Графики основных функций: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³, y = √x
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать графики функций y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³ и y = √x по их внешнему виду и ключевым свойствам, а также строить эскизы графиков по заданной формуле.
- Закрепить представления о влиянии коэффициентов k и b на положение и вид графика линейной функции.
- Научиться определять область определения, область значений, нули функции и характерные точки графиков y = k/x, y = x³ и y = √x.
- Развивать умение сравнивать математические модели с графиками физических и экономических зависимостей и аргументировать выбранный ответ.
- Снизить тревожность перед заданиями ОГЭ за счёт освоения алгоритма распознавания графиков и самопроверки по критериям.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графиков функций для описания процессов в физике, экономике и информатике.
- Проявляют уверенность при выполнении заданий формата ОГЭ и воспринимают ошибку как источник коррекции способа действия.
- Развивают ответственное отношение к индивидуальному результату и взаимопомощи при парной работе.
- Формируют готовность к осознанному выбору дальнейшего образовательного маршрута, связанного с математикой и технологиями.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки графиков и классифицируют их по форме, симметрии и расположению относительно осей.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы значений и графического изображения.
- Планируют последовательность построения графика, проверяют результат по контрольным точкам и исправляют ошибки.
- Формулируют выводы в паре и представляют их классу, используя математические термины и аргументы.
Предметные
- Знать основные свойства функций y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³ и y = √x.
- Уметь по формуле определять вид графика, его симметрию, расположение и ключевые точки.
- Уметь строить эскиз графика линейной функции, гиперболы, кубической и корневой функций.
- Уметь сопоставлять формулу с графиком в заданиях, близких к заданиям ОГЭ, и обосновывать выбор.
- Владеть алгоритмом проверки графика по области определения, нулям, знакам функции и характерным точкам.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личный прогресс в распознавании графиков и ставят цель устранить конкретное затруднение.
- Проявляют познавательный интерес к использованию функций для описания реальных зависимостей.
- Соблюдают доброжелательные правила взаимодействия при проверке решения партнёра.
- Сопоставляют учебную задачу с требованиями экзамена и выбирают рациональный способ работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют построение графика через выбор таблицы значений и контрольных точек.
- Осуществляют пошаговую самопроверку по заданному алгоритму.
- Оценивают результат по критериям и корректируют неверный вывод.
Познавательные УУД
- Сравнивают графики по форме, симметрии, области определения и расположению относительно координатных осей.
- Устанавливают соответствие между формулой, таблицей и графиком.
- Моделируют зависимость величин с помощью графика функции.
- Выявляют ошибку в построении по контрольным точкам и свойствам функции.
Коммуникативные УУД
- Формулируют математический вопрос и дают на него аргументированный ответ.
- Распределяют роли в паре: аналитик формулы и проверяющий график.
- Слушают объяснение партнёра и уточняют непонятные шаги.
- Представляют классу общий вывод, согласованный в паре.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или экран с пятью формулами, пятью немаркированными графиками и итоговой таблицей свойств функций.
- Распечатать карточки для пар: 10 комплектов с формулами, таблицами значений и графиками; предусмотреть два уровня сложности.
- Подготовить индивидуальные листы с тремя заданиями формата ОГЭ на сопоставление формулы и графика — по одному на каждого ученика.
- Вывесить на доску алгоритм: определить область определения → найти нули и знак → проверить симметрию → отметить характерные точки → выбрать график.
- Подготовить координатную сетку на доске и набор магнитных карточек с названиями функций.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и билета на выход.
- Подготовить калькулятор или динамическую математическую модель на компьютере для демонстрации графиков без привязки к конкретному программному обеспечению.
- Подготовить примеры межпредметных связей: равномерное движение для y = kx, зависимость силы тока от сопротивления для обратной пропорциональности, рост объёма куба для y = x³.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность распознавания графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто строить линии, а учиться быстро узнавать графики по нескольким признакам — это умение регулярно встречается в заданиях ОГЭ." | Готовят принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране пять графиков без подписей и говорит: "Представьте, что перед вами данные о движении автомобиля, изменении силы тока, объёме куба и стоимости услуги. Как по одному рисунку понять, какая формула описывает зависимость? Приём «Проблемный вопрос»: назовите признаки, которые можно использовать, даже если формулу пока не знаете." | Фронтально называют признаки: "форма графика", "пересечение с осями", "симметрия", "точки, через которые проходит график". Формулируют предположение: "По внешнему виду можно определить вид функции". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного взгляда иногда недостаточно, поэтому сегодня создадим надёжный алгоритм распознавания. Сначала вспомним свойства знакомых функций, затем проверим алгоритм на задачах, похожих на задания ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства функций и выявить затруднение при сопоставлении формулы с графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Как выглядит график функции y = kx? Что происходит с прямой при k > 0 и k < 0? Через какую точку проходит график? Теперь сравним y = kx и y = kx + b: что изменяет коэффициент b?" На доске фиксирует краткие ответы в таблице. | Отвечают: "y = kx — прямая через начало координат"; "при k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает"; "b задаёт пересечение с осью y". Заполняют пропуски в таблице свойств. |
3 мин | Учитель продолжает: "Назовите особенности графиков y = k/x, y = x³ и y = √x. Где определена функция y = √x? Какую симметрию имеет y = k/x? Какие точки удобно брать для построения?" Учитель принимает ответы и уточняет неточности. | Отвечают: "y = k/x — гипербола, x не равен нулю"; "y = x³ проходит через начало координат и симметрична относительно начала координат"; "y = √x определена при x ≥ 0 и проходит через точки (0; 0) и (1; 1)". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Основные признаки мы вспомнили, но пока не объединили их в один порядок действий. Сейчас проверим, какое именно затруднение возникает при быстром выборе графика."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм распознавания графиков на основе учебной проблемы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с формулой y = -2x + 3 и двумя изображениями прямых. "Подумайте 30 секунд, затем обсудите в паре одну минуту: какой график соответствует формуле и какие два признака доказывают ваш выбор? Не ограничивайтесь фразой «похож»." | Индивидуально рассматривают карточку, затем в парах сравнивают пересечение с осью y и направление наклона. Формулируют: "Нужная прямая пересекает ось y в точке 3 и убывает, потому что k = -2". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос классу: "Какие шаги помогли вам принять решение? Запишем их в виде алгоритма. Какую цель поставим на урок?" Учитель фиксирует на доске предложения учащихся и уточняет формулировку цели. | Предлагают шаги алгоритма и формулируют цель: "Научиться по формуле и свойствам распознавать и строить графики пяти основных функций". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы будем действовать не наугад, а проверять формулу по признакам. Перейдём к систематизации свойств и увидим, какие графики можно связать с явлениями других предметов."
Этап 4. Открытие нового знания. Систематизация графиков (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать различительные признаки пяти графиков через фронтальную и парную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу и говорит: "Рассмотрим функции по очереди. Для y = kx отметим начало координат и знак k. Для y = kx + b посмотрим на b и направление наклона. Для y = k/x найдём область определения и асимптоты. Для y = x³ используем симметрию относительно начала координат. Для y = √x проверим условие x ≥ 0. Я записываю признаки на доске, а вы дополняете их в тетради." | Заполняют таблицу: вид функции, форма графика, область определения, характерные точки и симметрия. Отвечают по цепочке: "прямая", "гипербола", "кубическая парабола", "ветвь, начинающаяся в начале координат". |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните пары y = 2x и y = 2x + 3. Что изменилось? Теперь сравните y = 2x и y = -2x. Обсудите, как коэффициенты влияют на график." Учитель просит две пары озвучить выводы. | Сначала индивидуально формулируют вывод, затем обсуждают его в паре. Отвечают: "b = 3 поднимает прямую вверх на 3 единицы"; "смена знака k меняет направление наклона относительно оси y". |
3 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь: "В физике путь при равномерном движении можно представить формулой s = vt, то есть зависимостью вида y = kx. В электротехнике при постоянном напряжении сила тока связана с сопротивлением обратно пропорционально: I = U/R. В геометрии объём куба со стороной x равен V = x³. Какие графики соответствуют этим моделям?" | Фронтально сопоставляют модели и функции: "путь — y = kx", "сила тока от сопротивления — y = k/x", "объём куба — y = x³". Объясняют выбор через формулу и область допустимых значений. |
Запись в тетрадях
- $y = kx$ — прямая, проходящая через начало координат; при $k > 0$ возрастает, при $k < 0$ убывает.
- $y = kx + b$ — прямая; $b$ определяет пересечение с осью $Oy$, $k$ — направление и крутизну наклона.
- $y = k/x$ — гипербола, $x \ne 0$; оси координат являются асимптотами.
- $y = x^3$ — нечётная функция, график симметричен относительно начала координат.
- $y = \sqrt{x}$ — определена при $x \ge 0$, проходит через точки $(0;0)$ и $(1;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у каждой формулы есть набор опорных признаков. Следующий шаг — применить их к конкретным графикам и проговорить рассуждение так, чтобы его можно было проверить."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм сопоставления формулы и графика с проговариванием основания выбора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам набор карточек: формулы $y = 3x$, $y = -x + 2$, $y = 4/x$, $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$ и пять графиков. "Распределите роли: первый ученик анализирует формулу, второй проверяет график. Через минуту поменяйтесь ролями. К каждой паре прикрепите короткое доказательство выбора." | В парах распределяют роли, сопоставляют формулы и графики, записывают доказательства: "гипербола имеет две ветви и не пересекает оси"; "график корня расположен только при x ≥ 0". |
3 мин | Учитель предлагает два задания повышенного внимания: "На карточке есть график прямой, пересекающей ось y в точке -2 и убывающей. Выберите из формул $y = 2x - 2$, $y = -2x - 2$, $y = -2x + 2$. Объясните исключение двух лишних вариантов." Учитель слушает пары и задаёт уточняющие вопросы. | Выбирают $y = -2x - 2$. Объясняют: "Прямая убывает, значит k < 0; пересечение с осью y равно -2, значит b = -2". |
2 мин | Учитель организует фронтальную проверку: "Пара, которая готова, поднимает карточку с номером графика и формулирует доказательство. Остальные показывают зелёную карточку, если согласны, и жёлтую, если нашли неточность." | Представляют решения, сравнивают ответы, используют «Светофор», задают уточняющие вопросы и исправляют несовпадения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились доказывать соответствие не по внешнему сходству, а по признакам. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно применить алгоритм в формате экзаменационного задания."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и выполнить задания, близкие к формату ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выполните три задания. 1) Установите соответствие между формулой и графиком. 2) По графику определите знак k и значение b для прямой. 3) Укажите область определения функции $y = \sqrt{x - 2}$. Работайте самостоятельно, сначала выпишите признак, затем ответ." | Решают индивидуально. В задании 1 используют форму и симметрию графика; в задании 2 определяют направление наклона и пересечение с осью y; в задании 3 записывают $x - 2 \ge 0$, поэтому $x \ge 2$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только итоговый ответ, но и ход рассуждения. За каждое задание поставьте себе один балл. Если ответ неверен, рядом запишите, на каком шаге алгоритма возникла ошибка." | Проверяют решения по эталону, отмечают баллы и место ошибки. Выполняют коррекцию, подчёркивают верный признак. |
2 мин | Учитель проводит краткую фронтальную коррекцию: "Назовите типичную ошибку в каждом задании. Почему нельзя определить график только по одному признаку?" | Формулируют: "Нельзя смотреть только на наклон, потому что разные прямые могут иметь один знак k"; "для корневой функции нужно учитывать область определения"; "гиперболу проверяют по асимптотам и знаку k". |
Эталон решения
Для функции $y = \sqrt{x - 2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$. Следовательно, $x \ge 2$, поэтому область определения — $[2; +\infty)$. Для прямой с отрицательным наклоном коэффициент $k < 0$; если она пересекает ось $Oy$ в точке $-2$, то $b = -2$, и её формула имеет вид $y = kx - 2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм помогает быстро находить ответ и объяснять его. Осталось оценить собственный результат и сформулировать, какой признак станет вашей опорой в следующем задании."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы действия, зафиксировать затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На отдельной полоске ответьте на два вопроса: какой признак помогает отличить $y = k/x$ от остальных графиков; какой шаг алгоритма пока требует тренировки?" | Письменно отвечают: "Гипербола имеет две ветви и асимптоты"; указывают личное затруднение, например "быстро определять b по графику". |
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёная карточка — могу сам сопоставить формулу и график; жёлтая — иногда путаю признаки; красная — нужна помощь с алгоритмом. Поднимите карточку честно, это не оценка, а ориентир для следующего урока." | Поднимают карточку выбранного цвета и фиксируют в листе самооценки один следующий шаг. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своей самооценке. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный можно выбрать для тренировки. В каждой задаче обязательно записывайте признак, по которому принимаете решение." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, формулируют итог: "По формуле можно определить график через область определения, форму, симметрию и характерные точки". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы построили универсальный алгоритм распознавания пяти графиков и проверили его на заданиях, близких к ОГЭ. Ошибка в одном признаке не означает, что вы не умеете решать: важно найти шаг, который нужно повторить. На следующем уроке продолжим строить графики и исследовать влияние параметров."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, для каждого ответа приведён подходящий признак, область определения записана корректно.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, рассуждения в основном обоснованы, допущена одна неточность в записи или определении свойства.
- «3» — верно выполнено одно-два задания при наличии существенных затруднений, но ученик использует хотя бы два шага алгоритма и исправляет ошибку по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак помогает отличить график y = k/x от графиков остальных функций? | Проверка понимания формы гиперболы, области определения и асимптот. |
Как по графику y = kx + b определить знаки и значения k и b? | Выявление освоения связи коэффициентов с наклоном и пересечением оси Oy. |
Какой этап алгоритма оказался самым сложным? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекционной работы. |
Какой тип задания из сегодняшней работы вы теперь сможете решить на ОГЭ самостоятельно? | Субъективная оценка готовности и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что график можно распознать не по догадке, а по системе признаков: форме, области определения, симметрии, нулям и характерным точкам. Особенно внимательно проверяйте функцию под корнем и не забывайте, что коэффициент b задаёт пересечение прямой с осью Oy. Если сейчас вы ошиблись, используйте ошибку как подсказку, какой шаг алгоритма нужно повторить. На следующем уроке мы продолжим строить и исследовать графики, постепенно повышая сложность заданий формата ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на сопоставление формул y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³ и y = √x с графиками; к каждому ответу записать один признак. | Закрепляет распознавание основных видов графиков; при проверке смотреть на обоснование, а не только на выбранный вариант. |
Средний (повышающий) | Построить в одной координатной системе эскизы графиков y = 2x - 1, y = -x + 2 и y = √x, отметив не менее трёх контрольных точек для каждого графика. | Закрепляет построение по формуле и влияние коэффициентов; при проверке смотреть на точки пересечения и направление изменения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-задачу из реального контекста, которая описывается одной из функций y = kx, y = k/x или y = x³, записать формулу, указать область допустимых значений и объяснить форму графика. | Развивает функциональную грамотность и умение моделировать ситуацию; при проверке смотреть на соответствие модели условию и корректность ограничений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой график проходит через начало координат при любом ненулевом k?», «Как определить b у функции y = kx + b?», «При каком условии существует функция y = √x?», «Какие признаки позволяют узнать гиперболу y = k/x?»
