вы готовы решать самостоятельно? | Субъективная оценка освоения темы и определение потребности в дальнейшей поддержке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили основу для решения линейных неравенств: научились выполнять равносильные преобразования, менять знак при делении на отрицательное число и изображать множество решений на координатной прямой. Типичная ошибка — получить правильное промежуточное выражение, но забыть изменить знак в последней строке. Перед сдачей работы всегда проверяйте коэффициент при переменной и вид крайней точки на рисунке. На следующем уроке мы продолжим решать более сложные неравенства и задачи, в которых условие нужно сначала перевести на математический язык."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 линейных неравенства вида $ax+b>c$ или $ax+b\leq c$, включая два случая с положительным и два случая с отрицательным коэффициентом; каждый ответ записать промежутком. | Закрепляет алгоритм и контроль изменения знака; при проверке смотреть на промежуточные преобразования и границы промежутков. |
Средний (повышающий) | Решить 4 неравенства со скобками и приведением подобных слагаемых, одно из них оформить с изображением на координатной прямой. | Формирует применение алгоритма в усложнённой записи; при проверке обращать внимание на раскрытие скобок и перенос слагаемых. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи, приводящие к линейным неравенствам: одну с ограничением "не меньше", другую с ограничением "меньше"; объяснить смысл полученного промежутка. | Развивает создание математической модели и функциональную грамотность; при проверке оценивать корректность условия, неравенства и интерпретации ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что происходит со знаком неравенства при делении на отрицательное число? Чем отличается закрашенная точка от выколотой? Как записать решение неравенства $x\leq3$ в виде промежутка? Как можно проверить выбранное число на принадлежность множеству решений?»
