Степень с целым показателем: определение и свойства
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут объяснить определение степени с целым показателем, применять свойства степеней для упрощения выражений и вычисления значений, а также проверять допустимость преобразований с учётом ненулевого основания.
- Образовательная задача: повторить определение степени с натуральным показателем и свойства умножения, деления степеней с одинаковым основанием и возведения степени в степень.
- Образовательная задача: вывести определение отрицательной степени и нулевой степени через уже известные свойства степени с натуральным показателем.
- Развивающая задача: развивать умение выбирать рациональную последовательность преобразований и находить ошибки в рассуждениях о степенях.
- Воспитательная задача: формировать уверенность при решении заданий алгебраического содержания и готовность проверять результат, не опасаясь пробовать разные способы.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют готовность включаться в работу со степенями и воспринимают затруднение как повод уточнить правило, а не как признак неуспеха.
- Осознают связь аккуратного выполнения преобразований с надёжностью результата в математических и практических задачах.
- Снижают тревожность перед заданиями экзаменационного формата благодаря пошаговой проверке решения.
- Оценивают собственный прогресс по конкретным умениям: применять свойства степеней, учитывать ограничения и проверять вычисления.
Метапредметные
- Формулируют вывод по наблюдаемым преобразованиям степеней и записывают правило в символической форме.
- Сравнивают несколько способов упрощения выражения и выбирают способ, уменьшающий число действий.
- Планируют решение: определяют основание, показатели и допустимость основания до применения свойства.
- Аргументируют ответ партнёру, используя математические обозначения и пояснение ограничения основания.
- Проверяют вычисления обратным преобразованием или подстановкой числовых значений в доступных случаях.
Предметные
- Воспроизводят определение степени с натуральным показателем и свойства степеней с одинаковым основанием.
- Знают, что при a ≠ 0 и натуральном n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, а⁰ = 1.
- Применяют свойства aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
- Используют свойства (ab)ⁿ = aⁿbⁿ и (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ при b ≠ 0.
- Упрощают выражения с целыми показателями и объясняют, почему основание не должно быть нулём при отрицательном показателе.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят личную цель на урок с умением упрощать выражения со степенями.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в преобразовании выражения.
- Оценивают, какие правила уже освоены, а какие требуют дополнительной тренировки.
- Понимают практическую ценность точной записи условий применимости математических правил.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель после выявления затруднения в работе с нулевым и отрицательным показателями.
- Составляют последовательность преобразований: определить основание, применить свойство, проверить ограничения.
- Сверяют решение с эталоном и отмечают место расхождения, если ответ не совпал.
- Корректируют решение, исправляя знак показателя или пропущенное условие ненулевого основания.
Познавательные УУД
- Актуализируют модель натуральной степени как произведения одинаковых множителей.
- Устанавливают связь между делением степеней и появлением нулевого или отрицательного показателя.
- Преобразуют символическую запись степени в дробь и обратно.
- Классифицируют задания по требуемому свойству и анализируют допустимость основания.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход преобразования, называя использованное свойство.
- Задают уточняющие вопросы о допустимости основания и значении показателя.
- Согласуют в паре общий ответ, сопоставляя вычисления и аргументы.
- Корректно формулируют замечание к ошибочному решению и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде краткую памятку по степени с натуральным показателем: aⁿ — произведение n множителей a; aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
- Распечатать карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика; в классе из 30 человек подготовить 30 комплектов с заданиями на вычисление и упрощение.
- Подготовить карточки для парной проверки с двумя преобразованиями: верным и содержащим ошибку в условии или показателе.
- Подготовить небольшие листы самооценки «могу применить / нужна тренировка» — по одному на каждого ученика.
- На доске оставить место для вывода определения a⁻ⁿ = 1/aⁿ и свойства a⁰ = 1 при a ≠ 0.
- Подготовить слайд или плакат с заданиями на актуализацию: 2³, 5² · 5³, 7⁵ : 7², (3²)³ и вопросом о том, как представить a⁻² через дробь.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения: ответы к выражениям 2⁻³, 4⁰, 3² · 3⁻⁵ и (2⁻²)³.
- Оборудование: доска и маркеры или мел; проектор и компьютер при использовании слайда; таймер для парной и индивидуальной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и показать, что новые правила будут выведены из уже знакомых свойств степеней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для работы. Сегодня мы будем опираться на то, что уже умеем, поэтому важно записывать не только ответ, но и правило, которым вы воспользовались. Ошибку можно будет исправить по ходу урока». | Готовят тетради и ручки, кладут карточки на край парты; настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения 5² · 5³ и 5² : 5³: «Посмотрите на пару выражений. Первое можно представить как произведение одинаковых множителей. А что делать со вторым, если делитель содержит больше множителей, чем делимое? Запишите своё предположение одним выражением. Сегодня мы выясним, как записывать такой результат с помощью целого показателя и почему это удобно». | Записывают оба выражения, устно предполагают: «При делении показатели вычитаются»; замечают, что во втором случае показатель результата будет отрицательным. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели вопрос, на который поможет ответить уже знакомое правило деления степеней. Сначала восстановим свойства степени с натуральным показателем и проверим, на что можно опереться».
Этап 2. Актуализация знаний о степени с натуральным показателем (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определение натуральной степени и свойства, необходимые для вывода новых правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску задания 2³, 5² · 5³, 7⁵ : 7² и (3²)³: «Работаем сначала самостоятельно, затем сравним ответы с соседом. Вспомните, что означает степень с натуральным показателем. Для произведения и частного одинаковых оснований назовите правило словами и примените его к этим примерам. У вас две минуты; особенно внимательно проверьте последний пример». | Самостоятельно вычисляют 2³ = 8, преобразуют 5² · 5³ = 5⁵, 7⁵ : 7² = 7³, (3²)³ = 3⁶; записывают использованные свойства. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала каждый проверьте свой ответ, затем одну минуту обсудите с соседом, почему при умножении показатели складываются, а при возведении степени в степень перемножаются. Я попрошу одну пару объяснить это через запись произведения, а другую — назвать свойство». | Сверяют решения в паре; объясняют: «5² · 5³ — это пять одинаковых множителей два раза и ещё три раза, всего пять раз»; «(3²)³ — три множителя 3², всего шесть множителей 3». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске правила и задаёт вопрос: «Когда мы делим степени с одинаковым ненулевым основанием, показатели вычитаются. Если показатели равны, что получится? Запишите пример 4³ : 4³ и объясните ответ одновременно двумя способами». | Отвечают: «4³ : 4³ = 1, потому что ненулевое число, делённое на себя, равно единице»; по правилу степеней получают 4⁰ = 1 и замечают необходимость ненулевого основания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили правила натуральных степеней и увидели, что нулевой показатель естественно возникает при делении одинаковых степеней. Теперь проверим, что происходит, если показатель после вычитания получается отрицательным».
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость нового определения и сформулировать цель работы через противоречие в известном правиле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает 3² : 3⁵ и спрашивает: «Примените знакомое правило деления степеней с одинаковым основанием. Какой показатель получается? Можно ли считать, что запись 3⁻³ означает невозможное действие, или её можно связать с дробью? Вспомните, что при делении 3² на 3⁵ можно сократить одинаковые множители». | Записывают 3² : 3⁵ = 3⁻³; пробуют представить степени произведением и получают 1/3³; формулируют затруднение: «Мы получили отрицательный показатель, но ещё не определили, что он означает». |
2 мин | Учитель применяет короткую эвристическую беседу: «Если правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ должно оставаться верным, чему должна равняться a⁻³? Какое условие нужно поставить на a, чтобы деление было допустимо? Сформулируйте, что сегодня нужно выяснить и чему научиться». | Предлагают: «a⁻³ должно быть равно 1/a³»; указывают условие a ≠ 0; формулируют цель: «Определить степень с отрицательным и нулевым показателем и научиться применять её свойства». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель сформулирована: расширить понятие степени так, чтобы знакомые свойства сохранялись. Выведем определение на простом примере, а затем запишем его в общем виде».
Этап 4. Открытие нового знания: определение и свойства (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить определение степени с целым показателем и закрепить условия применения свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает цепочку 3⁵ : 3⁵ = 3⁰ и 3⁵ : 3⁵ = 1: «Обе записи описывают одно и то же деление ненулевого числа на себя. Значит, 3⁰ = 1. Если вместо трёх взять любое ненулевое a, рассуждение не изменится. Запишем: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Обратите внимание: нулевой показатель не означает, что значение степени равно нулю». | Следят за выводом, записывают a⁰ = 1 при a ≠ 0; проговаривают: «Нулевая степень ненулевого основания равна единице». |
3 мин | Учитель выводит a² : a⁵: «Запишем деление через дробь: a²/a⁵. Сократим две пары одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Что останется? Сравните результат с записью a²⁻⁵. Это рассуждение работает только при a ≠ 0, потому что в знаменателе стоит степень a». | Получают a²/a⁵ = 1/a³ и сопоставляют с a⁻³; формулируют: «Отрицательный показатель означает обратную степень». |
2 мин | Учитель записывает обобщение: «Для a ≠ 0 и натурального n определим a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Теперь прочитайте определение своими словами и назовите ограничение». | Записывают определение; отвечают: «Степень с отрицательным показателем равна дроби, в числителе единица, в знаменателе та же степень с противоположным показателем; основание не равно нулю». |
2 мин | Учитель показывает свод правил: «Для любых целых m и n и любого a ≠ 0 выполняются aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Для любого целого n при a ≠ 0: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, а при b ≠ 0: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Прочитайте каждое условие: оно особенно важно для отрицательных показателей». | Записывают свойства, подчёркивают ограничения a ≠ 0 и b ≠ 0; называют, какое свойство применимо к каждому примеру на доске. |
Запись в тетрадях
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ, где a ≠ 0 и n — натуральное число.
- a⁰ = 1, где a ≠ 0.
- Для целых m и n и a ≠ 0: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
- Для целого n: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ при b ≠ 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть определение и условия, при которых свойства применимы. Проговорим алгоритм на коротких примерах, чтобы убедиться, что отрицательный показатель не превращается в отрицательное число».
Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием (7 мин)
Цель этапа: закрепить перевод отрицательного и нулевого показателей в дробную запись и применение свойств в типовых выражениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает по очереди разобрать 2⁻³, 4⁰ и 3² · 3⁻⁵: «Первый пример объясните через определение, второй — через деление одинаковых степеней, третий упростите свойством произведения степеней. Каждый раз называйте ограничение, если оно требуется. Запишите преобразования так, чтобы по ним можно было проверить ответ». | У доски и в тетрадях получают 2⁻³ = 1/8, 4⁰ = 1, 3² · 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1/27; поясняют, что основание в каждом примере ненулевое. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для анализа: «Ученик записал 5⁻² = −25. Найдите ошибку и исправьте её. Что обозначает минус в показателе? Он относится к значению степени или указывает на переход к обратной степени?» | Обсуждают в парах; отвечают: «Минус в показателе не означает отрицательное значение. 5⁻² = 1/5² = 1/25». |
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с двумя записями: 2⁻³ · 2⁵ = 2² и (3²)⁻² = 3⁻⁴. Просит назвать свойство и проверить результат: «Сравните ответы и поставьте отметку возле каждого верного преобразования. Если видите ошибку, исправьте её одной строкой». | Проверяют обе записи, фиксируют: «В обеих применено правило степени произведения или степени степени: показатели складываются в первом примере и перемножаются во втором»; при необходимости записывают 4 и 1/81. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились переводить отрицательный показатель в дробь и распознавать неверное толкование знака. Теперь каждый выполнит короткую работу самостоятельно и выберет уровень, соответствующий своей готовности».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение определения и свойств степеней на заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и заранее объявляет критерий выбора: «На карточке выберите обязательную часть для всех; затем, если справились, переходите к следующему уровню. Можно начать с базового уровня и перейти выше. Важнее показать верный ход рассуждений, чем торопиться. На экране остаётся памятка свойств, но сначала попробуйте решить без подсказки». | Выбирают уровень карточки; записывают в тетради, с какого задания начинают. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: «Какое свойство подходит? Что получится при раскрытии отрицательного показателя? Проверьте, не делите ли вы на ноль». На карточках: базовый — вычислить 2⁻³ и 4⁰, упростить 3² · 3⁻⁵; средний — упростить (2⁻²)³ и 5⁻¹ · 5⁴; повышенный — упростить 2⁻³ · 4² и (3⁻²)² : 3⁻¹. Учитель не сообщает ответы, а направляет к выбору свойства. | Индивидуально решают задания своего уровня. Записывают промежуточные преобразования: например, (2⁻²)³ = 2⁻⁶ = 1/64; 5⁻¹ · 5⁴ = 5³ = 125. Сильные ученики выполняют повышенный уровень. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: «Сверьте не только конечный ответ, но и каждую строку. Поставьте плюс возле верного шага и обведите место, где возникло расхождение. Если ошибка есть, исправьте её другим цветом. Отметьте в листе самооценки, какое действие уже получается самостоятельно». Эталон: 2⁻³ = 1/8; 4⁰ = 1; 3² · 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1/27; (2⁻²)³ = 2⁻⁶ = 1/64; 5⁻¹ · 5⁴ = 5³ = 125; 2⁻³ · 4² = 2⁻³ · 2⁴ = 2; (3⁻²)² : 3⁻¹ = 3⁻⁴ : 3⁻¹ = 3⁻³ = 1/27. | Сверяют решение с эталоном, исправляют найденную ошибку, отмечают в листе самооценки: «Могу раскрыть отрицательный показатель», «Могу применить свойства», «Нужно повторить условие основания». |
Эталон решения
Пример: 2⁻³ · 4² = 2⁻³ · (2²)² = 2⁻³ · 2⁴ = 2⁻³⁺⁴ = 2¹ = 2. Пример: (3⁻²)² : 3⁻¹ = 3⁻⁴ : 3⁻¹ = 3⁻⁴⁻⁽⁻¹⁾ = 3⁻³ = 1/3³ = 1/27. В обоих решениях основание ненулевое.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сверка показала, что главное — сохранять порядок преобразований и отдельно проверять смысл отрицательного показателя. Осталось связать сегодняшние правила с более длинными выражениями, похожими на задания экзаменационного формата».
Этап 7. Включение в систему знаний и связь с форматом ОГЭ (4 мин)
Цель этапа: применить несколько свойств последовательно и показать, как проверять рациональность преобразования в задании экзаменационного формата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение 2⁻² · 2⁵ : 2¹ и говорит: «Это короткое выражение устроено как типичное задание на вычисление и преобразование степени. Сначала объедините степени с одинаковым основанием, затем замените отрицательный показатель дробью. Каким должно быть основание, чтобы правило деления применялось? Не нужно угадывать: используйте два знакомых свойства по очереди». | Записывают: 2⁻² · 2⁵ : 2¹ = 2⁻²⁺⁵⁻¹ = 2² = 4; называют использованные свойства и условие ненулевого основания. |
2 мин | Учитель просит оценить решение: «Ученик получил 2⁻²⁺⁵ : 2¹ = 2³. В каком месте потерялось действие деления? Сформулируйте короткую проверку, которая помогла бы заметить ошибку». | Находят ошибку: показатель делителя нужно вычесть; правильная запись 2⁻²⁺⁵⁻¹ = 2² = 4. Предлагают проверять соответствие знака действия знаку между степенями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили несколько правил в одном выражении и исправили типичную ошибку при делении степеней. Перед выходом зафиксируем, какое правило стало понятнее и где ещё нужна тренировка».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные умения, выявить оставшиеся затруднения и объяснить выбор домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает билет на выход: «На маленьком листе завершите две фразы: “Теперь я могу…” и “Мне нужно ещё потренироваться…”. Затем решите устно: чему равно 10⁻²? Вспомните определение, а не угадывайте». | Заполняют билет: например, «Теперь я могу заменить отрицательный показатель дробью»; отвечают: «10⁻² = 1/100». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Всем выполните базовую часть. Средний и продвинутый уровень выбирайте по готовности: дополнительная сложность нужна для уверенной практики, но не является обязательной для каждого. На следующем уроке продолжим упрощать выражения со степенями и уделим внимание рациональному выбору свойств». | Записывают домашнее задание и выбирают дополнительный уровень при необходимости. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня и задания обязательного минимума; отрицательные показатели преобразованы в дроби без ошибок; свойства применены с учётом ненулевого основания; ход решения записан последовательно.
- «4» — правильно выполнено большинство заданий; допущена не более чем одна вычислительная или знаковая ошибка, при этом определение отрицательной степени и основные свойства применены верно.
- «3» — верно выполнены не менее двух заданий базового уровня; ученик понимает, что a⁻ⁿ = 1/aⁿ и a⁰ = 1 при a ≠ 0, но допускает ошибки при последовательном применении нескольких свойств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как своими словами объяснить значение степени с отрицательным показателем? | Проверить осознанность определения и отличение минуса в показателе от отрицательного значения степени. |
Какое условие нужно помнить, применяя правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ? | Выявить понимание ограничения a ≠ 0. |
На каком шаге в самостоятельной работе вы остановились или ошиблись? | Определить затруднение в выборе свойства, работе с показателями или вычислении. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно: базовое, среднее или повышенное? Почему? | Получить самооценку освоения темы и информацию для дальнейшей дифференциации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы продолжили знакомую тему степеней и определили, что означает нулевой и отрицательный показатель. Главное правило: отрицательный показатель переводит степень в знаменатель дроби, а основание при этом должно быть ненулевым. Помните типичную ошибку: знак минус в показателе не означает отрицательное значение степени. Если при самостоятельной работе вы нашли и исправили ошибку, значит, вы уже умеете контролировать ход решения. На следующем уроке мы продолжим упрощать выражения с целыми показателями и выбирать наиболее удобный порядок преобразований».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 коротких заданий: вычислить значения степеней с отрицательным и нулевым показателями, а также упростить произведения и частные степеней с одинаковым основанием; в каждом решении записать промежуточный шаг. | Закрепить определение a⁻ⁿ = 1/aⁿ и a⁰ = 1; при проверке обратить внимание на знак показателя и условие ненулевого основания. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания на последовательное применение не менее двух свойств: возведение степени в степень, умножение или деление степеней, преобразование отрицательного показателя в дробь. | Развить навык планирования преобразований; при проверке оценить порядок действий и корректность сложения или вычитания показателей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 собственных выражения с целыми показателями, каждое из которых упрощается не менее чем в три шага; одно выражение должно содержать отрицательный показатель и деление степеней. | Развить самостоятельное конструирование примеров и анализ цепочки преобразований; проверить наличие допустимых оснований и отсутствие необоснованных переходов. |
Контрольные вопросы перед выходом: чему равно a⁰ при a ≠ 0? Как записать a⁻ⁿ в виде дроби? Почему основание степени с отрицательным показателем не может быть равно нулю? Какое свойство применяется при делении степеней с одинаковым основанием?
